河南省平顶山市2015-2016年高二下期末数学试卷(文)含答案解析

第 1 页（共 19 页） 2015年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（文科） 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知复数 z=2 i，则 z 的值为（ ） A 5 B C 3 D 2观察下列各式： a+b=1， a2+， a3+， a4+， a5+1， ，则 ） A 28 B 76 C 123 D 199 3 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 B=2A， a=1， b= ，则 c=（ ） A B 2 C D 1 4根据如下样本数据，得到回归方程 =bx+a，则（ ） x 3 4 5 6 7 8 y a 0， b 0 B a 0， b 0 C a 0， b 0 D a 0， b 0 5已知双曲线 =1（ a 0）的离心率为 2，则实数 a=（ ） A 2 B C D 1 6已知数列 前 n 项和 足： m=Sn+m，且 ，那么 ） A 1 B 9 C 10 D 55 7命题 “对任意 x R，都有 0”的否定为（ ） A对任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 8若变量 x， y 满足约束条件 ，则 2x+y 的最大值是（ ） A 2 B 4 C 7 D 8 9已知抛物线 C： y2=x 的焦点为 F， A（ C 上一点，若 | 于（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 10下列选项中，使不等式 x 立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， +） 11通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 算得， P（ k） 2 页（共 19 页） k 照附表，得到的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关 ” B在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关 ” C有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关 ” D有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别无关 ” 12设函数 f（ x） =bx+c（ a， b， c R），若 x= 1 为函数 y=f（ x） 一个极值 点，则下列图象不可能为 y=f（ x）的图象是（ ） A B C D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 i 为虚数单位，设复数 复平面内对应的点关于原点对称，若 3i，则 14曲线 y= 5 在点（ 0， 2）处的切线 方程为 15观察下列不等式： ， ， 照此规律，第五个不等式为 16已知函数 f（ x） =x2+ax+b（ a， b R）的值域为 0， +），若关于 x 的不等式 f（ x） m， m+6），则实数 c 的值为 三、解答题（共 4 小题，满分 48 分） 17四边形 内角 A 与 C 互补， ， ， A=2 （ 1）求 C 和 （ 2）求四边形 面积 18已知等比数列 ， ，公比 q= （ ） 前 n 项和，证明： （ ）设 bn=+数列 通项公式 19设椭圆 E： + =1 的焦点在 x 轴上 （ 1）若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； 第 3 页（共 19 页） （ 2）设 别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线 ，并且 明：当 a 变化时，点 P 在定直线 x+y=1 上 20已知函数 f（ x） =2， m 0 （ 1）当 m=e（ e 为自然对数的底数）时，求 f（ x）的极小值； （ 2）讨论函数 g（ x） =f（ x） x 的单调性； （ 3）若 m 1，证明 ：对于任意 b a 0， 1 选做题：从 2123 三个题目中选取一个作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。 选修 4 1：几何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 21如图，平行四边形 ，点 E 在 且 于 F 点，求 面积之比 S S 选修 4 4：坐标系与参数方程 22已知曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数）， C 在点（ 1， 1）处的切线为 l以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程 选修 4 5：不等式选讲 23求不等式 |x+2| |x| 1 的解集 选做题：从 2426 三个题目中选取一个作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。 选修 4 1：几何证明选讲 （共 1 小题，满分 12 分） 24如图， O 为等腰三角形 一点， O 与 底边 于 M， N 两点，与底边上的高 于点 G，且与 别相切于 E， F 两点 （ 1）证明： （ 2）若 于 O 的半径，且 N=2 ，求四边形 面积 选修 4 4：坐标系与参数方程 第 4 页（共 19 页） 25在直角坐标系 ，曲线 参数方程为 （ 为参数） M 是 的动点， P 点满足 =2 ， P 点的轨迹为曲线 ）求 方程； （ ）在以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 = 与 异于极点的交点为 A，与 异于极点的交点为 B，求 | 选修 4 5：不等式选讲 26设 a， b， c， d 均为正数，且 a+b=c+d，证明： （ 1）若 + + ； （ 2） + + 是 |a b| |c d|的充要条件 第 5 页（共 19 页） 2015年河南省平顶山市高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分） 1已知复数 z=2 i，则 z 的值为（ ） A 5 B C 3 D 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 由 z 求出 ，然后直接利用复数代数形式的乘法运算求解 【解答】 解：由 z=2 i，得 z =（ 2 i）（ 2+i） =4 故选： A 2观察下列各式： a+b=1， a2+， a3+， a4+， a5+1， ，则 ） A 28 B 76 C 123 D 199 【考点】 归纳推理 【分析】 观察可得各式的值构成数列 1， 3， 4， 7， 11， ，所求值为数列中的第十项根据数列的递推规律求解 【解答】 解：观察可得各式的值构成数列 1， 3， 4， 7， 11， ，其规律为从第三项起，每项等于其前相邻两项的和，所求值为数列中的第十项 继续写出此数列为 1， 3， 4， 7， 11， 18， 29， 47， 76， 123， ，第十项为 123，即 23， 故选 C 3 内角 A、 B、 C 的对边分别是 a、 b、 c，若 B=2A， a=1， b= ，则 c=（ ） A B 2 C D 1 【考点】 正弦定理；二倍角的正弦 【分析】 利用正弦定理列出关系式，将 B=2A， a， b 的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出 值，再由 a， b 及 值，利用余弦定理即可求出 c 的值 【解答】 解： B=2A， a=1， b= ， 由正弦定理 = 得： = = = ， ， 由余弦定理得： a2=b2+2 1=3+3c， 解得： c=2 或 c=1（经检验不合题意，舍去）， 则 c=2 故选 B 4根据如下样本数据，得到回归方程 =bx+a，则（ ） x 3 4 5 6 7 8 y 6 页（共 19 页） A a 0， b 0 B a 0， b 0 C a 0， b 0 D a 0， b 0 【考点】 线性回归方程 【分析】 通过样本数据表，容易判断回归方程中， b、 a 的符号 【解答】 解：由题意可知：回归方程经过的样本数据对应的点附近，是减函数，所以 b 0，且回归方程经过（ 3， 4）与（ 4， 近，所以 a 0 故选： B 5已知双曲线 =1（ a 0）的离心率为 2，则实数 a=（ ） A 2 B C D 1 【考点】 双曲线的简单性质 【分析】 由双曲线方程找出 a， b， c，代入离心率，从而求出 a 【解答】 解：由题意， e= = =2， 解得， a=1 故选 D 6已知数列 前 n 项和 足： m=Sn+m，且 ，那么 ） A 1 B 9 C 10 D 55 【考点】 等比数列的前 n 项和；数列的求和 【分析】 根据题意，用 赋值法，令 n=1， m=9 可得： s1+s9= s9=s1=，进而由数列的前 n 项和的性质，可得答案 【解答】 解：根据题意，在 sn+sm=sn+m 中， 令 n=1， m=9 可得： s1+s9= s9=s1=， 根据数列的性质，有 ， 故选 A 7命题 “对任意 x R，都有 0”的否定为（ ） A对任意 x R，都有 0 B不存在 x R，都有 0 C存在 R，使得 0 D存在 R，使得 0 【考点 】 命题的否定；全称命题 【分析】 直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可 【解答】 解：因为全称命题的否定是特称命题， 所以命题 “对任意 x R，都有 0”的否定为存在 R，使得 0 故选 D 8若变量 x， y 满足约束条件 ，则 2x+y 的最大值是（ ） 第 7 页（共 19 页） A 2 B 4 C 7 D 8 【考点】 简单线性规划 【分析】 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件画出满足约束条件 的可行域，再用角点法，求出目标函数的最大值 【解答】 解：满足约束条件 的可行域如下图中阴影部分所示： 目标函数 Z=2x+y， ， ， ， ， 故 2x+y 的最大值是 7， 故选： C 9已知抛物线 C： y2=x 的焦点为 F， A（ C 上一点，若 | 于（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考点】 抛物线的简单性质 【分析】 利用抛物线的定义、焦点弦长公式即可得出 【解答】 解：抛物线 C： y2=x 的焦点为 F（ ， 0） A（ C 上一点， | x0=， 解得 故选： A 10下列选项中，使不等 式 x 立的 x 的取值范围是（ ） A（ ， 1） B（ 1， 0） C（ 0， 1） D（ 1， +） 第 8 页（共 19 页） 【考点】 其他不等式的解法 【分析】 通过 x= ， ， 2 验证不等式是否成立，排除选项 B、 C、 D即可得到正确选项 【解答】 解：利用特殊值排除选项，不妨令 x= 时，代入 x 到 ，显然不成立，选项 B 不正确； 当 x= 时，代入 x 到 ，显然不正确，排除 C； 当 x=2 时，代入 x 到 ，显然不正确，排除 D 故选 A 11通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表： 男 女 总计 爱好 40 20 60 不爱好 20 30 50 总计 60 50 110 由 算得， P（ k） k 照附表，得到 的正确结论是（ ） A在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “爱好该项运动与性别有关 ” B在犯错误的概率不超过 前提下，认为 “爱好该项运动与性别无关 ” C有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别有关 ” D有 99%以上的把握认为 “爱好该项运动与性别无关 ” 【考点】 独立性检验的应用 【分析】 题目的条件中已经给出这组数据的观测值，我们只要把所给的观测值同节选的观测值表进行比较，发现它大于 到有 99%以上的把握认为 “爱好这项运动与性别有关 ” 【解答】 解：由题意算得， 有 %的机会错误， 即有 99%以上的把握认为 “爱好这项运动与性别有关 ” 故选： C 12设函数 f（ x） =bx+c（ a， b， c R），若 x= 1 为函数 y=f（ x） 一个极值点，则下列图象不可能为 y=f（ x）的图象是（ ） 第 9 页（共 19 页） A B C D 【考点】 利用导数研究函数的单调性；函数的图象与图象变化 【分析】 先求出函数 f（ x） 导函数，利用 x= 1 为函数 f（ x） 一个极值点可得 a，b， c 之间的关系，再代入函数 f（ x） =bx+c，对答案分别代入验证，看哪个答案不成立即可 【解答】 解：由 y=f（ x） ex=bx+c） y=f（ x） ex+x） =ex b+2a） x+b+c， 由 x= 1 为函数 f（ x） 一个极值点可得， 1 是方程 b+2a） x+b+c=0 的一个根， 所以有 a（ b+2a） +b+c=0c=a 法一：所以函数 f（ x） =bx+a，对称轴为 x= ，且 f（ 1） =2a b， f（ 0） =a 对于 A，由图得 a 0， f（ 0） 0， f（ 1） =0，不矛盾， 对于 B，由图得 a 0， f（ 0） 0， f（ 1） =0，不矛盾， 对于 C，由图得 a 0， f（ 0） 0， x= 0b 0f（ 1） 0，不矛盾， 对于 D，由图得 a 0， f（ 0） 0， x= 1b 2af（ 1） 0 与原图中 f（ 1） 0 矛盾， D 不对 法二：所以函数 f（ x） =bx+a，由此得函数相应方程的两根之积为 1，对照四个选项发现， D 不成立 故选： D 二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 13 i 为虚数单位，设复数 复平面内对应的点关于原点对称，若 3i，则 2+3i 【考点】 复数代数形式的乘除运算 【分析】 直接利用复数对应的点的坐标，求出对 称点的坐标，即可得到复数 【解答】 解：设复数 复平面内对应的点关于原点对称，复数 实部相反，虚部相反， 3i， 所以 2+3i 故答案为： 2+3i 14曲线 y= 5 在点（ 0， 2）处的切线方程为 5x+y+2=0 【考点】 利用导数研究曲线上某点切线方程 【分析】 利用导数的几何意义可得切线的斜率即可 【解答】 解： y= 5 y|x=0= 5 因此所求的切线方程为： y+2= 5x，即 5x+y+2=0 故答案为： 5x+y+2=0 第 10 页（共 19 页） 15观察下列不等式： ， ， 照此规律，第五个不等式为 1+ + + + + 【考点】 归纳推理 【分析】 由题设中所给的三个不等式归纳出它们的共性：左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方，右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1，分母是不等式的序号 n+1，得出第 n 个不等式，即可得到通式，再令 n=5，即可得出第五个不等式 【解答】 解：由已知中的不等式 1+ ， 1+ + ， 得出左边式子是连续正整数平方的倒数和，最后一个数的分母是不等式序号 n+1 的平方 右边分式中的分子与不等式序号 n 的关系是 2n+1，分母是不等式的序号 n+1， 故可以归纳出第 n 个不等式是 1+ + ，（ n 2）， 所以第五个不等式为 1+ + + + + 故答案为： 1+ + + + + 16已知函数 f（ x） =x2+ax+b（ a， b R）的值域为 0， +），若关于 x 的不等式 f（ x） m， m+6），则实数 c 的值为 9 【考点】 一元二次不等式的应用 【分析】 根据函数的值域求出 a 与 b 的关系，然后根据不等式 的解集可得 f（ x） =c 的两个根为 m， m+6，最后利用根与系数的关系建立等式，解之即可 【解答】 解： 函数 f（ x） =x2+ax+b（ a， b R）的值域为 0， +）， f（ x） =x2+ax+b=0 只有一个根，即 =4b=0 则 b= 不等式 f（ x） c 的解集为（ m， m+6）， 即为 x2+ c 解集为（ m， m+6）， 则 x2+ c=0 的两个根为 m， m+6 第 11 页（共 19 页） |m+6 m|= =6 解得 c=9 故答案为： 9 三、解答题（共 4 小题，满分 48 分） 17四边形 内角 A 与 C 互补， ， ， A=2 （ 1）求 C 和 （ 2）求四边形 面积 【考点】 余弦定理；正弦定理 【分析】 （ 1）在三角形 ，利用余弦定理列出关系式，将 及 值代入表示出 三角形 ，利用余弦定理列出关系式，将 及 值代入表示 出 者相等求出 值，确定出 C 的度数，进而求出 长； （ 2）由 C 的度数求出 A 的度数，利用三角形面积公式求出三角形 三角形 积，之和即为四边形 积 【解答】 解：（ 1）在 ， ， ， 由余弦定理得： 23 12 在 ， ， ， A+C=， 由余弦定理得： 2 4+4 由 得： ， 则 C=60， ； （ 2） ， ， ， 则 S= 1 2 + 3 2 =2 18已知等比数列 ， ，公比 q= （ ） 前 n 项和，证明： （ ）设 bn=+数列 通项公式 【考点】 等比数列的前 n 项和 第 12 页（共 19 页） 【分析】 （ I）根据数列 等比数列， ，公比 q= ，求出通项公式 前 n 项和 后经过运算即可证明 （ 据数列 通项公式和对数函数运算性 质求出数列 通项公式 【解答】 证明：（ I） 数列 等比数列， ， q= = ， 又 = = （ bn=+ 2+（ =（ 1+2+n） = 数列 通项公式为： 19设椭 圆 E： + =1 的焦点在 x 轴上 （ 1）若椭圆 E 的焦距为 1，求椭圆 E 的方程； （ 2）设 别是椭圆 E 的左、右焦点， P 为椭圆 E 上第一象限内的点，直线 ，并且 明：当 a 变化时，点 P 在定直线 x+y=1 上 【考点】 直线与圆锥曲线的综合问题 【分析】 （ 1）利用椭圆的标准方程和几何性质即可得出 ，解出即可； （ 2） 设 P（ c， 0）， c， 0），其中 利用斜率的计算公式和点斜式即可得出直线 斜率，直线 方程为斜率，利用，与椭圆的方程联立，然后判断点 P 在定直线 x+y=1 上 【解答】 解：（ 1）依题意， ，即 ， 第 13 页（共 19 页） 所以椭圆 E 的方程为 （ 2）设 P（ c， 0）， c， 0），其中 因为直线 y 轴于点 Q，所以 c， 故直线 斜率 ，直线 斜率 ， 直线 方程为 ， Q 点的坐标为 所以直线 斜率 为 ， 由于 以 ， 化简得 因为 P 为椭圆 E 上第一象限内的点，将上式代入 ， 得 ， ，且 x0+， 所以点 P 在定直线 x+y=1 上 20已知函数 f（ x） =2， m 0 （ 1）当 m=e（ e 为自然对数的底数）时，求 f（ x）的极小值； （ 2）讨论函数 g（ x） =f（ x） x 的单调性； （ 3）若 m 1，证明：对于任意 b a 0， 1 【考点】 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值 【分析】 （ 1）求解 ，利用导数判断即可； （ 2） ，求解导数，利用不等式求解即可 第 14 页（共 19 页） （ 3）分类讨论 0 m 1 时，当 时， g（ x） 0；当时， g（ x） 0；当 时， g（ x） 0；当 m 1 时，g（ x） =f（ x） x 在（ 0， +）上单调递减，即可的出结论 【解答】 解：（ 1）当 m=e 时， ， ， 当 时， f（ x） 0； 时， f（ x） =0；当 时， f（ x） 0 所以， 时， f（ x）取得最小值 （ 2） ， 1m 12 时， g（ x） 03， g（ x） =f（ x） （ 0， +） 5 单调递减 （ 3）证明： 0 m 1 时， 1 m 0， ， 当 时， g（ x） 0；当 时， g（ x） 0； 当 时， g（ x） 0 即 0 m 1 时， g（ x） =f（ x） x 在 和 上单调递减， 在 上单调递增 由（ 2）知，当 m 1 时， g（ x） =f（ x） x 在（ 0， +）上单调递减， 所以，当 m 1 时，对任意 b a 0， f（ b） b f（ a） a， 即对任意 b a 0， 选做题：从 2123 三个题目中选取一个作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。 选修 4 1：几何证明选讲 （共 1 小题，满分 10 分） 21如图，平行四边形 ，点 E 在 且 于 F 点，求 面积之比 S S 第 15 页（共 19 页） 【考点】 相似三角形的性质 【分析】 通过 平行四边形，推出 ，利用 出 然后求解 【解答】 （ 21甲）解：因为 平行四边形， 所以 C，且 又 因为 高相等， 所以 F： ： 1 选修 4 4：坐标系与参数方程 22已知曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数）， C 在点（ 1， 1）处的切线为 l以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求 l 的极坐标方程 【考点】 简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程 【分析】 化参数方程与普通方程，求出圆的圆心与半径，求出切线的斜率，然后求解切线方程，转化为极坐标方程 【解答】 解：因为曲线 C 的参数方程为 （ t 为参数）， 所以其普通方程为 x2+，即曲线 C 为以原点为圆心， 为半径的圆 由于点（ 1， 1）在圆上，且该圆过（ 1， 1）点的半径的斜率为 1， 所以切线 l 的斜率为 1，其普通方程为 x+y 2=0， 化为极坐标方程为 ，即 选修 4 5：不等式选讲 23求不等式 |x+2| |x| 1 的解集 【考点】 绝对值不等式的解法 【分析】 通过讨论 x 的范围，去掉绝对值号，求出不等式的解集即可 【解答】 解：当 x 2 时，原不等式可以化为：（ x+2）（ x） 1， 即 2 1，所以 x 2 当 2 x 0 时，原不等式可以化为（ x+2）（ x） 1， 即 x ，所以 2 x 当 x 0 时，原不等式可以化为（ x+2） x 1，即 2 1，此时无解 第 16 页（共 19 页） 故原不等式的解集为 x|x 选做题：从 2426 三个题目中选取一个作答，只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分。 选修 4 1：几何证明选讲 （共 1 小题，满分 12 分） 24如图， O 为等腰三角形 一点， O 与 底边 于 M， N 两点，与底边上的高 于点 G，且与 别相切于 E， F 两点 （ 1）证明： （ 2）若 于 O 的半径，且 N=2 ，求四边形 面积 【考点】 相似三角形的判定 【分析】 （ 1）通过 角平分线及圆 O 分别与 切于点 E、 F，利用相似的性质即得结论； （ 2）通过（ 1）知 垂直平分线，连结 用 S S 【解答】 （ 1）证明： 等腰三角形， 角平分线， 又 圆 O 分别与 切于点 E、 F， F， （ 2）解：由（ 1）知 F， 垂直平分线， 又 圆 O 的弦， O 在 ， 连结 由 于圆 O 的半径可得 0， 是等边三角形， ， ， ， E=2， ， ， ， ， 四边形 面积为 = 第 17 页（共 19 页） 选修 4 4：坐标系与参数方程 25在直角坐标系 ，曲线 参数方