2017年全国高考数学考前复习大串讲专题2.4专题突破：高考中的三角函数于平面向量问题(含答案)

题型一 三角函数的图象与性质 例 1 已知函数 f(x) x x 3 3x 34 ， x R. (1)求 f(x)的最小正周期； (2)求 f(x)在闭区间 4 ， 4 上的最大值和最小值 【 思维升华 】 三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为 y x ) k 的形式，然后将 t x 视为一个整体，结合 y t 的图象求解 【跟踪训练 1】 已知函数 f(x) x 6) x 6) 2 x R(其中 0) (1)求函数 f(x)的值域； (2)若函数 y f(x)的图象与直线 y 1 的两个相邻交点间的距离均为 2 ，求函数 y f(x)的单调增区间 【解析】 (1)f(x) 32 x 12x 32 x 12x (x 1) 2( 32 x 12x ) 1 2x 6) 1. 由 1x 6 )1 ， 得 32x 6 ) 11 ， 所以函数 f(x)的值域为 3,1 题型二 三角函数和解三角形 例 2 【 2015 山东 】 设 f(x) x x 4 . (1)求 f(x)的单调区间； (2)在锐角 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 f 0， a 1，求 积的最大值 【解析】 (1)由题意知 f(x) 1 2x 22 1 x 12. 由 2 2 x 2 2 k Z, 可得 4 x 4 k Z； 由 2 2 x 32 2 k Z, 可得 4 x 34 k Z. 所以 f(x)的单调递增区间是 4 4 k Z)； 单调递减区间是 4 34 k Z) 【 思维升华 】 三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边、角，再代入到三角函数中，三角函数和差公式的灵活运用是解决此类问题的关键 【跟踪训练 2】 已知函数 f(x) 2 2x 76 . (1)求函数 f(x)的最大值，并写出 f(x)取最大值时 x 的取值集合； (2)在 ，角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c.若 f (A) 32， b c 2，求实数 a 的最小值 【解析】 (1) f(x) 2 2x 76 (1 x) 6 6 1 32 x 12x 1 2x 6 . 函数 f(x)的最大值为 2. 要使 f(x)取最大值， 则 2x 6 1， 2 x 6 2 2(k Z)，解得 x 6 ， k Z. 故 f(x)取最大值时 x 的取值集合为 x x 6 ， k Z . 题型三 三角函数和平面向量 例 3 已知向量 a (m， x)， b (x， n), 函数 f(x) a b，且 y f(x)的图象过点 (12，3)和点 (23 ， 2) (1)求 m， n 的值； (2)将 y f(x)的图象向左平移 (0 ) 个单位后得到函数 y g(x)的图象，若 y g(x)图象上各最高点到点 (0,3)的距离的最小值为 1，求 y g(x)的单调递增区间 【解析】 (1)由题意知 f(x) a b x x. 因为 y f(x)的图象过点 (12， 3)和 (23 ， 2)， 所以 3 6 6 ， 2 3 3 ，即 3 12m 32 n， 2 32 m 12n，解得 m 3，n 1. (2)由 (1)知 f(x) 3x x 2x 6) 【 思维升华 】 (1)向量是一种解决问题的工具，是一个载体，通常是用向量的数量积运算或性质转化成三角函数问题 (2)三角形中的三角函数要结合正弦定理、余弦定理进行转化，注意角的范围对变形过程的影响 【跟踪训练 3】 已知向量 a ( ， )， b (x， x)， c (x 2 ， x 2 )，其中 0 x. (1)若 4 ，求函数 f(x) b c 的最小值及相应 x 的值； (2)若 a 与 b 的夹角为 3 ，且 a c，求 的值 【解析】 (1) b (x， x)， c (x 2 ， x 2 )， 4 ， f(x) b c x 2 x 2 2x 2(x x) 令 t x x 4 x ， 则 2x 1，且 1t 2. 则函数 f(x)关于 t 的关系式为 y 2t 1 t 22 2 32， 1t 2， (2) a 与 b 的夹角为 3 ， 3 a b|a| b| x x x