2.3直线、平面垂直的判定及其性质3

两个平面垂直的判定和性质（三）教学目标(一)教学知识点1两个平面互相垂直的判定2两个平面互相垂直的性质(二)能力训练要求1通过本节教学，提高学生空间想象能力2通过问题解决，提高等价转化思想渗透的意识3进一步提高学生分析问题、解决问题的能力(三)德育渗透目标多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神教学重点两个平面垂直的判定、性质教学难点两个平面垂直的判定定理、性质定理运用正确作出符合题意的空间图形教学方法从条件去分析其应具有的结论，从结论去探讨其应具备的条件，诱导学生思考、分析问题教具准备投影片两张第一张：(记作963 A)第二张：(记作963 B)教学过程复习回顾1二面角、二面角的平面角2求作二面角的平面角的途径及依据讲授新课2两个平面垂直的判定师两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情形教室的墙面与地面、一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念类似，也是用它们所成的角为直角来定义的，上一节的学习告诉我们二面角的取值范围是(0，p，即二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角请同学给两个平面互相垂直下一定义：生两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直师那么两个互相垂直的平面画其直观图时，应把直立平面的边画成和水平平面的横边垂直，如下图师生共同动手，图的画是否直观，直接影响问题解决平面a 和b 垂直，记作ab师还以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面即ab ，请同学给出面面垂直的判定定理生两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直师请两位同学给出分析，证明生已知：ABb，ABbB，ABa求证：ab分析：要证ab需证a 和b 构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角证明：设abCD，则由ABa知，AB、CD共面ABb，CDb，ABCD，垂足为点B在平面b内过点B作直线BECD则ABE是二面角a-CD-b的平面角又ABBE，即二面角a-CD-b是直二面角ab师建筑工人在砌墙时，常用一段系有铅锤的线来检查所砌墙面是否和水平面垂直，依据是什么？生依据是两个平面垂直的判定定理，一面经过另一面的一条垂线师从转化的角度来看，两个平面垂直的判定定理可简述为：线面垂直面面垂直3两个平面垂直的性质师在所给正方体中，下式是否正确：平面ADD1A1平面ABCD；D1AAB；D1A面ABCD生AB面ADD1A1，AB面ABCD平面ABCD平面ADD1A1AB面ADD1A1，D1A面ADD1A1ABD1AAA1面ABCD，AD1与平面ABCD不垂直师平面ADD1A1面ABCD，平面ADD1A1平面ABCDAD，A是平面ADD1A1内一点过点A可以在平面ADD1A1内作无数条直线，而这些直线满足什么条件就可以使之与平面垂直？判定定理解决两个平面如何垂直，性质定理可以解决上述线面垂直两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一平面师从转化的角度可表述为：面面垂直，则线面垂直也给了我们以后证明问题的一种思想方法请同学予以证明生证明过程如下：已知：ab、aba，ABa，ABa于B求证：ABb证明：在平面b内作BEa垂足为B，则ABE就是二面角a-a-b的平面角由ab可知，ABBE又ABa，BE与a是b内两条相交直线，ABb师证明的难点在于“作BEa”为什么要做这一步？主要是由两面垂直的关系，去找其二面角的平面角来决定的，构造二面角的平面角过程可以体现学生的创新精神、转化能力例2也可做为性质定理用例2求证：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内已知：ab，Pa，Pa，ab求证：aa(963 A)师请同学分析题的条件及结果，结合投影思考证明思路，为了证aa先作出直线ba然后证a与b是同一条线，生先证，尔后教师给予评注生证明：设abc，过点P在平面a内作直线bc，ab，bb，而ab，Pa因为经过一点只能有一条直线与平面b垂直所以直线a应与直线b重合那么aa师利用“同一法”证明问题，主要是在按一般途径不易完成问题的情形下所采用的一种数学方法，这里要求做到两点：一是作出符合题意的直线b，不易想到；二是证明直线b和直线a重合，相对容易些点P的位置由投影所给的图及证明过程可知，可以在交线上，也可以不在交线上其结论可作性质定理用下面请同学阅读例题3结合投影，试从不同角度证明例3如图，AB是O的直径，点C是圆O上的动点，过动点C的直线VC垂直于O所在平面，D、E分别是VA、VC的中点，直线DE与平面VBC有什么关系？试说明理由(963 B)生可从多角度解决该题解法一：VC面ABC，AC面ABC，BC面ABC，VCAC，VCBC则ACB就是面VBC-VC-面VAC的平面角因AB是O的直径，故ACB90面VBC面VAC又D、E分别是VA、VC的中点，则DEAC而ACVC即DEVC那么DE面VBC运用面面垂直的判定及面面垂直的性质转化关系：二面角是直二面角面面垂直线面垂直解法二：因VC面ABC，AC面ABC，VCAC又AB是O的直径，即有ACBC由此AC面VBC而D、E是VA、VC中点，DEAC，故DE面VBC此法比解法一简单明了，走的弯路较少转化关系：线垂直面线垂直面内线线垂直面与此线平行的线也垂直平面解法三：可找VB中点F，证DEF90，进而证明ED面VBC(由ACVC，BCVC说明之)课堂练习课本P38练习1，2，31画互相垂直的两个平面，两两垂直的三个平面画图略原则：直立平面的竖边画成和水平平面横边垂直此题可改为：在一个正方体中找出互相垂直的平面两两垂直的三个平面，观察表示平面的边与边间关系2检查工件相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，这是为什么？此题说明数学源于实际生活，反过来为实际生活服务解答该题所用的知识就是面面垂直的判定定理，满足一面经过另一面的一条垂线如果尺边和这个面密合，则说明另一尺边垂直于这个面，那么工件的相邻两面互相垂直3如图ab，abl，ABa，ABl，BCb，DEb，BCDE求证：ACDE要证线线垂直，依题创造条件运用三垂线定理需证线面垂直时想到面面垂直性质定理课时小结(1)证明两个平面垂直，关键在于找线，找到的直线在一个平面内而与另一个平面垂直(2)证明直线和平面垂直，若能说明该线在两个垂直平面其中一个内而与交线垂直，则这条直线和另一平面垂直(3)判定定理、性质定理有时要和其他定理结合起来用(例3练习3)课后作业(一)P4012，13，14(必做)P398，9，10，11(任选两题)必做题目12下列命题是否正确？如果正确，请作出证明；如果不正确，请举出反例(画出草图)(1)ag，bgab(2)ab，bgag(3)aa1，bb1，aba1b1解：(1)不正确垂直于同一平面的两面还可能是相交平面(2)不正确垂直于同一平面的两面还可能是平行平面 （1）（2）(3)正确垂直于同一平面的两面可以平行，也可以相交13如图ab，abl，Aa，Bb，ABa，AB与a、b所成的角分别是q1和q2，求点A、B在l上的射影A、B间的距离解：A、B分别是A、B在棱l上的射影，则AAl，BBl而ab，故AAb，BBa，则ABAq2，BABq1因ABacosq1，AAasinq2，故ABa解RtAAB即可求解利用AB若a与b不垂直，那么需经B及A分别作AB及BB的平行线交于点F，连AF，那么ABBF而AF的求解要求用到二面角的平面角14如图，在立体图形V-ABC中，VABVACABC90，平面VAB和平面VBC有何种位置关系？请说明理由解：平面VAB和平面VBC垂直由VABVAC90知VAAB，VAAC，即VA面ABC，BC面ABCVABC又ABC90，BCAB，那么BC面VAB，又BC面VBC，故面VAB面VBC选做题8求证：(1)如果一个平面与另一个平面的垂线平行，那么这两个平面互相垂直；(2)如果一个平面与另一个平面的垂面平行，那么这两个平面互相垂直证明：(1)在平面a内任取一点Pla，PlP、l可确定一平面g设agl则llab该题目难在构造既符合题，又能使问题得证的立体图形(2)设ab，bg过b 内一点P作直线l，使la则lbl与g内任一点Q确定平面d，设dgl，则llla，因此ga题目较抽象，构造图形，创造条件，使问题转化为可利用已有定理来解决9已知ag，bg，abl，求证：lg用文字表述就是：如果两相交面同时垂直于第三面，则交线也垂直于该面证明：过l上任一点P作直线l，使lg，由Pa，ag知la同理可证lb因此，labl，lg问题的证明，实质上采取的是同一法，作出直线l，使之符合条件，使l与l重合10求证：(1)如果三条共点直线两两互相垂直，那么它们中每两条直线确定的平面也两两互相垂直；(2)三个两两垂直的平面的交线两两垂直证明：(1)a、b可确定平面a，a、c可确定平面b因ca，cb，a、b是a内两相交线，ca而cb故有ab同理可证ag，bg题目难在：创造性地利用有关定理解决问题，这要求心中有定理、围绕定理想思路(2)第9题告诉我们垂直于同一面的两相交面，交线也垂直于该面11求证：如果平面a 和不在这个平面内的直线l都垂直于平面b，那么la证明：ab，a内有b 的垂线l，而l、l都垂直于b知ll又l在平面a外，因此la巧妙地利用线线平行线面平行，而找到l使之在a 内而与b 垂直是关键，注意总结规律(二)预习内容及提纲1如何解决寻找二面角的平面角问题？2无棱二面角问题怎样求解？板书设计963两个平面垂直的判定和性质(三)2两个平面垂直的判定判定定理3两个平面垂直的性质性质定理，例2例3练习小结作业备课资料一、异面直线上两点间距离已知两条异面直线a、b所成角为q ，其公垂线段AA1d，在a、b上分别取点E、F，设A1Em，AFn，则EF_解析：设经b而与a平行的平面为a，线AA1及线a确定的平面为b，abcaa，ac那么b、c所成角就是异面直线a、b成角AA1b，AA1c，则AA1a，故ab经E作EGc于G，则EGa连GF，EGGF，EGAA1d，那么在GAF中，FG2m2n2-2mncosq在EGF中，EF2EG2FG2d2FG2故EF2d2m2n2-2mncosq当F在另一侧(AA1另一侧)，EF2d2m2n2-2mncos(180-q)d2m2n22mncosq故EF答案：评述：在该题解决过程中，从平面的性质到面面垂直、线面垂直，涉及多个知识点，求解过程体现等价转化思想，将空间两异面直线上任意两点距离问题，通过平面a、平面b 转化为平面问题公式说明两异面直线公垂线的存在性，且公垂线段长是异面直线上任两点连线最短的公式应用1求异面直线上任意两点距离2求二面角的平面角例1二面角a-l-b为60，Aa，Bb，ACl于C，BDl于D，AC5 cm，BD7 cm，CD，求AB解：将AC、BD看成两异面直线经D作DEAC，则DECD，又BDCD，则EDB就是a-l-b的平面角BDE60而BDE也是AC、BD成角又CD是AC、BD的公垂线，那么EF7 (cm)评述：在二面角内构造图形，找角的大小，确定公垂线是关键，这是利用公式求距离的问题例2在空间四边形ABCD中，DBDC1，BC，CAAB2，AD，求二面角A-BD-C的大小解：因DBDC1，BC，DC2DB2BC2即DBC是直角三角形BDCD又BA2BD241AD2，即ABD是直角三角形，ABBD那么AB与DC两线所成角的大小等于所求二面角的大小，设角为q，则有cosqq 60评述：该题说明一个二面角的大小可以用异面直线所成角来度量，但要注意此时存在角的范围变化，二面角可以是钝角，但异面直线决不能是钝角，运用公式时注