2017年全国高考数学考前复习大串讲专题4.1立体几何(含答案)

【知识网络】 【考点聚焦】 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用 A、 B、 内 容 要 求 A B C 空间几何体 柱、锥、台、球及其简单组合体 柱、锥、台、球的表面积和体积 点、线、面 之间的位置关系 平面及其基本性质 直线与平面平行、垂直的判定及性质 两平面平行、垂直的判定及性质 一 视图及表面积与体积 1.【原题】 （必修 2第 15页练习第 4题 ）如图是一个几何体的三视图，想象它的几何结构特征， 并说出它的名称 正视图 侧视图 俯视图 【原题解读】（ 1）知识上；需要明确三视图的原则即；主俯长对正，主侧高对齐，俯侧宽相等。 （ 2）思路方法上；需要经历由三视图对原几何体的直观想象，操作确认（由三视图画出直观图），思辨论证（由所画的直观图，再看是否能获得对应的三视图）。 （ 3）考察空间想象能力及推理论证能力。 变式 .【 2014湖北高考】 在如图所示的空间直角坐标系 中，一个四面体的顶点坐标分别是（ 0,0,2），（ 2,2,0），（ 1,2， 1），（ 2,2,2），给出编号、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为（ ） A.和 B.和 C. 和 D.和 【答案】 D 【解析】设 )2,2,2(),1,2,1(),0,2,2(),2,0,0( 在坐标系中标出已知的四个点， 根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为 与俯视图为 ，故选 D. 2. 【原题】 （必修 2第 28页习题 3题 ） 如图将一个长方体沿相邻三 个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比。 【原题解读】本题以最为熟悉的几何体长方体为背景，进行截取并求体积。可采用 分解的思想，即求出长方体和三棱锥的体积，而剩下体积可减出。从而 求出体积比。体现了基本运算能力、空间想象能力和分解与组合的思想。 变式 .【 2015高考新课标 2】一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( ) A81B71C61D51【答案】 D 3.【原题】 （必修 2第 29 习题 组 1）如图是一个奖杯的三视图，是根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积（尺寸如图，单位： 取 果分别精确到 1 1可用计算器）。 【解析】由三视图画出奖杯的草图如图可知， 可知球的直径为 4球的半径 所以球的表面积和体积分别为： S 球 =4 2R =4 22=16（ 2， 43 3 23=323（ 3 而四棱柱（长方体）的长为 8为 4为 20 所以四棱柱（长方体）的表面积和体积分别为： S 四棱柱 =（ 8 4+4 20+8 20） 2=272 2=544 2 V 四棱柱 =8 4 20=640 3 该四棱台的高为 2底面为一个边长为 12底面为边长为 20棱台的表面积等于四棱台的四个侧面积与上、下底面面积的总和所以关键的是求出四棱台四个侧面的面积，我们先求出四棱台 点 E 直底面于点 O，连接 知 02=25以四棱台的表面积和体积分别为： 【原题解读】 ：本题在考察三视图的同时，进而要求计算常见几何体的体积和表面积，而题中几何体由常见几何体组合而成，可采用分解的思想，化为基本几何体体积和表面积的和来计算。注意算表面积时，几何体接触部分需减去。 变式 .【 2015高考课标 1】圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 6 + 20 ，则 r=（ ） 答案】 B 4. 【原题】 （必修 2第 37复习参考题 ） 一个长、宽、高分别是 80 60 5500000 3线放入一个直径为 50 木球，如果木球的三分之二在水中，三分之一在水上，那么水是否会从水槽中流出？ 【解析】水槽的容积 V=80 60 55=264000( 木球的体积 334 2 5 6 5 4 1 7 ( c m )3V 木， 22 0 0 0 0 0 + 6 5 4 1 7 2 4 3 6 1 13 V Q， 水不会从水槽中流出 【原题解读】本题以物理中漂浮现象为背景，需要我们分析出利用体积，即水槽中水的体积加球体水中部 分的体积之和与长方体体积比较，来解答。体现了数学建模能力和应用意识与运算能力。 同时可延伸拓展 为球体与多面体内接域外切问题 . 变式 .【 2015高考课标 2】已知 A,的球面上两点， 00,三棱锥 6，则球 ) A 36 【答案】 C 二 线、平面之间的位置关系 1.【原题】 （必修 2第 47页例题 3） 如图，已知正方体 A B C D . (1)哪些棱所在直线与直线 异面直线？ (2)直线 夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线 直？ 【解析】 (1) 由 异面直线的定义可知， 棱 D C、 B C所在直线分别与直线 异面直线 (2) 由 知， B 异面直线 夹角， B 45， 所以直线 夹角为 45 . (3) 直线 A B、 B C、 C D、 D A分别与直线 直 【原题解读】 （ 1）知识上；需要明确异面直线所成角的定义。 （ 2）思路方法上；异面直线所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过对空间几何环境的观察发现异面直线所成的角（对应的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。 （ 3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。 变式 . 【 2015高考四川】如图，四边形 们所在的平面互相垂直，动点 E、 B、 异面直线 则 最大值为 . 【答案】 25【解析】 如图建立空间直角坐标系；设 1， 则 11( 1 , , 0 ) , ( , 0 , 0 )22A F E， 2.【原题】 （必修 2第 49页例题 4）下列命题中正确的个数是 ( ) 若直线 内，则 l ； 若直线 平行，则 内的任意一条直线都平行； 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行； 若直线 平行，则 内的任意一条直线都没有公共点 A 0 B 1 C 2 D 3 【解析】 如图借助长方体模型来看命题是否正确 命题不正确，相交时也符合； 命题不正确，如右图中， A D平行， 但它与 题不正确，另一条直线有可能 在平面内，如 D平行，但直线 平面 D内； 命题正确， 平行，则 无公共点， 内所有直线都 没有公共点 【原题解读】 （ 1）知识上：线与面平行的判定定理； （ 2）思路方法上；通过对判定定理中关键条件的辨析，（如“无数”与“任意”）加深对判定定理的理解。在命题真假判定中注意运用几何模型，假的可举出反例。 （ 3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和建模思想。 变式 .【 2014 高考广东】若空间中四条直线两两不同的直线 .，满足1223/4则下列结论一定正确的是 ( ) D.【答案】 D 三 面平行的判断及其性质 1.【原题】 （必修 2第 59页例题 3） 如图所示的一块木料中，棱 C . (1)要经过面 A C内的一点 怎样画线？ (2)所画的线与平面 【解析】 (1)如图，在平面 A C内，过点 F， 使 B C，并分别交棱 A B， C D于点 E， F. 连接 则 【原题解读】 （ 1）知识上：线与面平行的判定定理； （ 2）思路方法上；通过题目中的条件和几何环境，利用线面平行的判定定理（平面外的 一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行）。 （ 3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想。 变式 .【 2015 新课标 2】 如图 ,长方体1 1 1 1A B C D A B C D中 6,0,1 8点 E,F 分别在1 1 1 1, D F过点 E, 与此长方体的面相交 ,交线围成一个正方形 . （ I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）； （ 平面 把该长方体分成的两部分体积的比值 . 【答案】（ I）见解析（ 97或 79【解析】（ I）利用平面与平面平行的性质，可在图中画出这个正方形；交线 围成的正方形 （）作 足为 M，则 1E=4， 2， 因为 以 F=0， 于是 22 6M H E H E M ,0， 因为长方体被平面分成两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97四 面垂直的判定和性质 1.【原题】 （必修 2第 66页例题 2） 在正方体 求直线 1 【原题解读】（ 1）知识上；需要明确直线与平面所成角的定义。 （ 2）思路方法上；解决直线与平面所成角问题主要分三步；“找”、“证”、“算”，即；先要通过定义找垂线，看射影（转化为斜线与射影所成的平面角），然后回到定义进行证明，最后进行角的计算（一般放到三角形中）。 （ 3）考察空间想象能力及推理论证和计算能力，转化思想。 变式 1.【 2015高考湖南】（本小题满分 12 分）如图 4，直三棱柱1 1 1 B C的底面是边长为 2的正三角形， ,C （ I）证明：平面 平面11 （ 直线15 ， 求三棱锥 F 的体积。 【答案】（ I）略； (612. 变式 2. 【 2015高考新课标 2】如图，长方体1 1 1 1A B C D A B C D中 , =16 =101 8点 E ， F 分别在11114A E D F过点 E ， F 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形 （）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）； （）求直线 平面 所成角的正弦值 【答案】（）见解析 （） 4515 源 : 2.【原题】 （必修 2第 69 页例题 3） 如图， 、 求证：平面 平面 【原题解读】 （ 1）知识上：线与面平行的判定定理； （ 2）思路方法上；通过题目中的条件和几何环境，利用线面平行的判定定理（平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行）。 （ 3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想。 变式 1. 【 2014江苏高考】如图在三棱锥 ， , 分别为棱 ,C 中点，已知 , 6 , 8 , 5P A A C P A B C D F ， 求证（ 1）直线 /面 （ 2）平面 平面 【答案】（ I）略； (解析 变式 2【 2015高考新课标 1】如图，四边形 20， E， 面 面 （） 证明：平面 面 （） 求直线 直线 成角的余弦值 . 【答案】（）见解析（） 33【解析】 在直角梯形 ， 2 ， 22可得 22， 2 2 2E G F G E F， ， 面 面 平面 面 （）如图，以 别以 ,C 的方向为 轴， |单位长度，建立空间直角坐标系 由（）可得 A（ 0， 3 ， 0）， E(1,0, 2 )， F（ 1,0， 22）， C（ 0， 3 ， 0）， （ 1， 3 ， 2 ）， （ - 3 ， 22） 故 3c o s ,3| | | |A E C C C F .，所以直线 3 . 3.【原题】 （必修 2第 79页复习参考题 题） 如图，边长为 2的正方形 ， (1)点 ,别沿 使 A， ，求证： F . (2) 当 14B E B F B C时，求三棱锥 A 体积 . 【原题解读】 （ 1）知识上：线与面垂直的判定定理、体积运算及折叠问题； （ 2）思路方法上；通过平面图形的折叠，构造几何体，再提出问题。需注意图形折叠中几何性质的变与不变（隐含条件的挖掘），然后利用线面垂直的判定定理（平面外的一条直线与平面内两条相交直线垂直，则该直线垂直与此平面。即由线与线垂直推出线与面垂直）。体积计算关键是底面和高的认定。 （ 3）考察逻辑推理能力，空间想象能力和转化思想及运算能力。 变式 1. 【 2015 高 考 陕 西 】 如 图 1 ， 在 直 角 梯 形 ，/ / , ,2A D B C B A D A B B C 12AD a， E 是 中点， O 是 交点，将 沿 起到图 2中1位置，得到四棱锥1A (I)证明： 平面1 (平面1面 ，四棱锥1A 体积为 36 2 ，求 的值 . 【答案】 (I) 证明略，详见解析； (6a . 【解析】 (I)在图 1中，因为 12A B B C A D a ， E 是 中点2，所以 C ，即在图 2 中，1 ,B E A O B E O C， 从而 平面1，所以 平面1变式 2.【 2014福建高考】在平行四边形 ， 1A B B D C D ， ,A B B D C D B D沿 起，使得平面 平面 如图 . （ 1）求证： D ； （ 2）若 M 为 点，求直线 平面 成角的正弦值 . A【答案】 (1)见解析 ; (2) 63【解析】： (1)因为 平面 平面 面 ,B C D B D A B平面 ,A B D A B B D 所以 平面 平面 ,以 D . 即直线 平面 成角的正弦值为 63. 【感受高考】 1. 【 2016 高考新课标 1 卷】如图 ,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径 83,则它的表面积是（ ） （ A） 17 （ B） 18 （ C） 20 （ D） 28 【答案】 A 【解析】 试题分析： 该几何体直观图如图所示： 是一个球被切掉左上角的 ,设球的半径为 R ,则 37 4 2 8 3 ,解得 ,所以它的表面积是 78的球面面积和三个扇形面积之和 2271= 4 2 + 3 2 = 1 784S 故选 A 2. 【 2016 高考新课标 1 卷】平面 过正方体 顶点 A, /平面 I 平面m,I 平面 1A1=n,则 m、 ) (A) 32(B) 22(C) 33(D)13【答案】 A 【解析】 考点：平面的截面问题 ,面面平行的性质定理 ,异面直线所成的角 . 3.【 2016高考浙江理数】已知互相垂直的平面 ， 交于直线 m， ， 则（ ） A m l B m n C n l D m n 【答案】 C 【解析】 试题分析：由题意知 , ， ,n n l 故选 C 4. 【 2016 高考新课标 3 理数】在封闭的直三棱柱1 1 1 B C内有一个体积为 V 的球，若C ， 6， 8， 1 3，则 V 的最大值是（ ） （ A） 4 （ B） 92（ C） 6 （ D） 323【答案】 B 【解析】 5.【 2016高考新课标 2理数】 ,是两个平面， ,下列四个命题： （ 1）如果 , , / /m n m n ，那么 . （ 2）如果 , / / ，那么 . （ 3）如果 / / , m ，那么 /m . （ 4）如果 / / , / /，那么 m 与 所成的角和 n 与 所成的角相等 . 其中正确的命题有 (填写所有正确命题的编号） 【答案】 【解析】 试题分析：对于 ， , , / /m n m n ，则 ,的位置关系无法确定，故错误；对于 ,因为 /n ，所以过直线 n 作平面 与平面 相交于直线，则 /为 ,m m c m n ，故 正确；对于 ，由两个平面平行的性质可知正确；对于 ，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有 . 6.【 2016高考新课标 1卷】（本小题满分为 12分）如图 ,在以 A,B,C,D,E,面 90,且二面角 是 60 （ I）证明：平面 平面 （ 二面角 【答案】（ I）见解析（ 2 1919CDF【解析】 试题解析：（ I）由已知可得 F , ,所以 F平面 又 F平面 F ,故平面 F 平面 （ D 作 ,垂足为 G ,由（ I）知 平面 F 以 G 为坐标原点 ,方向为 x 轴正方向 , 单位长度 ,建立如图所示的空间直角坐标系G 由（ I）知 为二面角 的平面角 ,故 0 ,则 , ,可得 1,4