高中数学新课程“疑难问题解决”第二轮研训：函数教学研讨.ppt

高中新课程“疑难问题解决”第二轮研训 函数教学研讨 （1）密切关注省考试院、省教研室对明年 高考比较明确的指导意见，以调整、确定高 三复习的教学要求； （2）立足教材、教参、大纲、学科指导意见， 打好基础，练好内功，并在此基础上切实有效 地提高学生分析问题、解决问题的能力； （3）清楚高效地上好每一节课，精心编制 每一份讲义，细致讲评每一份试卷 教学策略： 关于数学双基： 数学双基的定义是：数学基础知识和基本技能 数学基础指的是从众多的事物和现象中抽象出来的“数与形”的一 般规律的知识，是对已形成的数学概念、规律和方法的表述与运用 “数学双基教学”作为一个特定的名词，其内涵不只限于双基本 身，还包括在数学双基之上的发展张奠宙教授 我国的数学教学具有重视基础知识教学、基本技能训练和能力 培养的传统，数学课程设置和实施应重新审视基础知识、基本 技能和能力的内涵，形成符合时代要求的新的“双基” 普通高中数学课程标准 自浙江省高考数学自主命题以来，注重全面深入地考查基础知 识、基本技能、基本思想方法，考查的内容全面，重点突出。 “双基”如此重要，但从学生对“双基”掌握的 实际情况看，情况不容乐观主要表现在： （1）概念模糊，公式记错； （2）考虑不周，计算出错； （3）常规问题，准确率低； （4）复杂运算，不能优化； （5）新颖问题，无从入手 有效课堂教学的几个维度 教师的专业知识水平； 教师课堂教学的设计水平； 教师的课堂调控能力； 教师的课堂临场应变的能力； 教师的语言表达能力； 师生之间良好的情感交流； 教师的爱心与责任心； 教师的个人人格魅力； 数学有效教学的个人观点 教师的教要清楚 学生的学要清楚 因为数学是清楚的 理由一：前辈名家的实践总结 陈守礼老师课堂教学五十年 教学经验，即“四清”： 概念清晰 语言清快 思路清新 板书清楚 笔试题之一：请写出圆锥曲线一章 的教学内容 面试试题：请你分析三角函数一章 的教学 数学是清楚的，清楚的前提，清楚的推论，得出清 楚的结论； 数学的命题，对就是对，错就是错，不存在丝毫的 含糊； 我们说，数学是易学的，因为它是清楚的，只要大 家按照数学规则，按部就班地学，循序渐进地想， 绝对可以学懂； 我们又说，数学是难学的，也因为它是清楚的，如 果有人不是按照数学规则去学去想，总想把“想当 然”的东西强加给数学，在学会加法的时候就想学 习乘法，那就要处处碰壁，学不下去了 理由二：专家学者的撰述（人教版编者寄语 ） 有效教学的个人观点： 清楚的课就是有效的课 清清楚楚谈函数教学 中学函数教学的主要内容： 函数的概念 函数的图象 函数的性质 函数的应用 几类特殊函数的图象与性质 一、函数的概念 教师应当将自己放在学生的位置 上，他应当看到学生的情况，应当努 力去理解学生心里正在想什么 波利亚 要让学生学得清楚，首先教师要 教的清楚 （一）了解函数概念的 产生与发展历程 1、产生的背景： 欧洲文艺复兴之后的16至17世纪， 科学家们致力于运动的研究，如计算天体 的位置，远距离航海中对经度和纬度的测 量，炮弹的速度对于高度和射程的影响等 诸如此类的问题都需要探究两个变量之 间的关系，并根据这种关系对事物的变化 规律作出判断，如根据炮弹的速度推测它 能达到的高度和射程 运动、变量与曲线的描述，催生了函 数思想，这正是函数产生和发展的背景 从此，数学开始从常量数学发展为变量 数学函数的概念由此逐渐诞生，并一直 占据着数学的核心地位 20世纪以来，世界各国的中学数学内 容也从以解方程为中心转移到以研究函数 为中心 2、函数概念的发展历程： （1）早期函数概念几何观念下的函数 法国数学家笛卡尔（r.descartes,1596- 1650）最先提出了“变量”的概念，他在几何学 一书中不仅引入了坐标，而且实际上也引入了 变量，他在指出 是变量的同时，还注意到 依赖于 而变化，这正是函数思想的萌芽 “数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变数 ，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数 学；有了变数，微分和积分也就立刻成为了必要 ” -恩格斯 （2）十八世纪函数概念代数观念下的函数 1718年，莱布尼兹的学生约翰贝努利 (j.bernoulli，瑞，16671748)在莱布尼兹函数 概念的基础上，强调函数要用公式来表示；他把 函数定义为“一个变量的函数是指由这个变量和常 量以任何一种方式组成的一种量” 1755年，瑞士数学家欧拉(leuler，1707 1783)给出了非常形象的、一直沿用至今的函数符 号，即 ，并将函数定义为：“如果某些变量 ，以一种方式依赖于另一些变量，我们将前面的 变量称为后面变量的函数” （3）十九世纪函数概念对应关系下的函数 1837年德国数学家狄利克雷(dirichlet，1805 1859)提出：“如果对于在某区间上的每一个确定的 值， 都有一个完全确定的值与之对应，则 叫做 的函数” 狄利克雷的函数定义，出色地避免了以往函数定义中 所有的关于依赖关系的描述，较清楚地说明了函数的 内涵，即只要有一个法则，使得取值范围中的每一个 值，有一个确定的值和它对应就行了，不管这个法则 是公式、图象、表格还是其他形式 上述定义，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地 接受至此，函数概念、函数的本质定义已经形成， 这就是人们常说的经典函数定义 等到康托尔(cantor，德，18451918)创 立的集合论在数学中占有重要地位之后， 维布伦(veblen，美，18801960)用“集合 ”和“对应”的概念给出了近代函数定义，通 过集合概念，把函数的对应关系、定义域 及值域进一步具体化了，且打破了“变量是 数”的极限，变量可以是数，也可以是其它 对象（点、线、面、体、向量、矩阵等） （4）现代函数概念关系论下的函数 20世纪初，豪斯道夫(fhausdorff)、库拉 托夫斯基(kuratowski)等数学家于1930年给出了 新的现代函数定义：若对集合m的任意元素x，总 有集合n确定的元素y与之对应，则称在集合m上 定义一个函数，记为y=f(x)。元素x称为自变元， 元素y称为因变元。 函数的定义经过三百多年的锤炼、变革 ，形成了函数的现代定义形式，但这并不 意味着函数概念发展的历史终结，因此， 随着以数学为基础的其他学科的发展，函 数的概念还会继续扩展 正是由于函数概念有如此漫长的 发展历程，所以针对学生的生理和心 理，对函数概念的学习，学生要经历 从初中（变量说）到高中（对应说） 再到大学（关系说）循序渐进式的学 习过程 函数概念小结： （1）函数的变量说定义（传统定义）： 一般地，在某个变化过程中，设有两 个变量 ， ，如果对于 的每一个确定的 值， 都有唯一确定的值，那么就说 是 的函数 函数定义的变量说，是对函数的一个宏 观、整体的把握，它建立在变量的基础上 ，强调了变化，而描述变化，正是函数最 重要的特性 （2）函数的对应说定义（近代定义）： 一般地，设 是非空的数集，如果按照某 种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个 数 ，在集合中 都有唯一确定的数 和它对 应，那么就称 为从集合 到集合 的一 个函数，记作 ， 函数的本质是变量之间的关系，而描述这种 关系的正是“对应”。它能够微观地指出因变量是 如何随着自变量的变化而变化的 对于上述函数（1）（2）的两个定义 ，各有各的不同特点. “变量说”是最朴素、最根本，也是最重要 的，对于初学者更容易接受. “对应说”形式化的程度很高，对于研究函 数的精细性质具有一定的优势 函数概念的灵魂是运动，是变量，是变量 关系. 3、函数概念的几个首次： （1）变量的第一次提出： 法国数学家笛卡尔最先提出了“变量”的概念; （2）“函数”（function）一词首次使用： 德国数学家莱布尼兹在1692年首先创设使用； （3）函数符号“ ”的首次使用： 瑞士数学家欧拉在1755年创立使用； （4）在中国的首次传入： 清代数学家李善兰（18111882），浙江海 宁人，在1859年和英国传教士伟烈亚力合译代 微积拾级中首次将“function”译做“函数” 代微积拾级：这是一部介绍解析几何和微积 分的重要著作，作者是美国数学家罗密士。在翻译此 书时，李善兰说，这部书先讲代数，后讲微分，再讲 积分，由易到难，好像逐级上升，因此取名代微积 拾级 李善兰将“function”译做“函数”，对此解释说： “凡此变量中函彼变量，则此为彼之函数。”亦即：如 果一个变量y（此变量）的表达式中包函另一个 变量x（彼变量），那么y就是x的函数这里“函”是 包含的意思，与欧洲当时之概念十分相近 “function”在现在的英文字典中有四种解释： （1）官能，功能，机能；（2）职务、职责；（3） 盛大的集会；（4）函数 正是李善兰对函数概念正确的理解，因此，他未 将function译为功能或机能，而将之译为函数，来配 合函数表示的意义 4、函数在中学数学教学中的情况： 在20世纪之前，中学数学的中心是方程。1908年 ，数学家f.克莱因担任国际数学教育委员会主席，他 首次提出，中学数学应当以函数为中心，或者说“以 函数为纲”，许多数学家表示赞成，但是数学教育的 观念不可能一蹴而就实际上，直到第二次世界大战 之后，函数思想才全面进入中学数学课程 在中国，1949年之前，中学数学课程中仍然少见 函数的踪迹。当时在中国流行的是著名的范氏大代 数，就是“以代数为纲”的教材，方程式论占据绝大 部分篇幅到了五十年代，中国数学教育全面学习前 苏联，函数终于取得了中学数学课程中的核心地位， 一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数、指数函 数、对数函数、三角函数等等，渐渐成为“数学教学 大纲”以及中考、高考的中心内容 （二）函数的有关概念： 高中函数概念引入的两种方法： （1）先学习映射，再学习函数概念； （2）先通过具体实例，体会数集之间的一种特殊的 对应关系，再学习函数概念 考虑到多数高中学生的认知特点，为了有助于他 们对函数概念本质的理解，人教版采用后一种方 式，从学生已掌握的具体函数的描述性定义入手 ，引导学生联系自己的生活经历和实际问题，尝 试列举各种各样的函数，构建函数的一般概念， 再通过对指数函数、对数函数等具体函数的研究 ，加深学生对函数概念的理解 像函数这样的核心概念需要多次接触、反复体会 、螺旋上升，逐步加深理解，才能真正掌握，灵 活应用 1、函数概念解析 为了能够帮助学生、了解学生，教师应该认 真回顾自己的经历，回顾自己在学习时遇到 的各种困难和取得的各种成功 -波利亚 所以，为使学生对函数概念学得更加清楚， 教师可以对函数概念分层解析： （1）揭示了两个变量之间的某种对应关系； （2） 随着 的变化而变化，即函数值依赖 于自变量； （3）不同的对应关系即为不同的函数； （4）对于定义域内任一自变量，根据对应 法则，有且只有唯一的函数值与之相对应 ； （5）函数有三要素：定义域、值域、对应 关系；两个函数是同一函数，当且仅当这 两个函数的定义域和对应关系相同； （6）函数 的图象与直线 交点 个数至多一个；当 （ 表示函数的定 义域）时，有唯一一个交点；当 时， 没有交点 2、八个基本初等函数： 函数名称 解析式 常数函数 一次函数 二次函数 反比例函数 指数函数 对数函数 幂函数 三角函数 几点说明： （1）函数是描述客观世界变化规律的重 要数学模型，不同函数模型能够刻画现实 世界中不同的变化规律。在区间 上， 尽管函数 都是增函数 ，但它们的增长速度不同，而且不在同一“ 档次”上所以它们为客观世界提供了多种 类型的增长式函数模型 （2）一般地说，三角学是几何学的一部分 如果说平面几何是定性处理三角形的边角关系（ 全等、平等、垂直、大边对大角等），那么三角 学是定量地表示三角形边角之间的定量关系（使 用比例、正弦定理、余弦定理等等）把三角思 想引入三角形边角关系的处理，三角学又成为几 何方法与代数方法相互沟通的桥梁 三角学在古希腊时期诞生，此后广泛用于数 学和天文学的计算但是，那时的三角只限于处 理以内的正角处理任意角而产生三角函数，放 在坐标上画图象，并用微积分方法进行研究，那 是到18世纪的欧拉时代才完成的 三角函数的重要，在于它的周期性自然现 象中的单摆、潮汐、电磁波、三相交流电等等， 都是周期运动 （3）由基本初等函数经过有限次的代数 运算及有限次的函数复合所得到的函数 叫做初等函数例如： ，初等函 数的使用相当广泛在建立描摹大自然的 数学模型时，初等函数能够基本上满足需 要这也正是把初等函数列入中学课程， 并将它作为公民数学素养一部分的原因 3、函数的定义域与值域 （1）函数定义域：是使函数有意义的自变量的 取值范围它是研究函数的基础在讨论函数的性质 、作图、解方程和不等式等问题中都起着重要的作用 定义域的三种形式： 默认型：解析式（题目）有意义的自变量的范围 规定型：题目给定的自变量的范围 实际型：由实际问题的意义所确定的自变量的范围 例、已知函数 ，求函数 的最小值 （2）值域：函数值组成的集合，这个集合是 由定义域内的自变量通过对应关系而得到的函数 值的全体 两点说明： 函数值域（最值）紧紧依赖于定义域； 掌握求函数值域（极值、最值）的几种常用 方法： 分式函数求值域 二次函数求值域 基本不等式求最值 函数单调性定义求值域 导数求值域 值域典例 例1、已知关于 的方程 在区 间 上有实数根，求实数 的取值范围 例2、设 ， ，对于任意 ，存在 ，使 ，求 的 取值范围 二、函数的图象 会运用函数图象理解和讨论函数的性质 考试说明 研究函数的一个重要方面是研究函数的特征，而 函数特征可以直观地用函数的图象显示出来 掌握函数的图象是数形结合研究函数的重要手段 ，根据函数的图象，一方面能迅速准确地得到函 数的单调区间、增减性、极值、最值等特征；另 一方面，典型的函数图象可以帮助人们理解和记 忆函数的性质及特征 （一）作函数图象的四层要求 ： （1）熟练掌握八个基本初等函数的图象 （2）能用描点法作图（已知图象大致趋势 的情况下，如五点法作函数的图象）； （3）能根据八个基本初等函数的图象通过 平移变换、对称变换、伸缩变换得到相应 函数的图象； 左右平移： 上下平移 左右伸缩： 上下伸缩： 对称变换： 图象变换典例 例、（2010浙江理数）设函数的集合 ， 平面上点的集合 ， 则在同一直角坐标系中，p中函数 的图象恰好经过q中 两个点的函数的个数是（ ） （a）4 （b）6 （c）8 （d）10 函数图象教学案例： 充分挖掘课本例题的教学功能，是课堂教 学更有效、更清楚、更精彩的一种行之有 效的好方法 必修一第一章函数表示法例5： 画出函数 的图象 方法一：利用分段函数画出图象； 方法二：利用对称性画出图象 启发学生提出、思考、并解决以下问题： （1）作出函数 的图象； （2）作出函数 的图象； （3）小结作函数 图象的方法； （4）作出函数 的图象； （5）说出函数 的图象特征； （6）作出函数 的图象； （7）说出函数 的图象特征 例1、（2008山东卷）设函数 的图象关于直线 对称，则 的值为： 例2、已知函数 ， 若存在正常数 ，使 ，则不等式 的解集是： 解题教学要向学生暴露思维过程，解题切入点或 突破口的选定要舍得化时间，问题解决过程中“坎 ”的跨越、“陡坡”的攀登要浓墨重彩 “凡是你教的东西，要教得透彻” 罗素 为求“透彻”，教师必须钻进教材，“沉下去”，理 清知识发生的本源，把握教材中最主要的、最本 质的东西只有这样，才能在教学中不断地去“捅 破”题目与方法之间的一层纸，才能让学生真正从 题目中感悟和提炼出最具本质的知识和方法，从 而不断提高学生的综合能力 （4）能根据函数性质作出相对复杂函数的图象 例1、作出函数 的草图 作图的基本步骤： 确定函数的定义域 （判断函数的图象是否有渐近线） 研究函数的奇偶性 （确定画图象时可否偷懒） 研究函数的单调性 （确定图象大致趋势） 研究函数的有界性 （适当运用极限知识加以判定） 描点并用平滑曲线连接 例、作出函数 的草图 （二）函数图象的对称轴与对称中心 （1）函数图象的对称轴： 若 ，则函数的图象有对称 轴： 其本质是：当自变量关于 对称时，函数 值相等； 函数图象关于直线 对称，其表示方式 是不唯一的，可根据题意需要，合理表示， 如 等等 （2）函数图象的对称点： 若 ，则函数 的图象有对 称中心： 其本质是：当自变量关于 对称时， 函数值互为相反数； 更一般地，若 ，则函 数的图象有对称中心： 其本质是：当自变量关于 对称时，函 数值关于 对称； 典例 例1、对于函数 ，在其定义域内 ，是否存在实数 ，使 恒 成立 例2（2009福建）函数 的 图象关于直线 对称，据此可推测： 对于任意的非零实数 关于的方程 的解集都不可能是（ ） a b c d （3）会求与已知函数图象关于定点或定直线 对称图象的解析式 （三）识图（读图）能力 数学图形语言的准确把握和合理运用； 通过函数图象，重点把握函数的定义域、 值域（极值、最值）、单调性、奇偶性（ 对称点、对称轴）、周期性 三、函数的性质 （一）任意性 函数的定义，函数单调性、奇偶性、 周期性的定义都要求自变量具有任意性， 也正是因为自变量的任意性，才体现了函 数“变化”的本质，才赋予了函数丰富多彩 的性质 任意性典例 例1、设奇函数 在 上是单调函数， 且 ，若不等式 对所有 的 都成立，当 时，求 的取 值范围 例2、已知定义在r上的函数 满足：对 任意实数 、 ，有 且 ， 给出下列四个结论： ； 是奇函数； 是周 期函数； 在 上是单调函数. 其中，所有正确结论的序号是： （二）单调性 函数单调性教学的几点说明： 得出定义的方式：特殊到一般，直观到 抽象，用有限表示无限； 教学难点：代数形式的抽象性与逻辑推 理的形式化，充分发挥了数学文字语言、 符号语言的功能； 体会自变量取值的任意性； 如：判定函数 当 时的 单调性 从本质上看，函数的单调性揭示的是一 种变化趋势; 即：一个在给定区间上的单调函数其 图象特征是从左到右是上升（下降）的； 正比例函数 不一定是单调递增函 数； 设 ，且 ，若 成立，则函数 在 上是增（减）函 数； 复合函数的单调性遵循“同增异减”原则， 应特别关注所求单调区间一定是其定义域的 一个或几个子集； 设函数 的定义域关于原点对称， 且在公共区间上单调性相同，则： 有相同的单调性； 的单调性，既与 的单 调性有关，又与它们函数值的正负有关 （二）奇偶性 几点说明： （1）从函数奇偶性的定义中让学生进一步体会自 变量取值的任意性，从而明确函数具有奇偶性的 前提必须是函数的定义域关于原点对称，是函数 定义域规定型的一种具体体现； 同时让学生体会数学语言的严谨性；而这种 体会与感悟，有助于学生对定义的深刻理解，对 于提高学生分析问题、理解问题的能力有很好的 促进作用 （2）引导学生根据函数奇偶性定义，得出以下结论： 若定义域为 的奇函数 ，且 ，则 既奇且偶的函数有无数多个，但其解析式的最终 形式必为： 若一个奇函数有最大值，则其必有最小值，且最 大值与最小值互为相反数； 一个定义域关于原点对称的函数 一定能表示 成一个奇函数 与一个偶函数 的和，即 ： ； （三）周期性 函数周期性的四种常见形式： （1）若 ，则 （2）若 （ 是非零常数，且 ） 则 （3）若 ，则 （4）若函数 满足 ， 则 四、函数应用 函数的应用不仅仅指的是运用函数模 型、函数知识解决实际问题； 更主要的是指综合运用函数知识、方 法、思想分析问题、解决问题； 函数的思想方法将贯穿高中数学课程 的始终普通高中数学课程标准 （1）函数思想 函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研 究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数 ，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题 ，从而使问题获得解决 函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解 题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析 、解决问题 经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最 值、图象变换性 函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面： （1）借助有关初等函数的性质，解决有 关求值、解不等式、解方程以及讨论参数 的取值范围等问题； （2）在问题研究中通过建立函数关系式 或构造中间函数，把研究的问题转化为讨 论函数的有关性质，达到化难为易，化繁 为简的目的 （2）数形结合的思想： 所谓数形结合，就是根据数学问题的条件和结论