09 平面直角坐标系

平面直角坐标系根据点的坐标特征和几何图形求点的坐标，既是考试的热点，也是本节的重点难点，由于点的坐标是学习平面直角坐标的基础，是研究函数图像的起点，是函数性质研究的基础，为此考试中经常出现核心知识一、平面直角坐标系及相关概念1平面直角坐标系：为了用一对实数表示平面内的点，在平面内画两条互相垂直的数轴组成平面直角坐标系；2x轴（横轴）：平面直角坐标系中水平的数轴，取向右为正方向；3y轴（纵轴）：平面直角坐标系中铅直的数轴，取向上为正方向；4横坐标、纵坐标、坐标：平面直角系内的点向x轴作垂线，垂足在x轴上的坐标叫这个点的横坐标，向y轴作垂线，垂足在y轴上的坐标叫这个点的纵坐标，合起来称为这个点的坐标二、点的坐标特征1x轴上的点M（a，b）的特征：b02y轴上的点M（a，b）的特征：a03象限内点M（a，b）的特征：M在第一象限a0，b0；M在第二象限a0，b0；M在第三象限a0，b0；M在第四象限a0，b0三、对称点的坐标特征1若M（a，b）和N（a，b）关于x轴对称：aa，bb0；2若M（a，b）和N（a，b）关于y轴对称：aa0，bb；3若M（a，b）和N（a，b）关于原点对称：aa0，bb0四、点与点、点与线之间的距离1点M（x0，y0）到原点的距离：r；2点M（x0，y0）到x轴的距离：r|y0|；3点M（x0，y0）到y轴的距离：r|x0|；4点M（x1，y1）与M2（x2，y2）之间的距离：r特别地：若x1x2，则r|y2y1|；若y1y2，则r|x2x1|典型例题：例1 点P（a，b）位于y轴左方，x轴下方，且3，|b1|4，写出P点坐标分析：确定一个点的坐标，先要确定横、纵坐标的符号，再根据该点与x轴和y轴的距离从而确定其坐标本例先确定a、b的符号，再求a、b的值解：由3，得a3由|b1|4，得b5或3p（a，b）在y轴左方，x轴下方p（a，b）是第三象限的点，a0，b0，a3，b3，故p（3，3）例2如果A（a，b）在第四象限内，求A点关于x轴，y轴，原点对称的点坐标，且A点到原点的距离解：设Ax（x1，y1）设Ay（x2，y2），A0（x0，y0）与A点关于x轴，y轴和原点对称则：x1a x2（a） x0（a）ay1（b）b y2b y0（b）bAx（a，b），Ay（a，b），A0（a，b）由A到x轴，y轴的距离分别为|b|，|1a|连接AO，则AO （如图13-1）例3 求半径为5，圆心坐标为P（2，0）的圆与两坐标轴的交点坐标（如图13-2）解：圆心P的坐标为P（2，0），P点在x轴上，故圆与x轴的两交点的坐标为（3，0），（7，0），令圆与y轴正方向的交点为A，边AP，由勾股定理得：OA，圆与y轴两交点坐标为（0，）和（0，）注意：求点的坐标要根据点所在位置的特征，如在x轴上，纵坐标为零；在纵坐标上，其横坐标为零例4 已知平行四边形的三个顶点坐标分别为O（0，0）、A（2，0）、B（1，）求第四个顶点C的坐标解：如图13-3，作BDx轴于D点则OB2，同理AB2，若OA、OB为两邻边，则C在第一象限，OACB为平行四边形，OABCC点坐标为C（3，）；若BO、BA为两邻边，则C（1，）；若AO、AB为两邻边，则C（1，）例5 以点P（1，2）为圆心的圆满足下列条件时，分别求出其半径r的以值范围（1）与坐标轴有唯一交点；（2）与坐标轴有两上交点；（3）与坐标轴有三个交点；（4）与坐标轴有四个交点分析：本例要画出图形，注意数形结合，当与坐标轴只有一个交点时，圆与一个坐标轴相切，与另一坐标轴没有公共点如图13-4A；圆与坐标轴有两个交点，则只与一个坐标轴相交，与另一个坐标轴无公共点，如图13-4B；圆与坐标轴有三个交点，圆与每个坐标轴除一个交点外，另外必须经过原点，如图13-4C；圆与坐标轴有四个交点，则与每个坐标轴有两个交点，且不经过原点，如图13-4D要求半径范围，则要求P到原点距离及到两坐标轴的距离解：P