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第一章 随机事件与概率 自然界中各种现象可以区分为两种：确定性现象与随机现象 确定性现象：在一定条件下必然会出现的现象 随机现象：在一定的条件下，可能出现多种结果，而在试验之前无法预知其 确切的结果，也无法控制 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科 第一节 随机事件及其运算 一、随机试验与随机事件 随机试验： 具有以下特点的试验称为随机试验： 1试验可以在相同条件下重复进行； 2试验可能出现的结果不只一个，在试验之前知道所有可能的结果； 3试验结束后会出现哪一个结果是随机的(无法事先知道，也无法控制) 通常用字母E表示随机试验(以后简称试验) 例如： 例如： ：抛一枚硬币，观察正、反面出现的情况 ：掷一颗骰子，观察出现的点数 ：向一个靶子发射一颗子弹，观察打中的环数 ：检查一大批灯泡的寿命 基本事件(样本点， 或 )： 一次试验可能出现的每一个直接的结果也就 是随机试验不能够再分解的结果 如 有两个基本事件： =出现正面， =出现反面 有六个基本事件： =出现 点， 基本空间(样本空间， 或 或 U )： 全体基本事件的集合 不可能事件： 一定不发生的事件记为 如 的基本空间为 ； 的基本空间为 或 1，2，3，4，5，6 随机事件：试验的每一个可能结果用大写字母 等表示 随机事件也就是基本空间的子集，即若干基本事件做成的集合 如在 中，“出现偶数点”的事件可表示为 2，4，6， “出现奇数点”的事件可表示为 =1，3，5 ， 而 1，2，3表示事件“出现的点数不超过3” 一定发生的事件，也就是基本空间 必然事件： 事件发生 ： 当事件 所包含的基本事件有一个出现，就说事件 发生了，否 则就说事件 未发生 试验 的基本空间为 ， 、 、 ( =1，2，)为 中的事件 1包含： 如果事件 发生必然导致事件 发生则称事件 包含事件 ， 记作 或 二、事件的关系与运算 就是在 中的基本事件，一定都含在 中对任一事件 都 有 2相等： 如果有 ， 同时成立，则称事件 与事件 相等，记作 就是事件 与事件 所包含的基本事件完全相同 就是把事件 与事件 所公有的基本事件放在一起作成的事件 4事件的积： “事件 与事件 同时发生”，这样的事件称为事件 与事件 的积或交，记为 或 在 中， =2， =1，3， 对于任一事件 ，有 3事件的和： “事件 与事件 至少有一个发生”,这样的一个事件称为 事件 与事件 的和或并，记为 就是把事件 与事件 所包含的基本事件放在一起作成的事件 在 中， =2，4，6， =1，2，3 =1，2，3，4，6 对于任一事件 ，有 事件的和与事件的积可以推广到多个事件的情形： 事件 的和事件记作 或 ， 表示事件“ 中至少有一个事件发生” 事件 的积事件记作 或 ，表示事件“ 同时发生” 可数无穷多个事件 的和与积分别记作 与 ， 表 示“事件 中至少有一个发生”； 表示“事件 同时 发生” 6互不相容(互斥): 若事件 与事件 不能同时发生(即 )，则称事 件 与事件 互不 相容或互斥 与 互不相容，就是 与 不含有公共基本事件 “事件 发生而事件 不发生”，这样的事件称为事件 与事 件 的差，记为 就是 的基本事件中去掉含在 中的，余下的基本事件作成的事件 如在 中， 4，6 对于任一事件 ，有 ， ， 5事件的差： 当事件 与 互不相容时， 记作 8运算规律： (1) ， (2) ， (3) ， (4) ， (5) 7对立(互逆)： 若 事件与事件 有且仅有一个发生 ， 即 且 ，则 称事件 与事件 为对立事件或互逆事件，其 中事件 叫做事件 的逆事件，记作 ，事件 叫做事件 的逆事 件，记作 如在 中， 与 互逆 “第 个零件是合格品”( =1，2，3)，试用 ， ， 表示下列事 件： 例 某工人加工三个零件，设 表示事件 (1) 只有第一个零件是合格品； (2) 只有一个零件是合格品； (3) 至少有一个零件是合格品； (4) 最多有一个零件是合格品 解 四个事件分别设为 ， ， ， ，则有 (1) ； (2) ； (3) ( )； (4) 或 . 在一个试验中，有许多随机事件一个事件在一次试验中可能发生，也 可能不发生有的事件发生的可能性大，有的事件发生的可能性小概率就 是用来刻划事件发生的可能性大小的数量指标 一、概率的统计定义 设试验 的基本空间为 ， 为 中的随机事件， 为 中两两 互不相 容的事件，则由定义1易知频率具有下述性质： 性质1 0 1 性质2 性质3 1频率 定义1 设 为试验 中的一个事件，把试验 在相同条件下重复进行 次，如 果事件 发生的次数为 ，则称 为事件 在 次试验中发生的频率，记为 即 ， 第二节 概率的古典定义 上述性质依次称为频率的非负性、规范性、(有限)可加 性经验证明，当试验进行的次数 很大时，事件 的频率 具有一定的稳定性：即当试验次数 充分大时，频率 总在一个确定的数字附近摆动 例1 古代学者摩根(Morgan)、蒲丰(Buffon)和皮尔逊(Peason)，分别做 了多次抛掷硬币的试验，观察正面出现的次数，记录结果如表1-1所示 其中 是抛掷硬币的次数， 表示事件“出现正面”， 是在 次试 验中正面出现的次数， 表示 次试验中正面出现的频率 表1-1 实验者 试验次数正面出现次数频率 摩 根2048 1010 蒲 丰2048 0.5069 皮尔逊120006019 皮尔逊24000120120.5005 4040 0.5016 0.4932 从表1-1可以看到，当试验次数 很大以后，频 率 在0.5附近摆动，并逐渐稳定于0.5 我们把频率 围绕摆动的稳定值 ，就叫做事件 的概率，即有概率的统计定义如下： 2概率的统计定义 定义2 在相同的条件下重复进行 次试验，如果当 增大时， 事 件 的 频 率 稳 定 地 在 某 一 常 数 附近摆动 ， 则称常数 为事件 的概率，记为 根据这一定义，可以把由大量重复试验所得到的事件的频率作为事 件概率的近似值 二、古典概型 1等可能概型(也叫做古典概型)：具有以下特点的试验称为 等可能概型： (i) 只有有限个基本事件，即基本空间为有限空间， ； (ii) 每个基本事件发生的可能性是相等的 2古典概率 定义3 设 为等可能概型 中的一个事件， 的基本事件总 数为 ， 事件 所包含的基本事件数为 ，称 为事件 的概率，记 为 ，即 概率的这个定义，称为概率的古典定义，此定义中的概率称为古典概 率 例2 将一枚硬币抛掷三次，求事件“恰有一次出现正面”的概率 解 设 表示事件“出现正面”， 表示事件 “出现反面”， 表示事件“恰有一次出现正面” 这是一个等可能概型，基本空间为 3 H T H T H T H T H T H T H T 1 2 基本事件总数为 事件 所包含的基 本 事件有3个： ，于是有 例3 将一颗匀称的骰子抛掷两次，(1)求两次出现的点数之和等于8的概率 ； (2)求两次出现的点数相同的概率 解 用 表示事件“第一次出现 点，第二次出现 点” 则 该试验的基本空间为 ， 共有 个基本事件 设 表示事件“两次出现的点数之和等于8”， 表示事 件“两次出现的点数相同”则 包含有 个基本事 件 =(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)， 包含有 =6个基本事件 (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)， 所以 ， 3排列组合简介 有些古典概型中基本事件总数 与事件 所包含的基本事件数 ，需用排 列组合的公式来计算 (1) 加法原理与乘法原理 加法原理：如果进行某过程有种 方式，而第种 方式有 种方法 ，则完成该过程共有 种方法 乘法原理：进行某过程必须经过 个步骤，而第个 步骤有 种方法 ，则完成该过程共有 种方法 (2) 常用的排列公式 1从 个不同元素中任取 ( )个元素(不允许重复)排成一列， 称为选排列，共有 种排列方法 特别当 时， 个不同元素的全排列种数为 (3) 常用的组合公式 1从 个不同元素中任取 ( )个元素(不考虑次序)作成一组，共有 2从 个不同元素中任取 个允许重复地排成一列，共有 种 排法 3设有 种不同元素，同种元素是没有区别的，第 种元素有 个 则全部 个元素的全排列总数为 ， 种组合方法 2把 个不同的元素分成 组，使得第 组恰有 个 元素， ，则 共有种分组方法 3设 个元素中有 种类型，第 种类型中有 个元素， 现从这n个元素中取出 个，使得第 种类型的元素恰 有 个元素 ，其中 ，则共有 种不同的取法 例4 袋中装有5个白球3个黑球，从中任取两球，求两球都是白球的概率 解 设 表示事件“取出的两球都是白球”，基本事件总数为 ， 所包含的基本事件数为 ， 则由古典概率得 例5 设某一箱子装有同种类型的电子元件100个，其中有95个合格品，5个不 合格品从箱子中任取4个电子元件，问其中恰有1个不合格品的概率是多少？ 解 设 表示事件“取基本事件总数为所包含的基本事件数为，出的4个 元件中恰有1个不合格品” 基本事件总数为 所包含的基本事件数为 ， 则由古典概率得 例6 从1, 2, 10这十个数字中任取三个，问大小在中间的数字恰好为5的概 率是多少？ 解 设 表示事件“取出的三个数字大小在中间的数字恰好为5” 基本事件总 数为 ， 所包含的基本事件数为 ， 因此所求概率为 例7 设某城市共有 辆汽车，车牌号码从1到 ，有一个人将他所遇到的该 城市的 辆汽车的车牌号码(可能有重复的号码)全部抄下来，假设每辆汽车 被遇到的机会相同，求抄到的最大号码恰好为 (1 )的概率 解 这种抄法可以看作是从 个不同的号码中允许重复地抽取 个号码的排 列，共有 种可能的取法，这是基本事件的总数 因为最大车牌号码不大于 的取法共有 种，而最大车牌号码不大于 的取法共有 种，因此最大 车牌号码正好是 的取法共有 种 设 表示事件“抄到的最大车牌号码正好为 ”，则有 例8 将15名新生(其中有3名优秀生)随机地分配到三个班级去，其中一班4名 ，二班5名，三班6名(1)求每一个班级各分到一名优秀生的概率；(2)求3名优秀 生都分到二班的概率 (2)设 表示事件“3名优秀生都分到二班”， 所包含的基本事件数 ， 则有 解 基本事件总数为 (1)设 表示事件“每一个班级各分到一名优秀生”， 所包含的基本事件为 ,则有 例9 一个班级有30人，要用抽签的办法分配5张电影票，问第1人抽到电影 票和第30个人抽到电影票的概率各为多少？ 解 设 表示事件“第1人抽到电影票”， 表示事件“第30个人抽到电影票” 完成事件 可以看作分成两个步骤，第一步：从5张电影票中留1张给第1人，有 5种方法； 第二步：其余29人任意抽一个签，有29！种方法，于是可知 所包含的基 本事件数为 ， 完成事件 也可以看作分成两个步骤，即留1张电影票给第30个人，而前29人 从29个签中各任取1个，因此 所包含的基本事件数为 ， 此例说明，抽签的问题，先抽与后抽中签的可能性相等 4古典概率的基本性质 设 为等可能概型，基本空间为 ， ， 为 中的事件 性质1 0 1 证 所包含的基本事件数 满足0 ，故有 0 1 性质2 =1 证 必然事件 所包含的基本事件数 恰好是基本事件总数，所以 性质3 若 互不相容，则有 ，或者写成 证 设 Ai包含ki (ki n,I=1,2,m) 个基本事件,故 ,i=1,2,.,m, 由于 互不相容，故事件 包含 个不同的基本事件， 所以 三、几何概型 几何概型：如果一个随机试验相当于从直线、平面或空间的某一区域 上任取 一点，而所取的点落在区域中任意两个度量(长度、面积、体积)相等的子区域内 的可能性是相等的，则称此试验为几何概型 对于任何有度量的子区域 ，我们同时以 表示事件“任取一点落在区 域 内”，定义事件 的概率为 ， 这样定义的概率称为几何概率 O y x+y=1 xy=2/9 1/3 2/3 x 例10 任取两个不大于1的正数，试求其积大于 ，且其和不大于1的概率 解 设两个数分别为 、 ，0 1，0 1， 为平面上一点， 所有点的集合构成基本空间 ，即图中的正方形区域，其面积为 ， 设 表示事件“两数之积大于 ，之和不大于1”，即 表示图中阴影部分， 其面积为 因此 例11 (蒲丰投针问题)在平面上画有等距离的平行线，平行线间的距离为 ， 向平面任意投掷一枚长为 的圆柱形的针，试求此针与任一平行 线相交的概率 解 以 表示针的中点，以 表示针投在平面上之后点 到最近的一条 平行线的距离，以 表示针与此直线的交角(如图)，易知有 0 ，0 ， M x 2a 由这两式确定出 平面上的一个矩形区域 针与最近的一条平行线相 交的充分必要条件是 （ 0）， 由这个不等式确定的区域记作 ，如图中的阴影部分，同时以 表示事件“ 针与最近一条平行线相交” 于是得所求的概率为 x a O x=lsin 如果 与 为已知，则以 值代入上式就可以算得 反之，也可 以利 用上式去求 的近似值，如果投针 次，其中针与平行线相交 次，我 们就以频率 代替 ，代入上式可得 历史上有一些学者曾做过这个试验例如，Wolf在1850年投针5000次，得到 的近似值为3.1596； Smith在1855年投针3204次，得到 的近似值为3.1554； Lazzerini在1901年投针34080次，得到 的近似值为3.1415929 第三节 概率的公理化定义及概率的性质 定义 设 是一个随机试验， 是基本空间，对 的每一事件 ，如果存 在着一个实数(记作 )，它满足以下三个条件： (i) 0 (非负性)； (ii) (规范性)； (iii) 对于两两互不相容的事件 ，有 则称 为事件 的概率 ， (可列可加性) 性质1 证 由 ，再根据可列可加性，有 ， 又因为 0，所以必有 性质2 设 为 个互不相容的事件，则有 ， (有限可加性) 证 令 ，则 为两两互不相容的事件，由可列加性及性质1，有 性质3 对任一事件 ，有 （或） 证 由于 与 互不相容，且 ，所以有 ， 即 或 性质4 若 ，则有 且 证 ， 又 ，因此有 ， 同时由 0 有 证 由于 则有 ，且 于是有 ， 再由 0，有 即 性质5 对任一事件 ，有 1 证 因 ，则有 1 性质6 对任意两个事件 与 ，有 （加法公式） 推论 对任意三个事件 , , 有 (多除少补原理) 例1 设 ， ， ，求 ， 解 ， 例2 设 ， ， ， 求 ， ， ， 解 ， ， 由 ，有0 =0，于是， 再由加法公式 第四节 条件概率 一、条件概率与乘法公式 定义 设 为一试验， , 为 中两事件，且 ，则称 为事件 发生的条件下事件 发生的 条件概率，记作 ，即 可以验证上述定义满足概率公理化定义的三个条件 例1 袋中有5只球，2只红球，3只白球，现依次取两球且不放回，(1)求第 二次取红球的概率，(2)若已知第一次取到红球的条件下，求第二次取到红球的概 率 数为 ， 解 设 表示事件“第一次取到红球”， 表示事件“第二 次取到红球”，基本事件总 (或 ) ， 表示事件“两次都取到红球”，则 ， ， ， ， ， 注意区分 与 定理 若 ，则 ； 若 ，则 例2 一批零件共100件，次品率10%，接连两次从这批产品中任取一个， 不放回，求第二次才取得正品的概率 解 设 表示事件“第一次取次品”， 表示事件“第二 次取正品”，则 表示事件“直到第二次才取得正品” 其概率为 另解 基本事件总数 ，事件 所包含的基本 事件数 ，所以由古典概率有 推论 设 为三事件，且 ，则 例3 已知在20个同种零件中有3个次品，从这20个中任取3次，不放回，求： (1) 三个都是合格品的概率； (2) 至少有一个合格品的概率； (3) 一个是合格品二个是次品的概率 ， ( )， ，于是 解 设 表示事件“第 次取到合格品”， ， 表 示事件“三个都是合格品”， 表示事件“至少一个合格”， 表示 事件“一个合格品二个不合格品”则 二、全概率公式 定义 设试验 的基本空间为 ，事件 满足： (i)两两互不相容， (ii) ， (iii) ， 则称 为 的一个划分(分割) 定理 设 为试验 的基本空间， 为 的一个随机事件， 为 的一个划分，且有 ，则 证明 ， ，且 ，则 推论 设 为 的基本空间， 为 的事件， 互不相容， 例4 袋中有5只球，2只红球，3只白球，依次取两球，求第二次取红球的概 率 解 设 表示第一次取红球的事件， 表示事件“第一次取白球”， 表示事 件“第二次取红球”由全概率公式有 例5 某车间有四个班组生产同一种产品，其产量分别占总产量的15%、20% 、30%、 35%，次品率分别为0.05、0.04、0.03、0.02， 现从全部产品中任取一件，间恰好取到次品的 概率是多少？ 解 设 表示事件“取到第 组的产品”， =1, 2, 3, 4， 表 示事件“恰好取到次品”由全概率公式，有 例6 在两个袋中分别放有 及 个白球和 及 个黑球，今任选一袋， 从中任取一球，求取出白球的概率 解 设 表示事件“取到第 袋”， ， 表示事件“取到白球”，由全概 率公式，有 例7 将外形相同的球分别装入三个盒子，每盒10个球第 一个盒中7个红球3个黄球，第二个盒中5个黑球5个白球，第三 个盒中8个黑球2个白球先在第一盒中任取一球，若取到红球 则在第二个盒中任取一球；若在第一盒中取到黄球则在第三个 盒中任取一球，求第二次取到黑球和第二次取到白球的概率各 为多少？ 解 设 表示事件“从第一个盒中取到红球”，则 表示事件“从第一个盒中取 到黄球”设 表示事件“第二次取到黑球”，则 表示事件“第二次取到白球” (或 ) 练习 有10箱同样的产品，每箱数量相同，其中一厂的 产品有5箱，二厂的产品有3箱，三厂的产品有2箱，各 厂次品率依次为10%、15%、5%现从全部产品中任 取一件，求取到次品的概率（答案0.105） 三、贝叶斯公式 设 为试验 的基本空间， 为任一事件， 为 的一个划分 ， ， ( )，则 （ ） 证明 由全概率公式， ， 再由条件概率公式及乘法公式，得 解 ， 例8 在上述练习中，若已知取到次品，问此次品由哪个厂生产的可能 性 最大？ ， 由此可知，取出的次品由第一厂生产的可能性最大 例9 在电报通讯中，发送端发出的信号是由“ ”和“- ” 两种信号组合的序列由于受到随机干扰，接收端收到 的是“ ”、“-”和“不清”三种信号假设发送“ ”、“-”的概 率分别为0.6和0.4；在发“ ”时，收到“ ”、“-”和“不清” 的概率分别为0.7、0.1和0.2；在发“-”时，收到“ ”、“-” 和“不清”的概率分别为0.1、0.8和0.1求： (1) 在任意发出一个信号后，收到“ ”、“-”和“不清”的概率； (2) 在已知收到“不清”的条件下，问原发送信号是“ ”或“-”的概率各为多 少？ 解 设 和 分别表示事件“发送 和-”， 表示收到“ ”， 表示“收 到”“-”， 表示收到“不清” (1) ， ， (2) ， 第五节 事件的独立性 一、引 例 例1 袋中装有5只白球、4只黑球，依次任取两只球A表示事件“第一次 取到黑球”，B表示事件“第二次取到白球”如果作不放回抽样，则有 ， ， ， 这里 ，从而有 如果作有放回抽样，则有 ， 这里有 在有放回抽样的情况下，有 ，此时 ， 说明事件 发生与否，不影响事件 的概率于是我们就说事件 与事件 是 相互独立的 则称事件 与事件 相互独立 二、事件相互独立的定义与性质 定义 设 、 是试验 的两个随机事件，如果 ， 性质1 若 ，则事件 与事件 相互独立的充分必要条件是 性质2 若 ，则事件 与事件 相互 独立的充分必要条件是 性质3 与 独立 与 独立 与 独立 与 独立 证 设 与 相互独立，即有 ，于是 ， 即知 与 相互独立 当 与 相互独立时，有 ，于是 ， 即知 与 相互独立 类似地可以证明性质3中其它几个结论 注 1当 时，“ 与 相互独立”与“ 与 互不相容”不能同时成立 2事件是否相互独立往往由问题的实际意义来判断 例2 设 与相 互独立， ，求 解 例3 两人分别独立地向同一目标各射击一次，甲命 中率为0.9，乙命中率为0.8，求目标被击中的概率 解 设 表示事件“甲击中目标”； 表示事件“乙击中目标”； 表示事件“目标被击中” 则 由题意可知事件 与事件 相互独立，于是 另解 定义 设 、 、 为三个事件，如果 且 ， 则称事件 、 、 相互独立 注 1三个事件相互独立，可以保证两两相互独立，但