数学人教ｂ必修1第一章1.2.2　集合的运算

1.2.2集合的运算1交集定义来源:文字语言来源:一般地，对于两个给定的集合A，B，由属于A又属于B的所有元素构成的集合，叫做A，B的交集，记作AB.(读作“A交B”)符号语言ABx|xA，且xB图形语言性质(1)ABBA；(2)AAA，AA；(3)ABA，ABB；(4)ABAAB；(5)(AB)CA(BC)谈重点 对交集的理解1符号语言中的“且”是指同时属于集合A和集合B的全部元素，也就是说AB是集合A与B的全部“公共”元素所构成的集合2当集合A和集合B无公共元素时，不能说集合A，B没有交集，而是AB.3“xA，且xB”与“x(AB)”是等价的，即由既属于A，又属于B的元素构成的集合为AB.而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于AB.【例11】已知集合A0,2,4,6，B2,4,8,16，则AB等于()A2 B4C0,2,4,6,8,16 D2,4解析：观察集合A，B，可得集合A，B的全部公共元素是2,4，所以AB2,4答案：D【例12】设集合Ax|1x2，Bx|0x4，则AB等于()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x4 Dx|1x4解析：在数轴上表示出集合A与B，如下图则由交集的定义，得ABx|0x2答案：A【例13】已知A(x，y)|xy0，B(x，y)|xy2，求AB.解：AB(x，y)|xy0(x，y)|xy2(1，1)2并集定义文字语言一般地，对于两个给定的集合A，B，由两个集合的所有元素构成的集合，叫做集合A与B的并集，记作AB(读作“A并B”)符号语言ABx|xA，或xB图形语言性质(1)ABBA，即集合的并集运算满足交换律；(2)AAA，即一个集合与其本身的并集是其本身；(3)AAA，即一个集合与空集的并集是其本身；(4)A(AB)，B(AB)，即一个集合是其与任一集合并集的子集；(5)ABBAB，即一个集合与其子集的并集是其自身.谈重点 对并集的理解1AB中的元素包含三种情况：(1)xA，但xB；(2)xB，但xA；(3)xA，且xB.2对概念中“所有”二字的理解，不能认为AB是由A与B中的所有元素构成的，是简单的拼凑若集合A和B中有公共元素，根据集合中元素的互异性，知公共元素在AB中仅出现一次如A0,1，B1,0，则AB1,0,1，不能写成1,0,0,1【例21】设集合M4,5,6,8，集合N3,5,7,8，那么MN等于()A3,4,5,6,7,8B5,8C3,5,7,8 D4,5,6,8答案：A辨误区 求并集时应注意的问题注意应用集合中元素的互异性，重复的元素在并集中只能出现一次，防止出现AB3,4,5,5,6,7,8,8这样的错误【例22】已知集合Ax|0x7，Bx|x5，则AB等于()Ax|x7 Bx|x0Cx|5x7 Dx|0x5解析：用数轴表示AB，如下图所示的阴影部分则ABx|x7答案：A点评：用数轴来表示不等式的解集，较为直观，有助于准确、迅速地解题3全集与补集(1)全集在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集，通常用U表示谈重点 对全集的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的例如：我们常把实数集R看作全集，而当我们在整数内研究问题时，就把整数集Z看作全集(2)补集定义文字语言如果给定集合A是全集U的一个子集，由U中不属于A的所有元素构成的集合，叫做A在U中的补集，记作UA，读作“A在U中的补集”符号语言UAx|xU，且xA图形语言性质(1)UAU；(2)UU，UU；(3)U(UA)A；(4)A(UA)U；A(UA)；(5)(UA)(UB)U(AB)；(UA)(UB)U(AB)谈重点 对补集的理解1UA包含三层意思：(1)AU；(2)UA是一个集合，且UAU；(3)UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合2补集的概念具有某种相对性，即只有明确全集，才能确定其子集的补集【例31】已知集合U1,2,3,4,5,6,7，A2,4,5,7，B3,4,5，则(UA)(UB)等于()A1,6 B4,5C2,3,4,5,7 D1,2,3,6,7解析：(方法一)由题意，得(UA)(UB)1,3,61,2,6,71,6(方法二)AB2,3,4,5,7，则(UA)(UB)U(AB)1,6答案：A【例32】已知全集UR，Ax|x1或x6，则UA等于()Ax|1x6Bx|x1或x6Cx|1x6Dx|x1或x6解析：用数轴表示集合A为如图所示的阴影部分，则UAx|1x6答案：C4集合的基本运算(1)对于用列举法表示的集合，可以根据交集、并集、补集的定义，利用观察法或借助维恩图直接写出集合的运算结果这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏例如，已知全集U0,1,2,3,4,5,6,7,8,9，集合A0,1,2,3，集合B3,4,9，根据交集、并集、补集的定义，观察可得AB0,1,2,3,4,9，AB3，UA4,5,6,7,8,9(2)用描述法给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其特征性质，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算否则，就会无从下手或出现错误例如，集合Ax|2x24，集合By|y23y0，往往错认为集合A中的元素是x，而集合B中的元素是y，则集合A和B没有公共元素，所以AB.出错的原因是没有准确把握集合A，B 中元素的一般符号的意义：仅仅代表该集合中的元素，也可以换成其他符号其实，集合A是不等式2x24的解集，则集合Ax|x1，集合B是方程y23y0的解集，则有B0,3，所以有ABx|x10,33特别地，当已知集合均是用描述法给出的连续“数集”时，常先用数轴表示所给的集合，再借助于数轴的直观性，写出集合运算的结果例如：已知集合Ax|x1或x3，Bx|2x4，则(UA)B等于()Ax|1x4 Bx|2x3Cx|2x3 Dx|1x4解析：如图所示，UAx|1x3，(UA)Bx|2x3答案：C【例41】集合PxZ|0x3，MxR|x29，则PM()A1,2 B0,1,2Cx|0x3 Dx|0x3解析：P0,1,2，Mx|3x3，PM0,1,2答案：B【例42】已知全集UR，集合，集合Bm|32m1，求：(1)AB，AB；(2)U(AB)分析：(1)集合A是不等式组的解集，集合B是不等式32m1的解集，先确定集合A和B中的元素，再根据交集和并集的定义，借助于数轴写出；(2)利用(1)的结论，根据补集的定义写出规范解答顾问点评解：(1)x|2x3，Bm|32m1m|m2(得分点)用数轴表示集合A，B，如图ABx|2x2，ABx|x3(得分点)(2)由(1)知ABx|2x2，如图所示U(AB)x|x2或x2(得分点)借助数轴求解比较直观，且易于观察结果，这里要注意端点的虚实另外本题的结果还可以写成ABm|2m2，ABm|m3，U(AB)m|m2或m2.【例43】设全集U2,3，a22a3，A|2a1|,2，UA5，求实数a的值解：UA5，5U,5A，且AU.a22a35，解得a2或a4.当a2时，|2a1|35.当a4时，|2a1|95，但9U.a2.5集合的基本运算与方程的交汇问题(1)已知集合的运算结果求方程中的参数值，实质上是集合运算关系的逆向思维的应用解决这类问题的关键是对集合运算的有关结果准确理解和应用这些运算结果实质上是给出了集合间的关系或元素与集合间的关系一般地，有：若ABA，则BA；若ABB，则BA；若UAB，则AUB；若ABC，则AC，BC.也就是说：若xC，则xA或xB；若ABD，则DA，且DB.也就是说：若xD，则xA，且xB.(2)当x|f(x)0时，则说明关于x的方程f(x)0无实数解如x|mx2mx10，则表示关于x的方程mx2mx10无实根，要注意当m0时，方程无实根【例5】设集合Ax|x24x，Bx|x22(a1)xa210(1)若ABB，求a的取值范围；(2)若ABB，求a的值分析：可以利用条件“ABBBA”及“ABBAB”求解解：(1)Ax|x24x0,4，又ABB，BA.若B，则4(a1)24(a21)0，解得a1.当a1时，BA.若0B，则0为方程x22(a1)xa210的一个根，即a210，解得a1.当a1时，Bx|x200A；当a1时，Bx|x24x0A.若4B，则4为方程x22(a1)xa210的一个根，即a28a70，解得a1或a7.由知当a1时，AB符合题意，当a7时，Bx|x216x4804,12A，综上可知，a1，或a1.(2)ABB，AB.又A0,4，而B中最多有2个元素，AB，即0,4为方程x22(a1)xa210的两个根解得a1.6集合的基本运算与不等式的交汇问题(1)求解几个不等式解集之间的交集、并集、补集的运算问题，通常要借助数轴，把集合所表示的范围在数轴上明确地表示出来，通过数轴，直观形象地找出集合的运算结果(2)当x|f(x)0时，表示关于x的不等式f(x)0无解当x|f(x)0，x|f(x)0，x|f(x)0时，也表示相应的不等式无解如x|mx10，则表示关于x的不等式mx10无解当x|nxm时，表示关于x的不等式nxm无解，此时有nm.如x|ax1a，则关于x的不等式ax1a无解，则有a1a，所以a.(3)对于含有参数的不等式的解集的运算问题，要结合数轴，通过观察尝试找出不等式解集的端点可能所处的位置，然后列出不等式(组)，从而求得参数的值或范围点技巧 求不等式解集的并集的方法(1)用数轴表示不等式的解集(2)若不等式的解集的端点含有参数，需根据端点大小进行讨论(3)取解集的所有部分构成并集【例61】已知集合Ax|4x2，集合Bx|xa0(1)若ABA，求a的取值范围；(2)若全集UR，且AUB，求a的取值范围解：(1)Bx|xa，又ABA，AB.如图所示a4.(2)UBx|xa，如下图所示AUB，a2.【例62】集合Ax|1x1，Bx|xa(1)若AB，求a的取值范围；(2)若ABx|x1，求a的取值范围解：(1)如图所示，Ax|1x1，Bx|xa，且AB，在数轴上，点a在1的左侧(含点1)a1.(2)如图所示，Ax|1x1，Bx|xa，且ABx|x1，在数轴上，点a在1和1之间(含点1，但不含点1)1a1.7维恩图在集合运算中的应用借助于维恩图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决，利用维恩图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性在使用维恩图时，可将全集分成四部分，如图所示，这四部分的含义如下：A(UB)；：AB；：(UA)B；：(UA)(UB)(或U(AB)【例7】集合Sx|x10，且xN，AS，BS，且AB4,5，(SB)A1,2,3，(SA)(SB)6,7,8，求集合A和B.分析：本题可用直接法求解，但不易求出结果，用Venn图法较为简单解法一：因为AB4,5，所以4A,5A,4B,5B.因为(SB)A1,2,3，所以1A,2A,3A,1B,2B,3B.因为(SA)(SB)6,7,8，所以6,7,8既不属于A，也不属于B.因为Sx|x10，且xN，所以9,10不知所属因为9,10均不属于SB，所以9B,10B.综上可得，A1,2,3,4,5，B4,5,9,10解法二：如图，因为AB4,5，所以将4,5写在AB中因为(SB)A1,2,3，所以将1,2,3写在A中AB之外因为(SB)(SA)6,7,8，所以将6,7,8写在S中AB之外因为(SB)A与(SB)(SA)中均无9,10，所以9,10在B中AB之外故A1,2,3,4,5，B4,5,9,108集合思想在实际问题中的应用我们可以利用集合思想解决某些实际问题，借助维恩图将错综复杂的问题清晰地理顺，使问题得以解答这在阅读能力上常常有较高的要求，一定要深入而全面地理解题意，然后再动手解题在解决实际问题中，常涉及集合中元素的个数问题为了方便，我们常用card(A)来表示集合A中元素的个数如，若Aa，b，c，则card(A)3.集合中元素的个数问题card(AB)card(A)card(B)card(AB)事实上，由图可知，AB的元素个数在card(A)和card(B)中均计算一次，因而在card(A)card(B)中计算两次，而在card(AB)中只能计算一次，从而有card(AB)card(A)card(B)card(AB)【例8】通过调查50名学生对A，B两个事件的态度，有如下结果：赞成事件A的人数是全体的，其余的不赞成；赞成事件B的人数比赞成事件A的多3人，其余的不赞成另外，对事件A与B都不赞成的学生数比对事件A与B都赞成的学生数的多1人问对事件A与B都赞成的和都不赞成的学生各有多少人？分析：设50名学生组成全集U，赞成事件A的学生组成集合M，赞成事件B的学