人教版高中数学在“病题”改造中培养学生的创新能力.doc

参与参与再参与在“病题”改造中培养学生的创新能力目前我国教育工作者编撰了大量的教辅资料，不少资料上的例习题难免会出现差错，即造成“病题”。在课堂教学或个别辅导教学中要恰当地处理这些“病题”，即不要简单地下结论：“这道题出错了，不要做”；“这道题条件不足，应更改为”；“这道题条件过强，应纠正为”等等。教育者此时要抓住机会，让受教育者参与讨论，自主探求这类“病题”错在何处？如何更正？有哪几条变换途径？从而“变废为宝”，“变封闭为开放”。这种处理“病题”的教法不但能培养学生解开放题的能力，也能促使学生养成自主探究的思维习惯，形成良好的思维品质，而且还是培养学生创新能力的一条重要途径。例1 把函数的图象向左平移2个单位后，作出该图象关于直线的对称图形f，则f所对应的函数是 。笔者在课堂教学中先让学生自解此题，并叮嘱学生要作解后反思。少顷有较多的同学给出了答案，笔者提问：你在解后反思中发现问题了吗？你的解法严密吗？是什么原因导致解法不严密？此时学生兴趣盎然，讨论热烈。生甲：我的答案是：，但题目并未说明存在反函数，故我的推理不严密。生乙：这是个“病题”！应增加条件：“有反函数”。教师：对，你们讲得很好！还有其它改题方法吗？生丙：可增加条件：“在定义域内是增函数”。生丁：可增加：“在定义域内是单调函数”。生戊：可增加：“确定的映射是一一映射”。通过自主讨论，不单单改正了一个“病题”，更大的收获在于深层次地理解了推理“”的先决条件及反函数存在的几个充分条件，这对培养学生的思维品质（严谨性与创造性）大有裨益。 例2 设g为的重心，已知bc边的长为8，ac、ab边的中线bd、ce长分别为8和7，试问：动点g的轨迹的是什么曲线？教师：请大家动手做一做，看能得出什么结论？生甲：取bc所在直线为轴，线段bc中垂线为轴，设g。因为，所以，故g点的轨迹是以b、c为焦点的椭圆。生乙：怪了，我的答案怎么会与甲完全不一样：因，所以轨迹应是双曲线的左支。教师：这究竟是何原因？是有两个答案呢？还是题目有误？生丙：噢！原来这是个“病题”：由于两条中线的长为定值，故点g实际上是一个定点！教师：应如何改变题设条件，才能使g点的轨迹是一条曲线？生丁：应改为两中线长的和等于15，则轨迹为椭圆。生戊：也可改为两中线长的差为1，则轨迹为双曲线。教师：还有其他改题方法吗？（教师要善于抓住这一训练发散性、创新性思维的极佳时机）生己：又可改为两中线bd、ce的长之比为8 ：7，则轨迹是圆。生庚：还可在两条中线中去掉一条，则轨迹也是圆。教师：改得都很好！请同学们再想一想，除求点g的轨迹外，还能求哪个动点的轨迹？生辛：还能用代点法求点a的轨迹。热烈的讨论，高涨的情绪，充分发挥了学生的主体作用，有效地促使学生加深了对圆锥曲线及其轨迹的理解与认识，培养了学生学习数学的兴趣与能力（包括合情推理、发现、创新能力）。例3 已知是数列的前n项和，。设，证明是等比数列。根据书上所附的提示，应改为。但笔者并非简单地更正过来，而是运用如下教法。教师：怎样证明是等比数列？生甲：只需证明（q是不为零的常数，）教师：大家不妨一试。（力促学生既动脑又动手）生乙：=咦！此题怪了，以下无法证明是等比数列呀！生丙：会不会题目有误？由题设条件可求得b1=4,b2=11,b3=28,显然，这说明根本不是等比数列，这果然是一道病题！教师：你们能凭借反例作出决断，这很好！这其实是一种重要而又常用的方法。那么，本题病因在哪里？如何更正？（引发讨论）生丁：病因似在与的关系式有误。教师：怎样找到这个正确的关系式呢？生戊：可用待定系数法：设，则 = = =，当，即时，就是等比数列。生已：上述推理只有当时，才能成立。教师：大家再议一下，当时，能否为等比数列？生庚：时，故若，则当且仅当是等比数列时，是等比数列。教师：说得对！那么根据题目条件，有没有可能是等比数列？（趁热打铁，进一步优化思维品质思维的严谨性）生辛：由，可得。假设为等比数列，则，化为，得。可知在该条件下，有可能是等比数列（公比必为2）。教师，大家的发言很好！那么和之间是否还存在其他关系，也能得出是等比数列呢？请大家在课后继续探索吧！至此，课堂达到了高潮，这样处理，最大限度地挖掘了学生的智力因素与非智力因素，不仅使他们加深了对等比数列几个充要条件的认识，而且让他们感受到自主讨论、自主发现的乐趣，从而激发了他们学习数学的兴趣。针对目前教辅资料中“病题”较多的现实，笔者认为这种教法既能提高学生自学教辅资料的诊病能力和纠错能力，又能培养他们的数学素质、思