函数·典型例题精析

22 函数例题解析【例1】判断下列各式，哪个能确定y是x的函数？为什么？(1)x2y1(2)xy21解 (1)由x2y1得y1x2，它能确定y是x的函数于任意的xx|x1，其函数值不是唯一的【例2】下列各组式是否表示同一个函数，为什么？解 (1)中两式的定义域部是R，对应法则相同，故两式为相同函数(2)、(3)中两式子的定义域不同，故两式表示的是不同函数(4)中两式的定义域都是1x1，对应法则也相同，故两式子是相同函数【例3】求下列函数的定义域：【例4】已知函数f(x)的定义域是0，1，求下列函数的定义域：求实数a的取值范围为所求a的取值范围【例6】求下列函数的值域：(1)y5x21(3)yx25x6，x1，1)(4)yx25x6，x1，3(9)y|x2|x1|解 (1)xR，5x211，值域y1(6)定义域为R(7)解：定义域x1且x2(y4)x23(y4)x(2y5)0 当y40时，方程有实根，0，即9(y4)24(y4)(2y5)0化简得y220y640，得y4或y16当y4时，式不成立故值域为y4或y16函数y在t0时为增函数(见图223)(9)解：去掉绝对值符号，其图像如图224所示由图224可得值域y3，3说明 求函数值域的方法：1观察法：常利用非负数：平方数、算术根、绝对值等(如例1，2)2求二次函数在指定区间的值域(最值)问题，常用配方，借助二次函数的图像性质结合对称轴的位置处理假如求函数f(x)ax2bxc(a0)，在给定区间m，n的值域(或最值)，分三种情况考虑：(如例5)可做公式用法求y的范围(如例67)为二次函数求值域但要注意中间量t的范围(如例68)6分离有界变量法：从已知函数式中把有界变量解出来利用有界变量的范围，求函数y的值域(如例66)7图像法(如例69)：由于求函数值域不像求函数定义域那样有一定的法则和程序可寻，它要根据函数解析式的不同特点灵活用各种方法求解解 (2)f(7)10，ff(7)f(10)100说明 本例较简单，但主要用意是深刻理解函数符号f(x)的意义求分段函数值时，要注意在定义域内进行【例8】根据已知条件，求函数表达式(1)已知f(x)3x21，求f(x1)，f(x2)(2)已知f(x)3x21，g(x)2x1，求fg(x)求f(x)(4)已知f(x)是二次函数且f(0)2，f(x1)f(x)x1，求f(x)(5)设周长为a(a0)的等腰三角形，其腰长为x，底边长为y，试将y表示为x的函数，并求它的定义域和值域(1)分析：本题相当于xx1时的函数值，用代入法可求得函数表达式解 f(x)3x21f(x1)3(x1)213x26x2f(x2)3(x2)213x41(2)分析：函数fg(x)表示将函数f(x)中的x用g(x)来代替而得到的解析式，仍用代入法求解解 由已知得fg(x)3(2x1)2112x212x4法(或观察法)x(t1)2代入原式有f(t)(t1)26(t1)7t24t12 (t1)即f(x)x24x12 (x1)说明 解法二是用的换元法注意两种方法都涉及到中间量的问题，必须要确定中间量的范围，要熟练掌握换元法(4)分析：本题已给出函数的基本特征，即二次函数，可采用待定系数法求解解 设f(x)ax2bxc(a0)由f(0)2，得c2由f(x1)f(x)x1，得恒等式2ax说明 待定系数是重要的数学方法，应熟练掌握(5)解：2xya，ya2x为所求函数式三角形任意两