高中数学 第三章 概率 古典概型中的一个易错问题知识素材 北师大版必修3

古典概型中的一个易错问题对于古典概型概率的求法，只要求出基本事件总数和事件A包含的基本事件个数就行了。困难在于确定基本事件，使之具有有限性和等可能性。判断等可能性是被许多人忽略，又使许多人感到困惑的问题，要做好这一点，需要严谨的思维，切忌想当然。本文就是对这类问题出现的错误归类予以剖析，以期引起大家的注意。例1. 一个家庭有两个小孩，求他们中至少有一个女孩的概率。错解：样本空间：两个女孩或两个男孩或一男一女，用A表示“至少有一女孩”这一事件，则 =(男，男),(男，女),(女，女) A=(男，男),(男，女)P(A)= 解析：上述解法在考虑样本空间时，两个女孩或两个男孩或一男一女发生的可能性不相等。古典概型中，P(A)= 仅当所述的试验结果是等可能时才成立。两个女孩只可能是（女，女），但有一女孩的情况有（男，女），（女，男）两种情况，所以=(男，男),(男，女),（女，男），(女，女) A=(男，女)， (女，男), （女，女，P(A)= 例2.设袋中有4只白球和2只黑球，现从袋中无放回地摸出2只球，（1）求这两只球都是白球的概率；（2）求这两只球中一只是白球一只是黑球的概率。错解1：一次摸出2个球，观察结果的颜色只能有（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种情况，即=(白，白),(白，黑),（黑，黑）。（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，A =(白，白)，所以P(A)= （2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，B=(白，黑)，所以P(B)= 错解2：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有种可能结果，（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有种可能结果，所以P(A)= （2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有 种可能结果，所以P(B)= 解析1：在上述错解1中（白，白），（白，黑），（黑，黑）三种结果出现不是等可能的。我们不妨把4个白球标以1，2，3，4号，2个黑球标以5，6号，则=(1，2),(1，3),(1，6)（2，1），（2，3），（2，6）（6，1）（6，2）（6，5）。（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A=(1，2),(1，3),(1，4)（2，1），（2，3），（2，4）（3，1），（3，2），（3，4），（4，1）（4，2）（4，3），所以P(A)= （2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B=（1，5，），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），所以P(B)= 解析2：在上述错解2中，计算基本事件个数时看做是无顺序的，所以第（2）问中事件B应有种结果。正确解法如下：从袋中无放回地摸出2只球，第一次有6种摸法，第二次有5种摸法，共有种可能结果，（1）用A表示“两只球都是白球”这一事件，则A事件共有种可能结果，所以P(A)= （2）用B表示“两只球中一只是白球一只是黑球”这一事件，则B事件共有种可能结果，所以P(B)= 例3.在一个盒子中装有12枝圆珠笔，其中7枝一等品，5枝二等品，从中任取3枝，求恰有1枝一等品的概率：错解：从中任取3枝，第一次有12种取法，第二次有11种取法，第三次有10种取法，所以从12枝圆珠笔任取3枝的情况共有种；用A表示“恰有1枝一等品”这一事件，则事件A共有种情况，P(A)= 解析1：错解中基本事件的总数共有种取法，这表明在计算基本事件总数时是看作是有顺序的，所以在计算事件A包含基本事件的个数时，也应该看作是有顺序的。一等品的圆珠笔可能是第一次取道的，也可能是第二次、第三次，所