第二章数列极限21 数列极限的概念课件

一、数列的定义 数列极限是整个 数学分析最重要的基 础之一, 它不仅与函 数极限密切相关，而 且为今后学习级数理 论提供了极为丰富的 准备知识. 1 数列极限的概念 数学分析 第二章 数列极限 二、一个经典的例子 六、一些例子 五、再论 “ - N ”定义 四、按定义验证 极限 三、收敛数列的定义 *点击击以上标题标题可直接前往对应对应内容 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 为为数列. 则则 称 若函数 f 的定义义域为为全体正整数的集合 或简记为简记为 an. 这这里 an 所以我们们也将数列写成 称为为数列 an 的通项项. 数列的定义 因为为N+的所有元素可以从小到大排列出来, 后退 前进进 目录录 退出 数列的 定义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 一个经典的例子 无限制地进进行下去. 我们们把每天截下部分 (或剩下部分) 的长长度列出 ： 第一天截下 第二天截下第n天截下 这样这样 就得到一个数列: 古代哲学家庄周所著的庄子 天下篇引用了一句 话话: “一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”. 一根长为长为 一尺的木棒, 每天截下一半, 这这样样的过过程可以 它的意思是: 一个经经 典 的 例子 随着 n 的无限增大而无限趋趋于 0 . 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 定义义1 收敛数列的定义 为为一个数列, a 为为一个常数, 的正数 则则称数列收敛敛于a , 又称 a 为为数列 的极 限. 一般地说说,对对于数列 ,若当 n 无限增大时时, an 能无限地接近某个常数 a , 则则称收敛敛于 a . 若对对于任意 总总存在正整数 N, 使当 n N 时时, 记记作 收敛敛数 列的定 义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 若 不收敛敛, 则则称 为为发发散数 列. 注 定义义1 这这种陈陈述方式，通常称为为 “ - N ”定 义义. 收敛敛数 列的定 义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 例2 用定义验义验 证证 分析 对对于任意的正数 , 只要 所以 证证 要使 即可 . 按定义验证义验证 极限 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 只要 即 可. 例3 用定义验义验 证证 分析 故要使成立, 注意 解这这个不等式是在 的条件下进进行的. 按定义验证义验证 极限 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 证证 对对于任意的正数 , 即 按定义验证义验证 极限 取 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 所以 例4 用定义验义验 证证 因此证证得 证证 这这里只验证验证的情形（ 时时自证证 ）. 故对对于任意正数 有 按定义验证义验证 极限 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 再论 “ - N ”定义 从定义义及上面的例题题我们们可以看出: 1. 的任意性: 定义义中的 用来刻画数列 an 的通 项项与定数 a 的接近程度. 与 a 接近的程度愈高； 与 a 可以任意接近. 它暂时暂时 看作是确定不变变的. 显显然正数 愈小,表示 a n 是任意的, 这这就表示 an 要注意， 一旦给给出，在接下来计计算 N 的过过程中, 再论论 “ - N ” 定义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 可以用( K 为为某一正常数 ) 来代 替. 定义义 1, 均可看作任意正数, 再有, 我们还们还 可以限定 小于某一个正数 N1 = 2N 时时, 对对于同样样 的 , 惟一确定. 求 N 的 “ 最佳性 ” . 也就是说说, 在这这里只是强调调 N 的存在性, 而不追 2. N 的相对对性:从定义义1 中又可看出, 不同, N 当然也会不同 . 随着 的取值值 但这这并不意味着 N 是由 例如, 当 n N 时时, 有 更应应有 再论论 “ - N ” 定义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 3. 极限的几何意义义 示当 n N 时时 , 从几何上看, ,实际实际 上就 是 时时有 所有下标标大于 N 的 an 全都落在邻邻域 之内， 而在 之外, an 至多只有有限项项( N 项项 ). 反过过来, 如果对对于任意正数 , 落在 之外至 多只有有限项项, 设这设这 些项项的最大下标为标为 N, 这这就表 以上是定义义 1 的等价说说法, 写成定义义就 是: 再论论 “ - N ” 定义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 定义义2 an 的有限多项项 , an 不以 a 为为极限的定义义也可陈陈述 为为: 之外有 an 中的无限 an 不以任何实实数 a 为为极限. 任给给, 若在 之外至多只有 注 an 无极限（即发发散）的等价定义为义为 : 则则称数列 an 收敛敛于a . 这样这样 , 存在 再论论 “ - N ” 定义义 多项项. 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 定理2.1 定义义2 以下定理显显然成立, 请读请读 者自证证. 4.无穷穷小数列和无穷穷大数列 再论论 “ - N ” 定义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 定义义3 再论论 “ - N ” 定义义 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 一些例子 为为了更好地理解定义义, 再举举一些例题题 . 例5 证证明发发散. a 为为极限 . 又因 a 是任意的, 所以 发发散. 证证 对对于任意实实数 a, 取 之外有无限多 所以由定义义1,不以个偶数项项（奇数项项）. 满满足 一些例子 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 例6 证证明 解当 时时, 从而 一些例子 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定 义义 按定义验证义验证 极限 再论论 “ - N ” 定义义 一些例子 证证 我们们用两种方法来证证 明. 例7 证证明 1) 任给给正 数 有项项都能使不等式 成立即可. 注 这这里我们们将 N 取为为正数, 而非正整数 . N 只是表示某个时时刻, 实际实际 上 保证证从这这一时时刻以后的所 一些例子 数学分析 第二章 数列极限 高等教育出版社 1 数列极限的概念 数列的 定义义 一个经经 典 的 例子 收敛敛数 列的定