第1章1.2.2知能优化训练

1下列说法正确的有_(写出所有正确说法的编号)两条异面直线指的是不同在一个平面内的两条直线；两条异面直线指的是分别在某两个平面内的两条直线；两条异面直线指的是既不平行又不相交的两条直线；两条异面直线指的是平面内的一条直线和平面外的一条直线解析：只说明两直线不同在一个平面内，没有说明平面的任意性；把两条直线放到特定的两个平面内，也不具有任意性；从反面肯定了两直线的异面；中的两条直线可能在同一平面内故填.答案：2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线(1)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相同；(2)DBC的两边与_的两边分别对应平行且方向相反解析：(1)B1D1BD，B1C1BC并且方向相同，所以DBC的两边与D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同(2)D1B1BD，D1A1BC并且方向相反，所以DBC的两边与B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反答案：(1)D1B1C1(2)B1D1A13已知a，b，c是空间三条直线，则下列说法中正确的个数为_若ab，bc，则ac；若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c也是异面直线；若a，b相交，b，c相交，则a，c也相交；若a，b共面，b，c共面，则a，c也共面解析：若ab，bc，则a，c共面(相交，平行)或异面，故错；若a，b异面，b，c异面，则a，c相交或平行或异面，故错；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交或平行或异面，故错；若a，b共面，b，c共面，则a，c共面或异面，故错故填0.答案：04如图所示，在三棱锥PABC的六条棱所在的直线中，异面直线共有_对解析：根据异面直线的定义可知共3对；AP与BC，CP与AB，BP与AC.答案：3一、填空题1下列说法中正确的是_(填序号)两直线无公共点，则两直线平行；两直线若不是异面直线，则必相交或平行；过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内的任一直线均构成异面直线；和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线解析：对于，两直线无公共点，可能平行，也可能异面；对于，由两直线的位置关系知其正确；对于，过平面外一点与平面内一点的直线与平面内经过线面交点的直线是相交直线而不是异面直线；对于，和两条异面直线都相交的两直线可能是异面直线，也可能是相交直线答案：2如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E、F分别是AB、AC上的点，且AEEBAFFC12，则EF与B1C1的位置关系是_解析：在ABC中，AEEBAFFC，EFBC，又BCB1C1，EFB1C1.答案：平行3如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中点，有以下四个结论：直线AM与CC1是相交直线；直线AM与NB是平行直线；直线BN与MB1是异面直线；直线AM与DD1是异面直线其中正确结论的序号为_(把你认为正确的结论的序号都填上)解析：错误，AM与CC1是异面直线错误，取DD1中点P，则APBN.AP与AM相交，AM与BN不平行正确正确答案：4正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则B1D与CC1所成角的正切值为_解析：如图B1D与CC1所成的角为BB1D.DBB1为直角三角形tanBB1D.答案：5如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别是棱AA1，AB，CC1的中点试判断以下各对线段所在的直线的位置关系：(1)AB与DD1：_.(2)D1E与BC：_.(3)D1E与BG：_.(4)D1E与CF：_.解析：(1)因为D1面ABCD，D面ABCD，AB面ABCD，DAB，所以AB所在直线与DD1所在直线是异面直线，依据是异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线(2)依据异面直线的判定定理，D1E的延长线与DA的延长线相交，交点不在BC所在直线上(3)取D1D的中点M，连结MA，MG，可证四边形MABG为平行四边形，所以MAGB，又D1EMA，所以由公理4知，D1EBG.(4)延长D1E，CF，与DA的延长线交于同一点答案：(1)异面直线(2)异面直线(3)平行直线(4)相交直线6如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的12条棱所在的直线中共有_对异面直线解析：取棱AB为基量，正方体中与AB所在的直线异面的有直线C1C，D1D，B1C1，A1D1.各棱具有相同的位置，且正方体有12条棱，异面直线共有24(对)答案：247如图所示的是正方体的平面展开图，则在这个正方体中，BM与ED是异面直线；CN与BE是异面直线；DM与BN垂直以上三个命题中，正确的是_解析：在正方体中，直线间的关系比较清楚，所以可以把原图还原为正方体，找出相应直线间的关系答案：8(2011年镇江质检)空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，且PQ2，QR，PR3，那么异面直线AC和BD所成的角是_解析：如图，PQAC，QRBD，PQR为异面直线AC与BD所成的角，由勾股定理得PQR90.答案：909(2010年高考大纲全国卷改编)直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于_解析：如图，可补成一个正方体，AC1BD1，BA1与AC1所成角的大小为A1BD1.又易知A1BD1为正三角形，A1BD160.BA1与AC1成60的角答案：60二、解答题10(2011年启东中学质检)如图，E、F分别是长方体ABCDA1B1C1D1的棱A1A、C1C的中点求证：四边形B1EDF是平行四边形证明：如图， 设Q是DD1的中点，连结EQ、QC1，E是AA1的中点，EQA1D1，又在矩形A1B1C1D1中，A1D1B1C1，EQB1C1(平行公理)，四边形EQC1B1为平行四边形，B1EC1Q，又Q、F是矩形DD1C1C的两边的中点，QDC1F，四边形DQC1F为平行四边形，C1QDF，又B1EC1Q，B1EDF，四边形B1EDF是平行四边形11如图所示，已知不共面的直线a、b、c相交于O点，M，P是直线a上的两点，N，Q分别是b，c上的一点，求证：MN和PQ是异面直线证明：法一：假设MN和PQ不是异面直线，则MN与PQ在同一平面内，设为.M，P，a，又Oa，O.N，且Ob，Nb，b.同理c，a，b，c共面于，与已知a，b，c，不共面相矛盾，假设不成立，MN，PQ是异面直线法二：acO，直线a，c确定一个平面，设为.Pa，Qc，P，Q，PQ，且M，MPQ.又a，b，c不共面，Nb，N，MN与PQ为异面直线12已知正方体ABCDA1B1C1D1.(1)求A1B与B1D1所成的角；(2)求AC与BD1所成的角解：(1)如图，连结BD，A1D，A1B.ABCDA1B1C1D1是正方体， DD1BB1，DBB1D1为平行四边形，BDB1D1.A1B、BD、A1D是全等的正方形的对角线，A1BBDA1D，即A1BD是正三角形，A1BD60.A1BD是锐角，A1BD是异