1994年普通高等学校招生全国统一考试（理工农医类）数学

1994年普通高等学校招生全国统一考试数学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分.共150分,考试时间120分钟.第卷(选择题共65分)一、选择题:本大题共15小题;第(1)(10)题每小题4分,第(11)(15)题每小题5分,共65分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.(1)设全集I=0,1,2,3,4,集合A=0,1,2,3,集合B=2,3,4,则(A)0(B)0,1(C)0,1,4(D)0,1,2,3,4【 】(2)如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(A)(0,+)(B)(0,2)(C)(1,+)(D)(0,1)【 】(A)双曲线(B)椭圆(C)抛物线(D)圆【 】(4)设是第二象限的角,则必有【 】(5)某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个分裂为两个).经过3小时,这种细菌由1个可繁殖成(A)511个(B)512个(C)1023个(D)1024个【 】(A)y=sin2x+cos4x(B)y=sin2xcos4x(C)y=sin2x+cos2x(D)y=sin2xcos2x【 】(7)已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为【 】F1PF2=90,则F1PF2的面积是【 】(9)如果复数z满足z+i+z-i=2,那么z+i+1的最小值是【 】(10)有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担.从10人中选派4人承担这三项任务,不同的选法共有(A)1260种(B)2025种(C)2520种(D)5040种【 】(11)对于直线m、n和平面、,的一个充分条件是【 】【 】(13)已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半,且AB=BC=CA=2,则球面面积是【 】【 】(15)定义在(-,+)上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和,如果f(x)=lg(10x+1),x(-,+),那么【 】第卷(非选择题共85分)二、填空题(本大题共5小题,共6个空格;每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上)16.在(3-x)7的展开式中,x5的系数是 .(用数字作答)17.抛物线y2=8-4x的准线方程是 ,圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是 .19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2,圆锥顶点到直线AB的20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,an,共n个数据,我们规定所测量物理量的最佳近似值a是这样一个量:与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.依此规定,从a1,a2,an推出的a= .三、解答题(本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤)21.(本小题满分11分)已知z=1+i.22.(本小题满分12分)23.(本小题满分12分)如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.(1)证明AB1平面DBC1;(2)假设AB1BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角的度数.24.(本小题满分12分)已知直线l过坐标原点,抛物线C顶点在原点,焦点在x轴正半轴上.若点A(-1,0)和点B(0,8)关于l的对称点都在C上,求直线l和抛物线C的方程.25.(本小题满分14分)设an是正数组成的数列,其前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.(1)写出数列an的前3项;(2)求数列an的通项公式(写出推证过程); 1994年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(理工农医类)参考解答一、选择题(本题考查基本知识和基本运算)1.C2.D3.D4.A5.B6.D7.B8.A9.A10.C11.C12.B13.D 14.B15.C二、填空题(本题考查基本知识和基本运算)三、解答题21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力.解:(1)由z1+i,有的三角形式是(2)由z=1+i,有由题设条件知(a+2)-(a+b)i=1-i.22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力.证明:且0cos(x1-x2)1,从而有0cos(x1+x2)+cos(x1-x2)0),且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为y=kx (k0).设A、B分别是A、B关于l的对称点,因而AAl,直线AA的方程为又M为AA的中点,从而点A的坐标为同理得点B的坐标为又A、B均在抛物线y2=2px(p0)上,由得.,整理得 k2-k-1=0.所以直线方程为抛物线方程为解法二:设点A、B关于l的对称点分别为A(x1、y1)、B(x2,y2),则OA=OA=1,OB=OB=8.设由x轴正向到OB的转角为,则x2=8cos,y2=8sin.因为A、B为A、B关于直线l的对称点，而BOA为直角,故BOA为直角,因此由题意知x10,x20,故为第一象限角.因为A、B都在抛物线y2=2px上,将、代入得cos2=2psin,64sin2=2p8cos.8sin3=cos3,2sin=cos,因为直线l平分BOB,故l的斜率25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题的能力.解得a1=2.(a2-2)2=16.由a20,解得 a2=6.(a3-2)2=64.由a30,解得 a3=10.故该数列的前3项为2,6,10.(2)解法一:由(1)猜想数列an有通项公式an=4n-2.下面用数学归纳法证明数列an的通项公式是an=4n-2 (nN).当n=1时,因为41-2=2,又在(1)中已求出a1=2,所以上述结论成立.假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2.由题意,有Sk=2k2.由题意,有由ak+10,解得ak+1=2+4k.所以ak+1=2+4k=4(k+1)-2.这就是说,当n=k