第六章 留数理论及其应用 复变函数论 教学课件

返回下页 第六章 留数理论及其应用 前面第二五章为复变函数论的重要理论 本章的内容是对前面理论的进一步应用 留数在实际中应用很广泛， 主要是求积分和零点的分布情况 返回上页下页 内容： 第一节 留数 第二节 解析函数的孤立奇点 第三节 留数理论计算实积分 第四节 辐角原理及其应用 目标或要求： 掌握留数的概念和求法； 掌握留数定理的内容和基本应用方法； 掌握利用留数定理求实积分的基本方法； 了解辐角原理和儒歇定理的简单应用。 返回上页下页 第一节 留数 w 1 留数的定义及留数定理 w 2 留数的求法 w 3 函数在无穷远点的留数 返回上页下页 留数的定义及留数定理 留数 导入 设函数f(z)在点a解析。作圆 使f(z)在以它为边界的闭圆盘上解析,由柯西积分定理, 如果a是f(z)的孤立奇点，则上述积分就不一定等于零. 如： 设a为f(z)的孤立奇点,在以a为心,半径为R 的去心邻域， 即在00,R00, RR0有 引理6.1 设f(z)在圆弧SR ：z=Rei(12,R充分大)上连续, 且 在SR上一致成立(即与12中的无关)， 则 证 z平面 x y 令:z=Rei (12) dz=Re i id=zid， d=dz/zi : 12 z :在圆弧SR上变动一次 SR R 1 R 2 用留数求广 义积分基础 理论之一； R充分大保证 包含角形区 域的全部有 限奇点 返回上页下页 定理6.7 设f(z)=P(z)/Q(z)为有理分式，其中 为互质多项式, 则 证 由n-m2得 作R：z=Rei(0) 取R足够大,使CR的内部包含f(z)在上半平面内的一切奇点, 由在实轴上Q(z)0知, f(z)在CR上连续 由于 当n-m2时 由引理6.1 收敛,且 且n-m2；在实轴上Q(z)0 与线段-R,R构成周线CR 由留数定理得 又 于是公式成立 过 程 比 公 式 更 重 要 返回上页下页 例(P241例6.11) 设 解 被积函数f(x)为偶函数，故 函数f(x)的奇点为 故在上半平面的奇点为： 而： 奇偶函数的 处理方法 计算 为一阶极点 返回上页下页 例(补充例) 求 解 满足定理的要求， 即： 得上半平面的全部奇点为有两个：与 易判断与均为一阶极点， 算留数，有 解方程： 记 其中： 得 返回上页下页 R:有理函数 处理方法与第二种积分的一样 引理6.2(若尔当(Jordan ) 记 (R0充分大) 圆弧R( G): z=Rei (R0R,11) 设g(z)在闭区域G上连续 如果zR在G时,一致成立 则 证 g(z)在有界闭集R上连续, 则模可取最大值,设为M(R), z平面 x y -R R R (m0) z平面 x y R R R 返回上页下页 当0P(z)的次数;在实轴上Q(z)0;m0 则 特别：分开实、虚部就可求积分 改变m ，可用不同区域的留数求不同的积分 例(P244例6.13)计算 解 被积函数为偶函数，故 有两个奇点：i 在上半平面的奇点为: i 所以 为一阶极点 I= 满足上定理中对 g(x)的要求 其留数为: 记 返回上页下页 例(补充例) 计算 解 令 则E=ReH 记 有两个奇点:-2i 其留数为： 由定理得 所以 从而有 为一阶极点 满足上定理中的要求 因此，为了计算E ，只需求出H 上半平面的奇点为:-2+ i 返回上页下页 计算积分路径上有奇点的积分 前面所讲的三种类型都是f(x)在实轴上没有奇点的情况, 如果f(x)在实轴上有奇点, 前述计算方法不完全适用求此广义积分(瑕积分), 但也可以借助复积分来计算某些这类广义积分. 例如f(x)在实轴上有一个奇点z=a(a为实数)要计算 在作辅助线时,应绕过奇点z=a 具体办法是在上半平面,作个以z=a为心, 半径为的半圆周C(如图所示) 上式左端用留数定理计算， 再令0、R+取极限 第一个极限用下面介绍的引理求. 第二个极限用前面介绍的引理求. 如果实轴上有n个奇点，那么分别按上面的方法处理 返回上页下页 例(P246例6.15)计算狄利克雷积分积分 解 积分收敛，且 取f(z)=eiz/z，则f(z)只是在z=0有一个一阶极点。 取、R,使 R 0 , 作积分路径 引理6.3 设f(z)在圆弧Sr ：z-a=rei(12,r充分小)上连续, 且 在Sr上一致成立(即与12中的无关)， 则 证明方法同引理6.1。 返回上页下页 续解例(P246例6.15) 在上半平面上作以原点为心、 、R为半径的半圆C 、 CR 于是有 由引理6.2 于是令0、R+有 则 由引理6.3 返回上页下页 第三节 辐角原理及其应用 w 1 对数留数 w 2 辐角原理 w 3 儒歇(Rouche)定理 返回上页下页 对数留数 概念 应用留数定理,可以解决有关零点与极点的个数问题， 考虑形如f (z)/f (z)的复变函数在极点处的留数, 由之导出的辐角原理提供了确定解析函数零点个数的一个有 效工具。 由于 积分 称为f(z)的对数留数。 函数的对数求导的留数 f (z)/f (z)的奇点：f(z)的零点和奇点。 这里只考虑f(z)的奇点为极点的情况。 返回上页下页 证 由条件得在a的邻域内 于是 引理6.4 设a是f(z)的n阶零点, 则a为函数f (z)/f (z)的一阶极点, 在a解析 且 其中g(z)在a解析非0 设b为f(z)的m阶极点, 则b为函数f (z)/f (z)的一阶极点, 并且 并且 故结论成立 由的结论, b为 的一阶极点,且或 由g(z)在a解析非0, 得g(z)/g(z)在a解析, 由条件得b为1/f (z)的m阶零点, 返回上页下页 零点与极点的个数 定理6.9 设C是一条周线， f(z) 满足: 在C的内部除极点外解析的； 在C上连续非零。 则有 其中N(f,C)、 P(f,C)分别表示f(z)在C内部的零点与极点的个数 一个n阶零点算作n个零点，一个m阶极点算作m个极点 证 由上章习题(二)14P223, 知f(z)在C内至多有有限个零点和极点 设ak为f(z)在C内部的不同零点，其阶为nk (k=1,2,.,p) bj为f(z)在C内部的不同极点，其阶为mj (j=1,2,.,q) 根据条件和引理6.4知f (z)/f (z)在C内部 除去一阶极点: ak (k=1,2,.,p)、 bj (j=1,2,.,q)外解析,并在C上连续 故由留数定理及引理6.4得 返回上页下页 注解： 如将零点和极点等同看待，则由引理6.4知，函数的导 数除函数具有统一阶的作用 都为负一阶零点 一阶极点。 且其留数只与函数零点和极点的阶有关, 而与函数其它性质无关; 定理6.9中的公式可两边用, 由个数求积分,或由积分求个数。 其主要用于研究函数的零点和极点个数， 当然也可以求积分； 定理6.9中的公式有些推广，如本章习题(二)8P275。 返回上页下页 辐角原理 对数留数有一个实际意义,由此给出定理6.9中公式的等价表述. 由于函数 是z的单值函数 但 的值可能改变！ 当z从z0起绕行周线C一周回到z0时： =0 = 式中 表示z沿C绕行一周后argf(z)的改变量， 他一定是2的整倍数。 C y x 0 z平面 v u0 w平面 w=f(z)w0 z0 C 于是 0 1 返回上页下页 从对数留数看，对数留数为自 变量绕周线一周函数幅角的改变 量，即 此等式成立的条件为函数在周线 内除有限个奇点外解析，连续到 边界，边界上无零点； 前面所有结论中的周线可为复 周线； 当原点在周线内部，幅角改变 ，否则幅角不变。 辐角原理 在定理6.9的条件下， f(z)在周线C的内部的零点个数与极点个数之差， 等于当z沿C正方向绕行一周后argf(z)的改变量 除以2 ，即 特别，如f(z)在周线C的内部无极点，则 注： v u0 w平面 变 不变 不变 |z-a|=Ra |w-b|=Rb 返回上页下页 例(P263例6.21) 设 试验证辐角原理。 证 故辐角原理成立。 y x0 z平面 3 1 2 4 z 返回上页下页 儒歇定理 定理5.2(儒歇定理) 设C是周线，函数f(z)及g(z)满足： 在C内部解析并连续到C ； 在C上，|f(z)|g(z)|， 则在C内部，f(z)与f(z)+g(z)的零点个数相同， 即： N(f,C)=N(f+g,C) 证 用辐角原理证明 N(f,C)=N(f+g,C)Carg( f )= Carg( f+g) 周线C在函数1+g/f 的 像周线内部不含原点 周线C在函数1+g/f 的像周线 包含在不含原点的某圆盘内 先证明可以用辐角原理， 即在C上， f(z)与f(z)+g(z)非零 在C上， |f(z)|g(z)| 所以f(z)非零 |f(z)+g(z)| 0 |f(z)|-|g(z)| 0 所以f(z)+g(z)非零 返回上页下页 儒歇定理证明续 zC， |f(z)|g(z)| C y x 0 z平面 v u0 w平面 记 1 2 |w-1|=1 即C在 的像都落在w平面 的圆|w-1|=1内部 或C的像不绕w平面的原点w=0 所以 返回上页下页 儒歇定理注解 应用此定理时，只要估计和式在区域边界上模的值。 组成和的两函数中,在边界上模大的函数零点数为和式函数的 零点数。 用于解决函数零点个数和分布问题。 f(z)及g(z)选择的除满足定理中的条件外，还应保证f(z)的零 点个数好计算。 并注意： 辐角原理也可求零点的个数，但儒歇定理更简单方便。 注意，儒歇定理只是充分条件,而辐角原理为充分必要条件。 不要忽略重根； 多项式,特别是整数次幂函数的应用； 常数的应用； 零点阶的应用。 返回上页下页 例(P267例6.24) 如果|a|e，求证方程ez=azn在单位圆|z|1+1= 12在|z|23+12= 返回上页下页 例(P266例6.23) p(z)=a0zn+a1zn-1+at-1zn-t+1+at zn-t+at+1zn-t-1 +an(a00)， 满足：|at|a0|+|a1|+|at-1|+|at+1| +|an| 则p(z)在|z|a0|+|a1|+|at-1|+|at+1| +|an|g(z)| 由儒歇定理f(z)+g(z)=p(z)在|z|1+2+1=4, 4 1 0 例如w=ez的导数在z平面上任意一点不为零， 返回上页下页 留数计算：(一) 1，2，3 ，(二) 1(1,2,3)，2，3，4，5 R(sinx,cosx)： (一) 4， (二) 1(4)，6 P/Q： (一) 5(1,2)， P/Qeimx： (一) 5(3,4)，