精品基于当地笛卡儿架构的无网格方法课件

基于当地笛卡儿架构的 无网格方法 刘高联 李孝伟 （上海市应用数学和力学研究所，710072） w 1 引 言 传统的数值解法在处理诸如固体裂纹扩展和流体中激波、涡面等 问题时，为了避免网格的过度变形导致计算失败，必须不断地重新构 造计算区域的网格，从而大大降低计算效率并造成计算资源的浪费。 所以，为了有效地解决这些问题，最近几年来已有不少学者将重点放 在了发展所谓的无网格方法上。 无网格方法包括以下几个步骤： 1）在分析的区域中任意地布点； 2）为每一个样点配点，形成覆盖整个计算区域的一系列子域； 3）在每个子域中构造未知量的近似函数； 4）推导样点的离散型的控制方程； 5）求解控制方程。 其中，步骤2）和3）是非常重要的，它们通常决定着操作过程的 复杂程度和数值解的精确性。现有的大部分方法是预设一个半径，以 样点为圆心划出一个子域，然后通过该子域内的所有点上的函数值构 造近似函数。我们知道，如果点的分布是杂乱无章的，划分子域时很 难预设半径大小，并且在不同子域内点的数目不一样，不容易以通用 的形式构造近似函数。 本文提出一种新的无网格方法，其主要特点是自动地在每一样点 建立一个笛卡儿架构并选取相应的邻近点，然后运用全导数公式构造 该样点的所有导数。该方法不需要任何网格单元，所以是彻底的无网 格方法，并且整个过程非常容易通用化，弥补了前有方法的不足。 w 2 离散方法 我们选用下面的Poisson方程来说明本文方法的离散思想： （1） 在无网格方法中，需要运用某一点的一系列邻近点的函数值来近似该点的 函数值及其导数。那么一个重要任务就是为某个样点选择适当的邻点。下面将 说明本文方法的选点过程。 首先，在所研究的区域中任意布点。然后 选取点0作为要在其上构造导数的样点。 引入一个笛卡儿架构0xy ，其原点与点0重 合, 如图1所示。如果某一点在笛卡儿架构 0xy的第四象限中，并且该点离点0和x轴最 近，那么我们将这一点定义为点1，可以看 出点1不会是点0本身。如果某一点在笛卡儿 架构0xy的第一象限中，并且该点离点0和 x轴最近，那么我们将这一点定义为点2。如 果某一点在笛卡儿架构0xy的第一象限中， 并且该点离点0和y轴最近，那么我们将这一 点定义为点3。依据同样的原则可以定义出 图1中的点4点8。对于所研究的区域中的 所有样点均实行同样的操作，那么为每一个 图1 样点0上的笛卡儿架构及点0的邻点 样点配置8个邻点的工作就完成了。 4 2 3 1 5 6 78 16 x y 0 3 8 下面以二阶导数项 为例来说明本文方法的离散过程。 引入辅助点 和点 ，它们分别为线段 、 与x 轴的交点。那么二阶 导数项 可以写为如下的离散形式： （2A ） 其中， ， , , 。 既然点 和点 为辅助点，而不是真正的节点，那么就应当消去方 程(2A)中的 和 。为此，应用如下的全导数公式： （注： 为 与x轴的夹角） 可以得到 （2B1） （2B2） 离散方程（2B2）得 （2C） 类似地，可以得到 （2D） 将方程(2C) 和(2D)代入方程(2A)中消去 和 ，从而得到 的最终 离散表达式： （3） 遵循同样的过程，可以得到 的离散表达式： （4） 其中， ， , , 。 将（3）和 (4)代入方程（1）,得到Poisson方程的离散形式： （5） 其中， ， ， ， ， w 3 数值算例 以二维Poisson方程为例验证本文方法的有效性及精度。 问题1：控制方程和Dirichlet 边界条件为： （6） 该问题具有解析解 。 首先，在计算区域内任意分布节点，采用了密疏两套布点形式，一套为441个节 点，一个套121个节点，分别如图2、3所示。然后运用本文的无网格方法对以上 问题进行数值模拟。得到的等u线如图2、3所示。显然，在密点分布下的等u线 几近于圆心为（0,0）点的同心圆，与理论值吻合良好。在稀点分布下的模拟结 果要差一些，但即使在节点分布如此稀的情况下，也能得到比较可靠的计算结 果，说明了本文方法的有效性和精度都很高。 图2 点分布与等u线(441个节点) 图3点分布与等u线(121个节点) 图4 y=1.0处，沿x方向u分布曲线比较 问题2：平直槽道内得圆柱绕流 控制方程为： （7） 其中， 为流函数。 流动区域如图5所示，取上半区，计算量可以减少一半。 图5 流动区域图 边界条件为： 左边界： 右边界： 上边界： 下边界及圆柱面上： 该问题有精确解： （8） 以上各式中，H为槽道宽度，a为圆柱半径。本算例中取H=8.0，a=1.0。 在计算区域内任意分布节点，如图6所示。然后运用本文的无网格方法 对以上问题进行数值模拟。得到的等线如图6所示。图7给出了计算得到 的圆柱面上的压力系数分布与精确解的对比，二者吻合良好。本算例再 次说明了本文方法的有效性和精度都很高。 图6点分布与等线 图7 圆柱表面的压力分布 fNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z- w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z- 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