数学人教b必修1第三章3.2.2　对数函数～3.2.3　指数函数与对数函数的关系

3.2.2对数函数3.2.3指数函数与对数函数的关系1对数函数的概念(1)定义：一般地，我们把函数ylogax(a0，a1，x0)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，)(2)对于对数函数的概念应注意以下三个方面：定义域：因为对数函数ylogax是由指数函数yax变化而来的，对数函数的自变量x恰好对应指数函数的函数值y，所以对数函数ylogax的定义域是指数函数yax的值域，即x(0，)底数：对数函数ylogax的底数a0，且a1.形式上的严格性：在对数函数的定义表达式ylogax(a0，且a1，x0)中，logax前面的系数必须是1，自变量x在真数的位置上，否则不是对数函数【例1】下列函数是对数函数的序号是_(1)y4x；(2)ylogx2；(3)ylog3x；(4)ylog0.4；(5)ylog(2a1)x；(6)ylog2(x1)解析：根据对数函数的定义，只有严格符合ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数易知，(1)式是指数函数；(2)式中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；(3)式中是对数函数；(4)式中是对数函数；(5)中对数的底数2a1是一个大于0且不等于1的常数，符合对数函数的定义；(6)中函数在对数的真数处不只是自变量x，而是关于x的表达式x1，故不是对数函数由此可知只有(3)(4)(5)是对数函数答案：(3)(4)(5)点技巧 利用概念准确判断对数函数判断一个函数是否为对数函数时，要紧扣对数函数解析式的三个特征，三者缺一不可2对数函数ylogax(a0，a1，x0)的图象与性质(1)在同一直角坐标系中作出函数ylog2x，ylog3x，的图象，如图所示，观察图象可以看出：这些图象都在y轴右侧，且向y轴的正、负方向无限延伸；图象都经过点(1,0)；函数ylog2x和ylog3x的图象从左向右逐渐上升；函数和的图象从左向右逐渐下降(2)对数函数ylogax(a0，a1，x0)的图象和性质0a1a1图象性质来源:定义域：(0，)来源:来源:值域：R图象过定点(1,0)，即x1时，y0在(0，)上是减函数在(0，)上是增函数析规律 对对数logax的值的符号判断由表格中的关系易知：当a，x在同一个区间(0,1)或(1，)取值时，logax0；当a，x分别取自不同的区间(0,1)和(1，)，logax0，简记为“同正，异负”【例21】函数ylog11x的定义域和值域分别是()AR，R BR，(0，)C(0，)，R D(0，)，(0，)解析：函数ylog11x的定义域是(0，)，值域是R.答案：C【例22】图中的曲线C1，C2，C3，C4都是对数函数ylogax的图象已知a取3,2，四个值，则相应于C1，C2，C3，C4的a的值依次是()A3,2， B3,2，C2,3， D2,3，解析：方法1：当a1时，自左向右看，图象上升；当0a1时，自左向右看，图象下降又当a1时，a越大，图象向右越靠近x轴；0a1时，a越小，图象向右越靠近x轴，所以曲线C1，C2，C3，C4的a的值依次为2,3，.方法2：作直线y1，设C1，C2，C3，C4与直线y1的交点分别为(a1,1)，(a2,1)，(a3,1)，(a4,1)，由图象知：a3a41a1a2.所以a1，a2，a3，a4的值分别为2,3，.答案：D3反函数当一个函数是一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数一般地，如果函数yf(x)存在反函数，那么它的反函数通常用yf1(x)表示，反函数也是函数，它具有函数的一切特性反函数是相对于原函数而言的，函数与它的反函数互为反函数(1)对数函数的反函数指数函数yax(a0，且a1)与对数函数ylogax(a0，且a1)互为反函数(2)互为反函数的两个函数之间的关系原函数的定义域、值域是其反函数的值域、定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线yx对称(3)函数yf(x)的反函数的求法确定原函数的值域因为函数是由定义域和对应法则构成的，一个函数的反函数是对换原函数的自变量和因变量而得到的新函数，新函数的自变量就是原函数的因变量，新函数的定义域就是原函数的值域，因此，只有确定了原函数的值域，才能确定新函数的定义域把原函数yf(x)视为方程，用y表示出x.因此y是新函数的自变量，x是它的函数值把x，y互换，同时标明反函数的定义域因为我们习惯用x表示自变量，用y表示函数值，所以把x，y互换而反函数的定义域就是原函数的值域也可简记为：反解互换求定义域析规律 理解反函数应注意的三点(1)只有一一映射确定的函数才有反函数如一次函数ykxb(k0)、反比例函数y(k0)、指数函数yax(a0，且a1)、对数函数ylogax(a0，且a1)，它们都是一一映射确定的函数，因此都有反函数；像二次函数yax2bxc(a0)，在整个定义域上没有反函数，因为关于对称轴x对称的两个不同自变量对应同一函数值，它不是一一映射下的函数，所以没有反函数(2)反函数也是函数，是相对而言的，一个函数与它的反函数互为反函数(3)互为反函数的两个函数，它们的图象关于直线yx对称，因此，如果原函数的图象经过定点(a，b)，则其反函数的图象经过定点(b，a)对数函数ylogax(a0，且a1)与指数函数yax(a0，且a1)互为反函数，它们的图象关于直线yx对称，且ylogax(a0，且a1)的图象经过定点(1,0)，而yax(a0，且a1)的图象经过定点(0,1)【例31】函数的反函数是()Ay2x BCylog2x Dy21x解析：由，得且值域为R，所以.以x代y，以y代x，得.故选D.答案：D【例32】若函数yf(x)的反函数的图象过点(1,5)，则函数yf(x)图象必过点()A(5,1) B(1,5) C(1,1) D(5,5)解析：由于原函数与反函数的图象关于yx对称，而点(1,5)关于直线yx的对称点为(5,1)，所以函数yf(x)的图象必经过(5,1)答案：A【例33】已知函数f(x)1lg x(x0)，f(x)的反函数为f1(x)，则f(1)f1(1)_.解析：令yf(x)1lg x，y1lg x.x10y1.f1(x)10x1.f(1)f1(1)(1lg 1)10112.答案：24对数函数的解析式及求值问题对数函数的解析式ylogax中仅含有一个参数a，则只需要一个条件即可确定对数函数的解析式，这样的条件往往是已知f(m)n或图象过点(m，n)等等通常利用待定系数法求解，设出对数函数的解析式f(x)logax，利用已知条件列方程求出常数a的值利用待定系数法求对数函数的解析式时，常常遇到解方程，比如logamn，这时先把对数式logamn化为指数式的形式anm，把m化为以n为指数的指数幂形式mkn，则解得ak0.还可以直接写出，再利用指数幂的运算性质化简.例如：解方程loga42，则a24，由于42.所以a，又a0，所以a.当然，也可以直接写出，再利用指数幂的运算性质，得21.【41】已知f(ex)x，则f(5)()Ae5B5eCln 5 Dlog5e解析：方法1：令tex，则xln t，所以f(t)ln t，即f(x)ln x所以f(5)ln 5.方法2：令ex5，则xln 5，所以f(5)ln 5.答案：C【例42】已知对数函数f(x)的图象经过点，试求f(3)的值分析：设出函数f(x)的解析式，利用待定系数法即可求出解：设f(x)logax(a0，且a1)，对数函数f(x)的图象经过点，.5对数函数的定义域、值域的应用(1)利用对数函数的定义域、值域求形如yf(logax)(a0，且a1)型的函数的定义域和值域对于函数yf(logax)(a0，且a1)，由于对数函数ylogax的定义域是(0，)，值域是R，则利用换元法，设logaxt，则的解集是f(logax)的定义域，函数f(t)(tR)的值域就是f(logax)的值域(2)利用对数函数的定义域、值域，求形如ylogaf(x)(a0，且a1)的函数的定义域、值域对于函数ylogaf(x)(a0，且a1)，由于对数函数ylogax的定义域是(0，)，因此满足f(x)0的解集是函数logaf(x)的定义域设uf(x)，求出函数uf(x)的值域E，则函数ylogau(uE)的值域是函数logaf(x)的值域【例51】求下列函数的定义域：(1)ylogx1(5x)；(2).解：(1)要使函数有意义，需即x1，且x2.所给函数的定义域为(1,2)(2，)(2)要使函数有意义，需即解得x1.所给函数的定义域为.点技巧 如何求对数函数的定义域求与对数函数有关的函数的定义域时，除遵循前面已学过的求函数定义域的方法外，对这种函数自身还有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数；三是按底数的取值应用单调性，有针对性地解不等式【例52】求函数yloga(aax)(a1)的值域解：令uaax，u0，a1，axa，即x1.yloga(aax)的定义域为(，1)axa，且ax0，uaaxa.ylogaa1.所求函数的值域为(，1)6对数函数的图象变换及定点问题(1)与对数函数有关的函数图象过定点问题对数函数ylogax(a0，且a1)过定点(1,0)，即对任意的a0，且a1都有loga10.这是解决与对数函数有关的函数图象问题的关键对于函数ybklogaf(x)(k，b均为常数，且k0)，令f(x)1，解方程得xm，则该函数恒过定点(m，b)方程f(x)1的解的个数等于该函数图象恒过定点的个数(2)对数函数的图象变换的问题函数ylogax(a0，且a1)yloga(xb)(a0，且a1)；函数ylogax(a0，且a1)ylogaxb(a0，且a1)；函数ylogax(a0，且a1)yloga|x|(a0，且a1)；函数ylogax(a0，且a1)y|logax|(a0，且a1)【例61】若a0，且a1，则函数f(x)loga(5x10)2恒过定点P的坐标是_解析：令5x101，解得，所以函数f(x)恒过定点.答案：【例62】作出函数y|log2(x1)|2的图象解：第一步：作ylog2x的图象，如图.第二步：将ylog2x的图象沿x轴向左平移1个单位长度，得ylog2(x1)的图象，如图.第三步：将ylog2(x1)在x轴下方的图象作关于x轴的对称变换，得y|log2(x1)|的图象，如图.第四步：将y|log2(x1)|的图象，沿y轴方向向上平移2个单位长度，便得到所求函数的图象，如图.7对数函数单调性的应用(1)比较两个对数式的大小比较两个对数式大小的方法有以下几种：单调法：比较同底数(是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；明确对数函数的底数与1的大小关系；最后根据对数函数的单调性判断大小中间量法：比较不同底数对数的大小，常借助于中间值0进行比较利用口诀：“同大异小”，判断对数的符号对于对数logax，a和x均与1比较大小，当a和x都同大于(小于)1时，logax大于0，否则logax小于0.分类讨论：比较同底数(不是具体的数值)的对数大小，构造对数函数，利用对数函数的单调性比较大小要注意：明确所给的两个值是哪个对数函数的两个函数值；分类讨论对数函数的底数与1的大小；最后根据对数函数的单调性判断大小(2)复合函数单调区间的求法求复合函数的单调区间时，一要注意定义域，二要利用“同增异减”法则，三要注意某些情况下区间端点的取舍(3)利用函数单调性求解简单的对数不等式根据对数函数的单调性，当a0，且a1时，有logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；当a1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)；当0a1时，logaf(x)logag(x)f(x)g(x)(f(x)0，g(x)0)辨误区 注意对数自身的性质解对数不等式时，要注意保证真数大于0，另外，为了方便解题，要尽量统一底数【例71】比较下列各组数的大小：(1)log2与log29；(2)log20.3与log0.20.3；(3)loga2.7与loga2.8(a0，且a1)；(4)与.解：(1)因为函数ylog2x在(0，)上是增函数，又9，所以log2log29.(2)因为log20.3log210，log0.20.3log0.210，所以log20.3log0.20.3.(3)当a1时，由函数ylogax的单调性知loga2.7loga2.8；当0a1时，由函数ylogax的单调性知loga2.7loga2.8.(4)设，则，所以.因为，所以4m5n，两边取常用对数得mlg 4nlg 5.因为lg 40，所以，即.【例72】函数f(x)log2(x2x6)的单调递减区间是_分析：将所给函数分解为两个简单函数，利用复合函数的单调性求解解析：令ux2x6，则ylog2u.ylog2u为(0，)上的增函数，当ux2x6为x的减函数时，y为x的减函数为使函数有意义，需x2x60，即定义域为(，2)(3，)由二次函数ux2x6的对称轴为直线，知当x(，2)时，ux2x6是减函数，于是原函数的单调递减区间为(，2)答案：(，2)【例73】若，求a的取值范围解：，即.当a1时，ylogax为增函数，结合a1，可知.当0a1时，ylogax为减函数，结合0a1，知.a的取值范围是.8互为反函数的两个函数所遵循的原则和规律(1)定义域与值域互换、对应法则互逆的原则，即原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域，反映到解析式上，即f1(a)bf(b)a.(2)图象关于直线yx对称的原则(3)单调性相同的原则，即若原函数是增函数(或减函数)，它的反函数一定是增函数(或减函数)(4)若一奇函数有反函数，则它的反函数也是奇函数；若一函数为偶函数，则它没有反函数奇函数不一定有反函数，偶函数一定没有反函数【例8】已知函数yf(x)的定义域是1,1，其图象如图所示，则不等式1f1(x)的解集是()A BC2,0) D1,0解析：由题意可得f1(x)的图象如图所示由图象知1f1(x)0的解为2x0,0f1(x)的解为x1.故不等式1f1(x)的解集为