课时训练15 空间向量的数量积运算

课时训练15空间向量的数量积运算一、综合题1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,的夹角为().A.60B.90C.135D.45答案:B解析:由于AB平面BCC1B1,所以ABC1B,从而的夹角为90.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列命题:()2=3;()=0;的夹角为60.其中正确命题的个数是().A.1B.2C.3D.0答案:B解析:,均正确;不正确,因为夹角为120.3.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a,点E,F分别是BC,AD的中点,则的值为().A.a2B.a2来源:C.a2D.a2答案:C解析:)=a2.4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是上底面的中心,则AC1与CE的位置关系是().A.重合B.垂直C.平行D.无法确定答案:B解析:).设正方体的边长为1,于是=()=0-0+0-0-+1-0-0=0,故,即AC1与CE垂直.5.已知四边形ABCD为矩形,PA平面ABCD,连结AC,BD,PB,PC,PD,则下列各组向量中,数量积不为零的是().A.B.C.D.答案:A解析:可用排除法.因为PA平面ABCD,所以PACD,=0,排除D.又因为ADAB,所以ADPB,所以=0,同理=0,排除B,C,故选A.6.设A,B,C,D是空间中不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则BCD是().A.钝角三角形B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定答案:B解析:=()()=0,同理,可证0,0.所以BCD的每个内角均为锐角,故BCD是锐角三角形.7.设向量a与b互相垂直,向量c与它们构成的角是60,且|a|=5,|b|=3,|c|=8,则(a+3c)(3b-2a)=.答案:-62解析:(a+3c)(3b-2a)=3ab-2|a|2+9bc-6ac=-62.8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,向量两两夹角均为60,且|=1,|=2,|=3,则|=.答案:5解析:由于,|2=()2=|2+|2+|2+2()=12+22+32+2=25,故|=5.9.已知在空间四边形OABC中,AOB=BOC=AOC,且OA=OB=OC,M,N分别是OA,BC的中点,G是MN的中点,求证:OGBC.解:如图,连结ON,设AOB=BOC=AOC=,又设=a,=b,=c,则|a|=|b|=|c|.来源:)=(a+b+c),=c-b,(a+b+c)(c-b)=(ac-ab+bc-b2+c2-bc)来源:数理化网=(|a|2cos-|a|2cos-|a|2+|a|2)=0.OGBC.10.如图,在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中,E,F分别是DD,DB的中点,G在棱CD上,CG=CD,H为CG的中点,来源:(1)求证:EFBC;(2)求EF,CG所成角的余弦值;(3)求FH的长.来源:(1)解:设=a,=b,=c,则cb=ba=ca=0,|a|2=a2=1,|b|2=b2=1,|c|2=c2=1.=-c+(a-b)=(a-b-c),=b-c,(a-b-c)(b-c)=(c2-b2)=(1-1)=0,EFBC.(2)解:=-c+(a-b)=(a-b-c),=-c-a,(a-b-c),|2=(a-b-c)2=(a2+b2+c2)=.|2=c2+a2=