2017年全国高考数学考前复习大串讲专题5.1统计与概率(含答案)

【知识网络】 【考点聚焦】 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用 A、 B、 内 容 要 求 A B C 计数原理 加法原理与乘法原理 排列与组合 二项式定理 概率 随机事件与概率 古典概型 几何概型 互斥事件及其发生的概率 统计 抽样方法 总体分布的估计 总体特征数的估计 1. 原题（选修 2二十七页习题 第四题 ） 变式 1 某节假日，附中校办公室要安排从一号至六 号由指定的六位领导参加的值班表 . 要求每一位领导值班一天，但校长甲与校长乙不能相邻且主任丙与主任丁也不能相邻，则共有多少种不同的安排方法 （ ） A 336 B 408 C 240 D 264 【答案 】选 【解析 】方法数为： 6 2 5 2 2 46 2 5 2 2 42 3 3 6 ,A A A A A A 选 变式 2 某地高考规定每一考场安排 24名考生，编成六行四列就坐 两名学生同时排在 “ 考点 考场 ” ，那么他们两人前后左右均不相邻的概率是 ( ) A276119B272119C13619D13819【答案 】选 修 2二十七页习题 第九题 ） 变式 1 在正方体1 1 1 1A B C D A B C D的各个顶点与各棱的中点共 20个点中，任取 2点连成直线，在这些直线中任取一条，它与对角线1_ 【答案 】 变式 2 考察正方体 6个面的中心，甲从这 6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于 ( ) 案 】选 D 【解析 】如图，甲从这 6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选两个点连成直线，共有 2266 1 5 1 5 2 2 5 种 不 同 取 法 ， 其 中 所 得 的 两 条 直 线 相 互 平 行 但 不 重 合 有/ / , / / , / / ,A C D B A D C B A E B F/ / , / / , / /A F B E C E F D C F E 2 对 ， 所 以 所 求 概 率 为1 2 42 2 5 7 5P ，选 D 修 2 组第三题 ） 变式 1 设集合 1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 S ，定义集合对( , ) : , ,A B A S B S A中含有个元素， B 中至少含有个元素，且 B 中最小的元素不小于 A 中最大的元素 B S 的集合对 ( , )总个数为 m ，满足 的集合对 ( , )总个数为，则 ) A. B. C. D. 【答案 】选 【解析 】根据题意， m 的个数可以这样取： 1 , 2 , 3 ; 4 , 5 , 6 , 3 , 4 , 5 , 6 ，故 2,m 同样得的个数为 22, 故选 变式 2 把已知正整数表示为若干个正整数（至少 3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆将这些正整数的不同排列视为相同的分拆如： (1,4,7) 与 (7,4,1) 为 12 的相同等差分拆问正整数 30 的不同等差分拆有 个 【答案 】 19. 修 2组第 1题（ 3） ） 变式 已知集合 1 , 2 , 3 , 1 , 2 , 3 , 4，定义映射 :f M N ， 且点 1 , ( 1 ) , 2 , ( 2 ) , 3 , ( 3 )A f B f C f若 的外接圆圆心为 D，且 D A D C D B R ，则满足条件的映射有（ ） 【答案 】 A. 修 2八十六页 例 2） 一只红铃虫的产卵数 y 和温度 有关，现收集了 7 组观测数据列于表中，试建立 y 与 之间的回归方程。 温度 0/1 23 25 27 29 32 35 产卵数 /y 个 7 11 21 24 66 115 325 变式 为了对 2006 年佛山市中考成绩进行分析，在 60 分以上的全体同学中随机抽出 8 位，他们 的数学 (已折算为百分制 )、物理、化学分数对应如下表， 学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8 数学分数 x 60 65 70 75 80 85 90 95 物理分数 y 72 77 80 84 88 90 93 95 化学分数 z 67 72 76 80 84 87 90 92 (1) 若规定 85分 (包括 85分 )以上为优秀，求这 8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率； (2) 用 变量 y与 x、 z与 明物理与数学、化学与数学的相关程度； (3) 求 y 与 x、 z 与 x 的线性回归方程（系数精确到 并用相关指数比较所求回归模型的效果 . 参考数据： x ， 85y ， 81z ， 1050)(812 i 456)(812 i 550)(812 i 6 8 8)(81i 7 5 5)(81i 7)(812 i 94)(812 i 0, 6, 5 0 . 修 2） 变式 甲乙两个学校高三年级分别有 1100人， 1000人，为了了解两个学校全体高三年级学生在该地区二模考试的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两个学校一共抽取了 105名学生的数学成绩，并作出了如下的频数分布统计表，规定考试成绩在 120， 150内为优秀，甲校： 乙校： (I )计算 , (以上统计数据填写右面 22 列联表，若按是否优秀来判断，是否有 的把握认为两个学校的数学成绩有差异 . (据抽样结果分别估计甲校和乙校的优秀率；若把频率作为概率，现从乙校学生中任取 3人，求优秀学生人数的分布列和数学期望 ; 附： 【 解析 】 (I ) 6, 7 甲校 乙校 总计 优秀 10 20 30 非优秀 45 30 75 总计 55 50 105 7. 原题（必修 3第 62 页的“如何得到敏感性问题的诚实反应” ） 变式 为了解某中学生遵守中华人民共和国交通安全法的情况，调查部门在该校进行了如下的随机调查，向被调查者提出两个问题：（）你的学号是奇数吗？（）在过路口时你是否闯过红灯？要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，因为只有调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地作了回答 00人（学号从 1至 800）中有 240人回答了“是” 00人中闯过红灯的人数是 . 8. 原题（必修 3第 72 页 ） 变式 为了了解某市居民的用水量，通过抽样获得了 100位居民的月均用水量 （ 1）估计该样本的平均数和中位数；（ 2）若以该样本数据的频率作为总体的概率，从该市（人数很多）任选 3人，求用水量超过 3吨的人数的期望值 . 【解析 】 （ 1）平均数为 以中位数为 （ 2）样本数据中用水量超过 3吨的频率为 从总体中任选一人，用水量超过 3吨的概率为 人中用水量超过 3吨的人数为，则 )，B ,所以 E 即（ 1）平均数为 位数为54109；（ 2）期望值为 9. 原题（必修 3第 73 页的探究“数据有时会被利用” ） 变式 2011年春节刚过，为留住本地人才，有一家公司在火车站等处张贴招聘启示，“我们公司的收入水平很高”，“去年，在 50 名员工中，最高年收入达到了 100万，他们年收入的平均数是 3 5万 .”如果你希望获得年薪 2 5万元 .(1)你判断自己是否能够成为此公司的一名高收入者？ (2)如果招聘员继续告诉你，“员工收入的变化范围是从 0 5万到 100万” ，这个信息是否足以使你作出自己受聘的决定？为什么？ (3)如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的中间 50%(即去掉最少的 25%和最多的 25%后所剩下的 )的变化范围是1 万到 3 万，你又能否用这条信息来作出是否受聘的决定？ (4)你能估计出收入的中位数是多少吗？为什么平均值比估计出的中位数高很多？ 10. 原题（必修 3第 79 页练习第 2题 ） 变式 在某次测验中，有 6位同学的平均成绩为 75分 n 6,.,2,1n 的同学所得成绩，且前 5位同学的成绩如下： 编号 n 1 2 3 4 5 成绩6 72 70 72 (1)求第 6位同学的成绩6x，及这 6位同学成绩的标准差 s;(2)从前 5位同学中，随机地选 2位同学，求恰有 1 位同学成绩在区间（ 68,75）中的概率 . 11. 原题（必修 3第 79 页练习第 3题 ） 变式 在春运高峰时有顾客反映某家航空公司售票处售票的速度太慢 空公司收集了 100位顾客购票时所花费时间的样本数据 (单位：分钟 )，结果如下表： 1 空公司认为，为一位顾客办理一次售票业务所需的时间在 5分钟 之内就是合理的 客提出的意见是否合理？请你对上面的数据进行适当的分析，回答下面问题： (1)根据原始数据计算中位数、平均数和标准差 .(2)对数据进行适当的分组，分析数据分布的特点，并进行分析 .(3)你认为应该用哪一个统计量来分析上述问题比较合适？ （ 2）对数据进行分组的结果， 100名顾客购票花费时间的分组表 接收 频数（人 ） 频数（ %） 1分钟以 下 14 14 12 24 24 23 20 20 34 15 15 45 9 9 56 6 6 67 5 5来 78 3 3 89 2 2 9以 上 2 2 合 计 100 100 绘制直方图观察数据分布的特点，直方图如下： 从直方图可以看出，顾客购票所花费时间的分布为右偏 可能是由少数人提出来的 以认为顾客提出的意见是不完全合理的 . (3) 从中位数来看，其结果为 此，从总体上看，该航空公司办理一项售票业务所需的时间大约为 航空公司认为的合理时间 5分钟之内，因此，可以说顾客提出的意见是不合理的 12. 原题（必修 3第 82 页习题 第 5题 ） 变式 在一次人才招聘会上，有两家公司提供如下信息：公司甲：我们公司的收入水平很高，去年在 80名员工中，最高年收入达到了 150万元，员工的年收入平均数是 4万；公司乙：我们公司规模比较大，共有 150人，员工年收入的中间 50%（即去掉最少的 25%和最多的 25%后所剩下的）的变化范围是 某位大学毕业生希望获得年薪 3万元，根据以上信息，他应该选择哪家公司更好？ 13. 原题（必修 3 第八十六页思考 ） 变式 假设儿子身高与父亲身高呈线性相关关系，若小明身高为 172的爸爸和爷爷的身高分别为 17075测小明儿子的身高为 【解析 】 依题意可得如下表格 父亲身高 x(175 170 172 儿子身高 y(170 172 ? 由点 （ 175， 170），（ 170， 172） 得直线方程为 所以当 172x 时， y 14. 原题（必修 3第 92 的“相关关系的强与弱” ） 变式 如图是根据 ， y 的观测数据 ii i=1，2， ， 10）得到的散点图，由这些散点图可以判断变量 ， y 具有相关关系的图是 （ ） A. B. C. D. 【答案 】 D. 15. 原题（必修 3第 127 页探究 ） 变式 1 多选题是标准化考试的一种题型，一般是从 A、 B、 C、 一次考试中有 5道多选题，某同学一道都不会，他随机的猜测，则他答对题数的期望值为 . 【解析 】 答对每道题的概率为1511 44342414 答对的题数为，则 )1515( ，B,E 变式 2 多选题是标准化考试的一种题型，一般是从 A、 B、 C、 题至少有一个选项是正确的，在一次考试中有 10道多选题，一个小组中的 10位学生答题情况如下表： 答对题数 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 概率 1）对于每位学生来说，答对题数不少于 7题的概率； （ 2）小组中若有 2 人以上（含 2 人）答对题数不超过 6 题的概率大于 这个小组需要重新考核，请问这个小组是否需要重新考核？ 【解析 】 （ 1） p ； （ 2） 每位学生答对题数不超过 6题的概率为 10 位学生中答对题数不超过 6题的人数为 ，则 )2110( ，B,所以 1()21(1)1()0(1)2( 1011010 所以该小组需要重新考核 . 16. 原题（必修 3 第 127 页例 3） 变式 将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为 m 和，则函数132 3 ，1 上为增函数的概率是 . 【解析 】 本题考察了古典概型概率的求法及利用导数研究函数的单调性等基础知识 增区间为 和 ，由已知可得 , ， 故 6 种，则 满足条件 的有 30 种，所以所求概率为65. 17. 原题（必修 3第 130页练习第 3题 ） 变式 甲、乙两校各有 3名教师报名支教，其中甲校 2男 1女，乙校 1男 2女 .(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选 1名，写出所有可能的结果，并求选出的 2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的 6 名教师中任选 2名，写出所有可能的结果，并求选出的 2名教师来自同一学校的概率 . 18. 原题（必修 3 第 134 页习题 第 3 题 ） 变式 假设每个人在任何一个月出生是等可能的，则三个人中至少有两个人生日在同一个月的概率为 . 【解析 】 【方法一】： 1p 721712 3312 A ；【方法二】：721712 311211111223 19. 原题（必修 3第 140 页例 4） 变式 如图，直线 2 抛物线 2交于 A、 别作 、 梯形 任取一点，则该点落在阴影部分的概率为 _；利用随即模拟方法也可以计算图中阴影部分面积，若通过 1000次试验产生了落在梯形 000个点，则可估计落在阴影部分内的点的个数大约有 _个 . 20. 原题（必修 3 第 140 页练习第 1 题 ） 变式 如图所示，墙上挂有边长为 a 的正方形木板，它的四个角的空白部分都是以正方形的顶点为圆心，2某人向此板投标，假设每次都能击 中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样，则它击中某人向此板投标，假设每次都能击中木板，且击中木板上每个点的可能性都一样， 则它 击中阴影部分的概率是 . 【解析 】 本题考查几何概型的概率的计算，因为正方形的面积为 2a ,而阴影部分的面积不易直接计算，所以先计算空白部分的面积为 24a,从而得阴影部分的面积为 224得2224 14a . 21. 原题（必修 3第 142 页习题 题 ） 变式 一个路口的红绿灯，红灯的时间为 30 秒，黄灯的时间为 5秒，绿灯的时间为 40 秒，当你到达路口时，不需要等待就可以过马路的概率为 . 【感受高考】 1. 【 2016高考新课标 2理数】如图，小明从街道的 到 一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为（ ） （ A） 24 （ B） 18 （ C） 12 （ D） 9 【答案】 B 【解析】 2. 【 2016 年高考四川理数】用数字 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 ( ) （ A） 24 （ B） 48 （ C） 60 （ D） 72 【答案】 D 【解析】 试题分析：由题意，要组成没有重复的五位奇数，则个位数应该为 1、 3、 5中之一，其他位置共有随便排共 44以其中奇数的个数为 443 72A ，故选 D. 3.【 2016高考新课标 3理数】 定义 “ 规范 01数列 ” m 项，其中 m 项为 0， ，且对任意 2，12, , , ka a 的个数不少于 1 的个数 m ，则不同的“规范 01数列”共有（ ） （ A） 18 个 （ B） 16 个 （ C） 14 个 （ D） 12 个 【答案】 C 【解析】 试题分析：由题意，得必有1 0a，8 1a，则具体的排法列表如下： 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 4. 【 2016高考新课标 1卷】某公司的班车在 7:00,8:00,8:30 发车 ,小明在 7:50至 8:30之间到达发车站乘坐班车 ,且到达发车站的时刻是随机的 ,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是（ ） （ A） 13 （ B） 12 （ C） 23 （ D） 34 【答案】 B 【解析】 试题分析：如图所示 ,画出时间轴： 8:208:107:507:40 8:308:007:30 B 中 ,而当他的到达时间落在线段 ,才能保证他等车的时间不超过 10 分钟根据几何概型 ,所求概率 10 10 140 2P 故选 B 5.【 2016 高考新课标 3 理数】某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图图中 A 点表示十月的平均最高气温约为 15C ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5C 下面叙述不正确的是（ ） (A)各月的平均最低气温都在 0C 以上 (B)七月的平均温差比一月的平均温差大 (C)三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D)平均气温高于 20C 的月份有 5个 【答案】 D 【解析】 6. 【 2016高考新课标 2理数】从区间 0,1 随机抽取 2n 个数1x,2x， ，y，2y， ，成 n 个数对 11, 22, ， ,中两数的平方和小于 1 的数对共有 m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值为 （ A） 4B） 2C） 4D） 2案】 C 【解析】 试题分析：利用几何概型，圆形的面积和正方形的面积比为 224S n圆正 方 形，所以 47. 【 2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半 、丙是三个空盒 其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒 到袋中所有球都被放入盒中，则 （） 【答案】 C 【解析】 8. 【 2016高考新课标 1卷】 5(2 )的展开式中 , .（用数字填写答案） 【答案】 10 【解析】 试题分析： 5(2 )的展开式通项为 555 255C ( 2 ) ( ) 2 r r r rx x x ( 0r ,1,2,5), 令532r得 4r ,所以 3x 的系数是 452C 10 . 9. 【 2016高考山东理数】 在 1,1- 上随机地取一个数 k，则事件 “ 直线 y=圆 22( 5 ) 9 = 相交 ” 发生的概率为 . 【答案】 34【解析】 试题分析 ：直线 y=圆 22( 5 ) 9 = 相交 ,需要满足圆心到直线的距离小于半径，即2| 5 k |，解得 33 ，而 1,1k ? ，所以所求 概率 P= 3 3224 【 2016高考新课标 1卷】（本小题满分 12 分）某公司计划购买 2 台机器 ,该种机器使用三年后即被淘汰 在购进机器时 ,可以额外购买这种零件作为备件 ,每个 200元 如果备件不足再购买 ,则每个 500 元 为此搜集并整理了 100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数 ,得下面柱状图： 以这 100台机器更换的易损零件数的频率代替 1台机器更换的易损零件数发生的概率 ,记 X 表示 2台机器三年内共需更换的易损零件数 ,n 表示购买 2台机器的同时购买的易损零件数 .