高中数学北师大版必修5《数列的概念与简单表示法》导学案

第1课时数列的概念与简单表示法1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(通项公式、列表、递推公式、图像法).2.通过对简单数列的观察与分析归纳,认识数列是反映自然的基本数学模型.3.能简单地总结数列的规律与表示方法,理解数列与函数的关系.(1)国际象棋的传说:在一张棋盘的第一个小格内放一粒麦子,在第二个小格内放两粒,在第三个小格内放四粒,照这样下去,每一小格都比前一小格加一倍.(2)古语:一尺之棰,日取其半,万世不竭.(3)童谣:一只青蛙,一张嘴,两只眼睛,四条腿;两只青蛙,两张嘴,四只眼睛,八条腿;三只青蛙,三张嘴,六只眼睛,十二条腿.问题1:数列的定义:按排列的一列数叫作数列.数列的项:数列中的每一个数都叫作这个,各项依次叫作这个数列的第1项(或首项),第2项第n项通项公式:如果数列an的第n项an与n之间的函数关系可以用一个式子表示成 ,那么这个式子就叫作这个数列的通项公式.问题2:数列的分类:(1)按项数分类:和.(2)按数列的单调性分类:、及.(3)一个数列,如果从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项,这样的数列叫.问题3:数列中的项与集合中的元素相比较异同如下:相同点:数列中的每一项都是、集合中的每一个元素都是.不同点:重复性:数列中的某些项可以、集合中的每一个元素都.有序性: 数列中的项、集合中的元素.范围: 数列中的每一项都是、集合中的元素可以.问题4:数列的表示方法:、及.数列的前n项和记作Sn=.1.把自然数的前五个数:排成1,2,3,4,5;排成5,4,3,2,1;排成3,1,4,2,5;排成2,3,1,4,5,那么可以叫作数列的有()个.A.1B.2C.3D.42.已知数列an的通项公式为an=1+(-1)n+12,则该数列的前4项依次为().A.1,0,1,0B.0,1,0,1C.12,0,12,0D.2,0,2,03.设数列an满足:a1=2,an+1=1-1an,则a4=.4.已知an满足a1=3,an+1=2an+1,试写出该数列的前5项,并用观察法写出这个数列的一个通项公式. 根据数列的前几项写出通项公式写出下列数列的一个通项公式:(1)1,-1,1,-1,;(2)3,5,9,17,33,;(3)12,2,92,8,252,. 待定系数法求通项公式已知数列an中,a1=3,a10=21,通项an是项数n的一次函数.(1)求an的通项公式,并求a2015;(2)若bn是由a2,a4,a6,a8,组成,试归纳bn的一个通项公式.已知数列的单调性求参数若an=n2+n,且数列an为递增数列,则实数的取值范围是.写出下列数列的一个通项公式:(1)1,0,-13,0,15,0,-17,0,;(2)0.7,0.77,0.777,.已知数列an中,a1=-1,a2=0且an=xn2+yn,求an.已知数列an的通项公式为an=n2-5n+4.(1)数列中有多少项是负数?(2)n为何值时,an有最小值?并求出最小值.(3)设数列an的前n项和Sn,求Sn的最小值.1.已知数列an的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的().A.第5项B.第6项 C.第7项D.非任何一项2.数列1,3,6,10,的一个通项公式是().A.an=n2-n+1B.an=n(n-1)2C.an=n(n+1)2D.an=n2+13.已知数列an的通项公式为an=1n(n+2)(nN+),那么1120是这个数列的第项.4.数列an中,已知an=n2+n-13(nN+).(1)写出a10,an+1;(2)7923是否是数列中的项?如果是,是第几项?(2009年北京卷)已知数列an满足:a4n-3=1,a4n-1=0,a2n=an,nN+,则a2009=,a2014=.考题变式(我来改编):第一章数列第1课时数列的概念与简单表示法知识体系梳理问题1:一定次序数列的项an=f(n)问题2:(1)有穷数列无穷数列(2)递增数列递减数列常数列(3)摆动数列问题3:确定的确定的重复不能重复有顺序无顺序数不是数问题4:列表法图像法通项公式法递推公式法a1+a2+an基础学习交流1.D按照数列定义得出答案D.2.A将n=1,2,3,4代入通项公式可知,应选A.3.2a2=12,a3=-1,a4=2.4.解:a1=3,an+1=2an+1,a2=7,a3=15,a4=31,a5=63,注意到:3=22-1,7=23-1,15=24-1,31=25-1,猜得an=2n+1-1.重点难点探究探究一:【解析】(1)这是一个常用的摆动数列,奇数项为正,偶数项为负,所以它的通项可以是an=(-1)n+1(nN+)或an=cos(n+1)(nN+)或an=sin 2n-12(nN+).(2)观察发现每项减1即为2的n次方,所以an=2n+1(nN+).(3)统一写成分母为2的分数,发现分子是n的平方,故an=n22(nN+).【小结】已知数列的前几项,写出数列的通项公式,主要从以下几个方面来考虑:(1)对于正负交错出现的数列,符号用(-1)n与(-1)n+1来调节,这是因为n和n+1奇偶交错.(2)此类问题虽无固定模式,但也有其规律可循,主要用观察、比较、归纳、转化等方法.(3)对于分数形式的数列,分子、分母可分别找通项,并充分借助分子、分母的关系.探究二:【解析】(1)设an=kn+b,则k+b=3,10k+b=21,解得k=2,b=1.an=2n+1(nN+),a2015=4031.(2)又a2,a4,a6,a8,即为5,9,13,17,bn=4n+1(nN+).【小结】数列的通项公式an是关于n(nN+)的函数,即an=f(n).待定系数法是求通项公式的一种常用方法.探究三:【解析】(n,an)(nN+)是函数f(x)=x2+x图像上的点,且数列an为递增数列,只需-21,即-2,的取值范围是-2,+).问题递增数列是单调递增函数吗?结论利用二次函数的单调性时,忽视了数列的离散型特征.数列an为递增数列,只要求满足a1a2an于是,正确解答为:数列an是递增数列,且an=n2+n,其对称轴x=-2既可以x1,也可以在 1x32之间,故-2-3,的取值范围是(-3,+).【答案】(3,+)【小结】此题极易出错,考虑问题要全面.思维拓展应用应用一:(1)从原数列不能看出通项公式,但可改写为11,02,-13,04,15,06,.分母依次为1,2,3,4,分子依次为1,0,-1,0,呈周期性变化,可以用sinn2表示,也可用cosn-12表示,故an=sinn2n(nN+)或an=cosn-12n(nN+).(2)0.9,0.99,0.999,的通项公式为an=1-110n(nN+),0.7,0.77,0.777,的通项公式为an=79(1-110n)(nN+).应用二:由a1=x+y=-1,a2=4x+2y=0,可得x=1,y=-2.an=n2-2n(nN+).应用三:(1)由an=n2-5n+40得1n0,S3,S4最小,且S3=S4=-4.基础智能检测1.C由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).2.C令n=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验即可.排除A、B、D,从而答案是C.3.101n(n+2)=1120,n(n+2)