《余弦定理》教案设计3

1.1.2余弦定理天津市武清区大良中学 孙彦强一、教学目标：1、能力要求：掌握余弦定理，能初步运用余弦定理解一些斜三角形。明确余弦定理可解决哪种类型的三角形问题。2、过程与方法：探究式教学使学生明确余弦定理的用途。在探究学习中，认识到余弦定理可以解决某些与几何计算和测量有关的实际问题。二、教学重点、难点：重点：余弦定理公式及其推论的应用；难点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解斜三角形三、预习问题处理：1、余弦定理：三角形中 平方等于 减去 的两倍，即 ； ； 。2、从余弦定理，可以得到它的推论： ； ； 。3、从余弦定理和余弦函数的性质可知，如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是 ；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是 。4、只利用余弦定理，我们可以解决何种类型的问题？四、新课讲解：来源:通过上一节课的学习我们知道，利用正弦定理可以解决两类三角形问题：已知三角形两角和任一边解三角形；已知两边和其中一边的对角解三角形。那么其它类型的解三角形问题是否就没有办法解决了呢？下面我们由正弦定理出发，进行一下探索。正弦定理：（为外接圆半径）由正弦定理可知：来源:即。来源:同理可证：于是，我们可以得到如下定理：来源:数理化网余弦定理（law of cosines） 三角形中任何一边的平方等于其他两边的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即上述证明方法比较烦琐，有没有余弦定理的简单证法呢？我们可以用向量法对其加以证明。如图，设，那么，所以。同理可以证明： 在这个定理的证明过程中，你感觉到向量运算的威力了吗？应用余弦定理，我们可以随一些正弦定理所解决不了的三角形问题进行求解，如：已知两边和夹角求三角形第三边。从余弦定理，可以得到它的推论： ， ， 。应用上述推论，可以对已知三角形三边求其三个内角的问题进行求解。由上述推论可知：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么第三边所对的角是直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角是钝角；如果大于第三边的平方，那么第三边所对的角是锐角。也就是说，如果已知一个三角形的三边长度，我们可以用余弦定理的推论判定三角形的形状。五、例题讲解：例1、在中，已知，解此三角形。解：由余弦定理：，；例、在中，已知，求此三角形三个角的余弦值并判定其形状。解：由余弦定理的推论可得：由可知为钝角，所以为钝角三角形。例3、在中，已知,解此三角形。解：法一：由正弦定理，即，解得，因为，所以或，当时，为直角三角形，此时；当时，所以。 法二：由余弦定理，得，化简可得，解得或。当时，由正弦定理得，;当时，由正弦定理得，问题拓展：如果本题只要求判定三角形形状，是否还是按照上述步骤进行求解。请同学分析上述两种解法的优缺点，从而总结适合自己的方法。六、小结：来源:1、 向量法证明余弦定理；2、 余弦定理及其推论可解决哪种类型的三角形问题；3、 求边用定理，求角用推论；4、 注意正弦