综合素质检测3

第三章综合素质检测时间120分钟，满分150分。一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1下列说法中不正确的是()A平面的法向量垂直于与平面共面的所有向量B一个平面的所有法向量互相平行C如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D如果a、b与平面共面且na，nb，那么n就是平面的一个法向量答案D解析只有当a、b不共线且a，b时，D才正确2已知a(cos，1，sin)、b(sin，1，cos) ，且a b则向量ab与ab的夹角是()A90B60C30D0答案A解析|a|22，|b|22，(ab)(ab)|a|2|b|20，(ab)(ab)3已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)、B(2，5,1)、C(3,7，)，若，则等于()A28B28C14D14答案D解析(2，6，2)，(1,6，3)，21662(3)0，解得14，故选D.4若向量a，b，c是空间的一个基底，则一定可以与向量p2ab，q2ab构成空间的另一个基底的向量是()AaBbCcDab答案C解析因为apq，所以a、p、q共面，故a、p、q不能构成空间的一个基底，排除A；因为bpq，所以b、p、q共面，故b、p、q不能构成空间的一个基底，排除B；因为abpq，所以ab、p、q共面，故ab、p、q不能构成空间的一个基底，排除D；故选C.5(2015山东烟台高二期末测试)在空间直角坐标系Oxyz中，已知A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D(1,1，)，若S1、S2、S3分别表示三棱锥DABC在xOy、yOz、zOx坐标平面上的正投影图形的面积，则()AS1S2S3BS2S3S1CS1S3S2DS1S2S3答案B解析由题意可得S1222，S22，S32，故S2S3S1.6已知a、b是两异面直线，A、Ba，C、Db，ACb，BDb且AB2，CD1，则直线a、b所成的角为()A30B60C90D45答案B解析由于，()21.cos，60，故选B.7(2015福建八县一中高二期末测试)如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点E为上底面对角线A1C1的中点，若xy，则()Ax，yBx，yCx，yDx，y答案A解析()，x，y.8已知A(1,1,2)、B(1,0，1)，设D在直线AB上，且2，设C(，1)，若CDAB，则的值为()A.BC. D.答案B解析设D(x，y，z)，则(x1，y1，z2)，(2，1，3)，(1x，y，1z)，2，.D(，0)，(，1)，2()3(1)0，.9如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA1，E、F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为()A1 B.C. D.答案C解析以点A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则E(1,1，)、F(2,1，)，所以|EF|，故选C.10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCDA1B1C1D1，AB1，BC2，AA13，则点B到直线A1C的距离为()A. B.C.D1答案B解析过点B作BE垂直A1C，垂足为E，设点E的坐标为(x，y，z)，则A1(0,0,3)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，(1,2，3)，(x，y，z3)，(x1，y，z)因为，所以，解得，所以(，)，所以点B到直线A1C的距离|，故选B.11如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为()A. B.C. D.答案C解析如图，以D为坐标原点，直线DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则D1(0,0,1)、E(1,1,0)、A(1,0,0)、C(0,2,0)从而(1,1，1)、(1,2,0)、(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为n(a，b，c)，则，即，得.令a2，则n(2,1,2)所以点E到平面ACD1的距离为h.12如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是正方形ADD1A1和ABCD的中心，G是CC1的中点，设GF、C1E与AB所成的角分别为，则等于()A120B60C75D90答案D解析建立坐标系如图，设正方体的棱长为2，则B(2,0,0)、A(2,2,0)、G(0,0,1)、F(1,1,0)、C1(0,0,2)、E(1,2,1)则(0,2,0)、(1,1，1)、(1,2，1)，cos，cos，cos，sin，cos，sin，cos()0，90.二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13已知A(1,2,0)、B(0,1，1)，P是x轴上的动点，当取最小值时，点P的坐标为_答案(，0,0)解析设P(x,0,0)，则(x1，2,0)，(x，1,1)，x(x1)2(x)2，当x时，取最小值，此时点P的坐标为(，0,0)14已知正四棱台ABCDA1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为_答案解析设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系AB2，A1B11，ACBD2，A1C1B1D1，平面BDD1B1平面ABCD，B1BO为侧棱与底面所成的角，B1BO60，设棱台高为h，则tan60，h，A(0，0)，D1(，0，)，B1(，0，)，C(0，0)，(，)，(，)，cos，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为.15三棱锥PABC中，PAPBPCABAC1，BAC90，则直线PA与底面ABC所成角的大小为_答案45解析由条件知，ABAC1，BAC90，BC，PBPC1，BPC90，取BC边中点E，则PE，AE，又PA1，PEA90，故PAE45，E为BC中点，PEBC，AEBC，BC平面PAE，平面PAE平面ABC，PAE为直线PA与平面ABC所成角16已知矩形ABCD中，AB1，BC，将矩形ABCD沿对角线AC折起，使平面ABC与平面ACD垂直，则B与D之间的距离为_答案解析如图，过B、D分别向AC作垂线，垂足分别为M、N.则可求得AM、BM、CN、DN、MN1.由于，|2()2|2|2|22()()212()22(000)，|.三、解答题(本大题共6个大题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG2GD，a，b，c，试用基底a，b，c表示向量.解析BG2GD，.又ac2b，b(ac2b)abc.18(本小题满分12分)(2015黑龙江哈师大附中高二期中测试)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC，D是棱AC的中点，且ABBCBB12.(1)求证：AB1平面BC1D；(2)求异面直线AB1与BC1所成的角解析(1)如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD.O为B1C的中点，D为AC的中点，ODAB1.AB1平面BC1D，OD平面BC1D，AB1平面BC1D.(2)建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz.则B(0,0,0)、A(0,2,0)、C1(2,0,2)、B1(0,0,2)(0，2,2)、(2,0,2)cos，设异面直线AB1与BC1所成的角为，则cos，(0，)，.19(本小题满分12分)如图所示，在四面体ABCD中，AB、BC、CD两两互相垂直，且BCCD1.(1)求证：平面ACD平面ABC；(2)求二面角CABD的大小；(3)若直线BD与平面ACD所成的角为30，求线段AB的长度解析解法一：(1)CDAB，CDBC，CD平面ABC.又CD平面ACD，平面ACD平面ABC.(2)ABBC，ABCD，AB平面BCD，ABBD.CBD是二面角CABD的平面角在RtBCD中，BCCD，CBD45.二面角CABD的大小为45.(3)过点B作BHAC，垂足为H，连接DH.平面ACD平面ABC，BH平面ACD，BDH为BD与平面ACD所成的角BDH30.在RtBHD中，BD，BH.又在RtBHC中，BC1，BCH45，在RtABC中，AB1.解法二：(1)同解法一(2)设ABa，建立如图所示的空间直角坐标系Bxyz，则B(0,0,0)、A(0,0，a)、C(0,1,0)、D(1,1,0)，(1,1,0)、(0,0，a)平面ABC的法向量(1,0,0)，设平面ABD的一个法向量为n(x，y，z)，则有nxy0，naz0，z0，取y1，则x1，n(1,1,0)cos，n，由图可知二面角CABD为锐角，二面角CABD的大小为45.(3)(0,1，a)、(1,0,0)、(1,1,0)设平面ACD的一个法向量是m(x，y，z)，则myaz0，mx0，令z1，ya，则m(0，a,1)直线BD与平面ACD所成角为30，cos，mcos60，解得a1，AB1.20(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，已知AB2，AA15，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DEB1F1.(1)求证：BE平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离解析(1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)(2,2,0)、(0,2,4)、(2，2,1)、(2，0,1)0，0，BEAC，BEAF，且ACAFA.BE平面ACF.(2)解：由(1)知，为平面ACF的一个法向量，点E到平面ACF的距离d.故点E到平面ACF的距离为.21(本小题满分12分)(2015四川南充高中高二期中测试)如图所示，PD底面ABCD，四边形ABCD是正方形，PDDC，E是PC的中点(1)证明：PA平面BDE；(2)求二面角BDEC的余弦值解析建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.设PDDCa，则D(0,0,0)、A(a,0,0)、P(0,0，a)、B(a，a,0)、E(0，)、C(0，a,0)，(a,0，a)、(a，a,0)、(0，)、(0，a,0)(1)设平面BDE的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则有，即，.n1(1，1,1)n1a0a0，n1，又AP平面BDE，AP平面BDE.(2)设平面CDE的一个法向量为n2(1,0,0)cosn1，n2，二面角BDEC的余弦值为.22(本小题满分14分)(2015天津理，17)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解析如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0,0,0)、B(0,1,0)、C(2,0,0)、D(1，2,0)、A1(0,0,2)、B1(0,1,2)、C1(2,0,2)、D1(1，2,2)，又因为M、N分别为B1C和D1D的中点，得 M、N(1，2,1)(1)依题意，可得n(0,0,1)为平面ABCD的一个法向量，MN，由此可得，MNn0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD. (2)AD1(1，2,2)、AC(2,0,0)，设n1(x1，y1，