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文档简介

极限错解类型浅析高中数学新教材第三册(选修)增加的极限一章内容，由于涉及概念多、渗透的数学思想丰富,因此其运算成为考生答卷的一大难点。 本文试图就考生易犯错误的类型作些总结，供大家参考。类型一:概念理解出偏差例1：是否存在?若存在,求其值。错解：因为所以当n为正奇数时, ；当n为正偶数时, .分析：是指当项数n无限增大时,无穷数列的项无限地趋近于某个常数a。这里,是指依自然数逐个增大到无穷大,而不是“跳跃”式趋向无穷大。诸如“当n为奇数时,”及“当n为奇数时,”都是错误的说法。正解：因为,所以当时, 不能趋向于某个固定的常数a, 所以不存在。例2:已知是可导的偶函数,且,则曲线在处的切线方程是 .错解：为偶函数，。分析：回顾导数定义：=,易知,上述解法是在导数概念的理解上出了偏差。正解：为偶函数，。点评：本题也可利用“偶函数图象关于y轴对称”这一性质进行求解。类型二:误将“无限项”当成“有限项”例3：（2004年广东省高考题）=( )a. b.0 c. d.1错解： 。分析：极限的运算法则仅适用于有限项和(积)的极限,而不适用于无限项的情况。和式共2n 项,当时,和式为无限项,所以不能直接运用运算法则,需先求和(积)再求极限。正解：。点评：首先要正确理解极限的运算法则，然后再根据所给数列各项的结构特征，选择恰当的方法把无穷多项化为有限项。常用的方法有直接求和、拆项求和和约分化简。又如：1(2003年天津)2 类型三:漠视极限存在的先决条件例4：设求的值。错解：由已知条件得,解得,。所以原式。分析：利用运算法则求极限要求参与运算的各数列的极限必须存在.上面的解法中默认和都存在,而原题中并没有给出这一条件。实际上,如果存在, 和不一定存在,如，,虽然有,但和都不存在。正解：设,则有。从而所以原式。例5： (1997年全国高考题)已知数列都是由正数组成的等比数列,公比分别为,其中,设,为数列的前n项和,求。错解：。分析：当且仅当或时,等比数列前n项和的极限才存在。上面的解法中默认且,而原题中并没有给出这一条件。实际上,本题应就与的大小关系进行分类讨论。正解： 当时,得,上式分子分母同除以,得.当时, =1。类型四：不定型极限的“草率”处理。例6：求函数的极限：错解：因为,分母等于0,无意义,所以极限不存在。分析：本题是“”不定型,其值是不确定的。本题应先换元,化简,得到极限值呈“” 形式,然后分子
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