2016高中数学人教a必修1第一章1.1.3　集合的基本运算

1.1.3集合的基本运算1并集定义来源:来源:文字语言来源:来源:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)来源:符号语言ABx|xA，或xB图形语言性质(1)AAA，即一个集合与其本身的并集是其本身；(2)AA，即一个集合与空集的并集是其本身；(3)ABBA，即集合的并集运算满足交换律；(4)AAB，BAB，即一个集合是其与任一集合并集的子集；(5)ABBAB，即一个集合与其子集的并集是其自身谈重点 对并集的理解(1)并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，这与生活用语中的“或”是有区别的生活用语中的“或”一般指或此或彼，必居其一，二者不可兼有，而并集中的“或”是可兼有的(2)“xA，或xB”包含三种情况：“xA，但xB”；“xB，但xA”；“xA，且xB”Venn图如图所示：(3)若集合A和B中有公共元素，根据集合元素的互异性，则在AB中仅出现一次如A0,1，B1,0，则AB1,0,1，不能写成1,0,0,1【例11】设集合M4,5,6,8，N3,5,7,8，那么MN等于()A3,4,5,6,7,8 B5,8C3,5,7,8 D4,5,6,8解析：由并集的定义知，MN3,4,5,6,7,8答案：A辨误区 求并集应注意的问题注意应用集合元素的互异性，重复的元素只能出现一次，防止出现AB3,4,5,5,6,7,8,8这样的错误【例12】若集合Ax|x1，Bx|2x2，则AB等于()Ax|x2 Bx|x1Cx|2x1 Dx|1x2解析：画出数轴如图所示，故ABx|x2答案：A点技巧 数轴的应用用数轴来表示不等式的解集较为直观，有助于准确、迅速地解题2交集定义文字语言一般地，由属于A且属于B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作AB(读作“A交B”)符号语言ABx|xA，且xB图形语言性质(1)AAA，A；(2)ABBA；(3)ABA，ABB；(4)ABAAB；(5)(AB)CA(BC)；(6)(AB)(AB)释疑点 对交集的理解(1)概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素(2)概念中的“所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出如A1,2,3,4，B2,3,4,5，则AB2,3,4，而不是AB2,3，2,4或3,4(3)当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是AB(4)定义中“xA，且xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素组成的集合为AB而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于AB【例21】已知集合A0,2,4,6，B2,4,8,16，则AB等于()A2 B4C0,2,4,6,8,16 D2,4解析：观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以AB2,4答案：D【例22】设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB等于()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x4 Dx|1x4解析：在数轴上表示出集合A与B，如下图则由交集的定义可得ABx|0x2答案：A3补集与全集(1)全集一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U谈重点 对全集的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数范围内研究问题时，就把整数集Z看作全集(2)补集定义文字语言对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对全集U的补集，简称为集合A的补集，记作UA符号语言UAx|xU，且xA图形语言性质(1)UAU；(2)UU，UU；(3)U(UA)A；(4)A(UA)U；A(UA)谈重点 对补集的理解(1)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念(2)UA包含三层意思：AU；UA是一个集合，且UAU；UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合(3)若xU，则xA或xUA，二者必居其一【例31】已知全集U1,3,5,7，A5,7，则UA等于()A6 B5,7C1,3,5,7 D1,3解析：全集U中除去集合A中元素剩下的元素是1,3，则UA1,3答案：D【例32】已知全集UR，集合Ax|12x19，求UA错解：由题意，得Ax|0x4，因此UAx|x0，x4错因分析：(1)求集合A的补集时，端点的取舍出现错误；(2)x0与x4之间应该用“或”连接，因为没有“或”连接就表示“x0且x4”的意思正解：由题意，得Ax|0x4，因此UAx|x0，或x4辨误区 求不等式表示的集合的补集易疏忽两点一是要注意不等式在端点处是否带等号，二是要注意两个不等式之间到底用“或”还是用“且”连接4集合的运算(1)集合的基本运算对于用列举法表示的集合，可以根据交集、并集、补集的定义，利用观察法或借助Venn图直接写出集合的运算结果这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏当集合A，B都有无穷多个元素时，A，B的元素无法一一列举，此时求并集、交集就需借助于数轴，将问题直观化、形象化，便于理解但是应当注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算否则，就会无从下手或出现错误例如，集合Ax|2x24，集合By|y23y0，往往错认为集合A中的元素是x，而集合B中的元素是y，则集合A和B没有公共元素，所以AB出错的原因是没有准确把握集合A，B中元素的一般符号的意义：仅仅代表该集合中的元素，也可以换成其他符号就像人的名字一样，仅仅表示这个人，也可以换成其他名字来代替其实，集合A是不等式2x24的解集，则集合Ax|x1，集合B是方程y23y0的解集，则有B0,3，所以有ABx|x10,33(2)集合的混合运算解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(UA)B时，先求出UA，再求交集；求U(AB)时，先求出AB，再求补集注意以下规律：(1)U(AB)(UA)(UB)，如图a；U(AB)(UA)(UB)，如图b(2)A(BC)(AB)CA(BC)(AB)CA(BC)(AB)(AC)A(BC)(AB)(AC)【例41】已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A3,4,5，B4,7,8，求：AB，AB，(UA)(UB)，A(UB)，(UA)B分析：解法一：AB4，AB3,4,5,7,8UA1,2,6,7,8，UB1,2,3,5,6，(UA)(UB)1,2,6，A(UB)3,5，(UA)B1,2,4,6,7,8解法二：AB，AB，A(UB)求法同解法一(UA)(UB)U(AB)1,2,6，(UA)BU(A(UB)1,2,4,6,7,8解法三：画出Venn图，如图所示，可得AB4，AB3,4,5,7,8，(UA)(UB)1,2,6，A(UB)3,5，(UA)B1,2,4,6,7,8【例42】已知全集UR，集合，Bm|32m1，求：(1)AB，AB；(2)U(AB)分析：(1)集合A是不等式组的解集，集合B是不等式32m1的解集，先确定集合A和B的元素，再根据交集和并集的定义，借助于数轴写出；(2)利用(1)的结论，根据补集的定义写出解：(1)x|2x3，Bm|32m1m|m2用数轴表示集合A，B，如图ABx|2x2，ABx|x3(2)由(1)知ABx|2x2，如图所示因此U(AB)x|x2，或x2【例43】已知集合Ax|x23，Bx|2x33xa，求AB解：Ax|x5，Bx|xa3(1)当a35，即a8时，如图所示，ABx|xa3，或x5(2)当a35，即a8时，如图所示，ABx|xR点技巧 求不等式解集的并集的方法(1)用数轴表示不等式的解集(2)若不等式解集端点含有参数，需根据端点大小进行讨论(3)取解集的所有部分形成并集5利用集合运算的结果求参数的值(1)对于已知两个有限集(元素个数有限)的运算结果求参数值的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列出方程(组)求解在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求得的结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性(2)对于已知不等式表示的集合的运算结果求参数值的问题，要结合数轴，通过观察尝试找出不等式集合的端点所处的位置，然后列出不等式(组)，进而求得参数的值或范围(3)要准确理解和应用集合运算的结果这些运算结果实质上是给出了集合间的关系或元素与集合间的关系一般地，有：若ABA，则BA；若ABB，则BA；若UAB，则AUB；若ABC，则AC，BC，也就是说：若xC，则xA或xB；若ABD，则DA，且DB，也就是说：若xD，则xA，且xB例如：集合Ax|1x1，Bx|xa(1)若AB，求a的取值范围；(2)若ABx|x1，求a的取值范围解：(1)如图所示，Ax|1x1，Bx|xa，AB，数轴上点a在1的左侧(含点1)a1(2)如图所示，Ax|1x1，Bx|xa，ABx|x1，数轴上点a在1和1之间(含点1，但不含点1)1a1【例51】设全集U2,3，a22a3，集合A|2a1|,2，UA5，求实数a的值分析：本题是考查补集的有关问题，解题的关键是利用UA5这一条件UA5包含了三层含义：即5U,5A，且AU解：UA5，5U,5A，且AUa22a35，解得a2或a4当a2时，|2a1|35；当a4时，|2a1|95，但是9U故a的值为2辨误区 求解含参数的集合问题应注意检验在求出参数的值后一定要注意检验，例如本题，当a4时，A9,2,9不是全集U中的元素，而实际上集合A中的所有元素都应该属于全集U，故a4不适合题意，应舍去【例52】设集合Ax|x24x，Bx|x22(a1)xa210(1)若ABB，求a的取值范围；(2)若ABB，求a的值分析：可以利用条件“ABBBA”及“ABBAB”求解解：(1)Ax|x24x0,4，又ABB，BA若B，则4(a1)24(a21)0，解得a1因此当a1时，BA若0B，则0为方程x22(a1)xa210的一个根即a210，解得a1当a1时，Bx|x200A；当a1时，Bx|x24x0A若4B，则4为方程x22(a1)xa210的一个根，即a28a70，解得a1或a7由知当a1时AB符合题意，当a7时，Bx|x216x4804,12A综上可知：a1，或a1(2)ABB，AB又A0,4，而B中最多有2个元素，AB，即0,4为方程x22(a1)xa210的两个根解得a1【例53】已知集合Px|2x5，Qx|k1x2k1，求当PQ时，实数k的取值范围错解：PQ，k15或2k12，即k4或k故实数k的取值范围是k4或k错因分析：错误有二处：(1)PQ，集合Q可能是；(2)如果Q不是，则需满足k12k1这一隐含条件正解：(1)当Q是时，有k12k1，即k2，符合题意；(2)当Q不是时，则有或解之得k4综上，实数k的取值范围是k2或k4辨误区 求解有关集合的空集问题应注意两点(1)若两集合的交集为空集，应注意这两个集合是否存在空集的情况；(2)若集合是不等式表示的，并且不等式的端点含有参数，应注意参数的隐含条件6存在性问题求解存在性问题是今后我们会经常遇到的一种题型，它的一般求解方法是：先假设存在，然后根据题设条件进行求解，若求解中出现矛盾式子或无解，则不存在；若有解，并检验，若满足所有条件(包括隐含条件)，则称其为存在要注意检验，这是极易忽视的地方_【例6】已知集合Ax|x2axa2190，Bx|x25x60，是否存在a使A，B同时满足下列三个条件：(1)AB；(2)ABB；(3)(AB)若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由解：假设存在a使得A，B满足条件，由题已知得B2,3ABB，AB，即AB或AB由条件(1)AB，可知AB又(AB)，A，即A2或3当A2时，代入得a22a150，即a3或a5经检验：a3时，A2，5，与A2矛盾，舍去；a5时，A2,3，与A2矛盾，舍去当A3时，代入得a23a100即a5或a2经检验：a2时，A3，5，与A3矛盾，舍去；a5时，A2,3，与A3矛盾，舍去综上所述，不存在实数a使得A，B满足条件7Venn图的应用(1)借助于Venn图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决利用Venn图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性在使用Venn图时，可将全集分成四部分，如图所示，这四部分的含义如下：A(UB)；：AB；：(UA)B；：(UA)(UB)(或U(AB)(2)比较集合运算的三种语言形式可以看出，Venn图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的利用Venn图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解【例71】已知全集Ux|x是不大于30的质数，A，B是U的两个子集，且满足A(UB)5,13,23，B(UA)11,19,29，(UA)(UB)3,7，求集合A，B解：U2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，又A(UB)5,13,23，B(UA)11,19,29，(UA)(UB)3,7，用Venn图表示如图所示，由图易知元素2,17应在集合AB中故A2,5,13,17,23，B2,11,17,19,29【例72】某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27人，参加物理竞赛的有25人，参加化学竞赛的有27人，其中参加数学、物理两科的有10人，参加物理、化学两科的有7人，参加数学、化学两科的有11人，而参加数、理、化三科的有4人，求全班人数解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A，B，C，由题意可知集合A，B，C中的元素个数分别为27,25,27，集合AB，BC，AC，ABC中的元素个数分别为10,7,11,4画出Venn图如图所示，由图可知全班人数为101312647355(人)析规律 有限集中元素的个数的求法我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用card来表示有限集的元素个数，即card(A)表示有限集A的元素个数，则有：card(AB)card(A)card(B)card(AB)；card(ABC)card(A)card(B)card(C)card(AB)card(AC)card(BC)card(ABC)8补集思想的应用对于一些比较复杂、比较抽象、条件和结论之间关系不明朗、难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易、化隐为显的作用，从而将问题解决这就是“正难则反”的解题策略，也是处理问题的间接化原则的体现这种“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求UA，再由U(UA)A求A补集作为一种思想方法，为我们研究问题开辟了新思路，今后要有意识地去体会并运用，在正向思维受阻时，改用逆向思维，可能“柳暗花明”从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现【例8】已知集合Ax|2m1x3m2，Bx|x2，或x5，是否存在实数m，使AB？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解：若AB，分A和A讨论：(1)若A，则2m13m2，解得m3，此时AB(2)若A，要使AB，则应有即所以m1综上，当AB时，m3或m1；当m1或3m时，A