高中数学北师大版必修5《数列的函数特性》导学案

第2课时数列的函数特性1.了解数列和函数之间的关系,能用函数的观点研究数列.2.能判断数列的单调性,并应用单调性求最大(小)项.3.会由数列的前n项和公式求出其通项公式.写出数列0,2,4,6,8,的通项公式an=2n-2后,发现an=2n-2与一次函数f(x)=2x-2有相似之处,只不过是自变量从x换到了n,数列也可看成一种函数.问题1:数列可以看作是一个定义域为(或它的有限子集1,2,3,n)的函数,当自变量按照从小到大的顺序依次取值时,对应的一列.问题2:如果数列an的第1项或前几项已知,并且数列an的任一项an与它的前一项an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子就叫作这个数列的,一般记作为.问题3:一般地,一个数列an,如果从起,每一项都大于它的前一项,即,那么这个数列叫作递增数列.如果从起,每一项都小于它的前一项,即,那么这个数列叫作递减数列.如果数列an的各项,那么这个数列叫作常数列.问题4:任意数列an的前n项和Sn的性质若Sn=a1+a2+a3+an,则an=.1.下面四个结论:数列可以看作是一个定义域在正整数集N+(或它的有限子集1,2,3,n)上的函数;数列若用图像表示,从图像上看都是一群孤立的点;数列的项数是无限的;数列通项的表示式是唯一的.其中正确的是().A.B.C.D.2.数列an的通项公式为an=3n2-28n,则数列an各项中最小项是().A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项3.在某报自测健康状况的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表. 观察表中数据的特点,用适当的数填入表中空白()内.年龄(岁)3035404550556065收缩压(水银柱/毫米)110115120125130135()145舒张压(水银柱/毫米)707375788083()884.数列an中,已知an=2n+1-3.(1)写出a3,a4;(2)253是否是数列的项?如果是,是第几项?考查数列的函数特性对于数列an,a1=4,an+1=f(an),nN+,依照下表:x12345f(x)54312(1)求a2,a3,a4;(2)求a2015.已知Sn求an已知数列的前n项和Sn的表达式,分别求an的通项公式. (1)Sn=2n2-3n;(2)Sn=3n-2.数列中的最值问题设an=-n2+10n+11(nN+),则数列an从首项起到第几项的和最大?给定函数y=f(x),并且对任意an(0,1),由关系式an+1=f(an)得到的数列an满足an+1an(nN+),则该函数的图像可能是().已知数列an的前n项和Sn=3n-2n2 (nN+).(1)求数列an的通项公式;(2)当n2时,比较Sn,na1,nan的大小.已知数列an的通项公式an=(n+1)(1011)n(nN+),试问数列an有没有最大项?若有,求最大项和最大项的项数;若无,说明理由.1.已知an+1-an-3=0,则数列an是().A.递增数列B.递减数列C.常数列D.不能确定2.已知数列an的图像在函数y=1x的图像上,当x取正整数时,则其通项公式为().A.an=1x(xR)B.an=1n(nN+)C.an=1x(xN)D.an=1n(nN)3.已知数列an的前n项和为Sn,a1=2,an+1=Sn+1,nN+,则a6=.4.已知数列an中,an=nn-15.6(nN+),求数列an的最大项.(2013年陕西卷)观察下列等式(1+1)=21(2+1)(2+2)=2213(3+1)(3+2)(3+3)=23135照此规律,第n个等式可为.考题变式(我来改编):第2课时数列的函数特性知识体系梳理问题1:正整数集N+函数值问题2:递推公式an=f(an-1)(n2)问题3:第2项an+1an第2项an+10,a11=0,当n12时,ananf(an)an,此式说明了对于函数y=f(x)图像上的任一点,(an,f(an)都有纵坐标f(an)大于横坐标an,所以函数f(x)的图像在直线y=x的上方.应用二:(1)由an=S1(n=1),Sn-Sn-1(n2),解得an=5-4n.(2)a1=5-41=1,na1=n,nan=5n-4n2,na1-Sn=n-(3n-2n2)=2n2-2n=2n(n-1)0.又Sn-nan=3n-2n2-(5n-4n2)=2n2-2n0,na1Snnan.应用三:(法一:作差法)an+1-an=(n+2)(1011)n+1-(n+1)(1011)n=(1011)n9-n11,当n0,an+1an;当n=9时,an+1-an=0,an+1=an;当n9时,an+1-an0,an+1an.故a1a2a3a11数列an有最大项,为第9,10项.(法二:作商法)an+1an=(n+2)(1011)n+1(n+1)(1011)n=10(n+2)11(n+1),当n11n+11,an+1an1,即an+1an;当n=9时,10n+20=11n+11,an+1an=1,即an+1=an;当n9时,10n+2011n+11,an+1an1,即an+1an.故a1a2a3a11数列an有最大项,为第9,10项.(法三:两边夹)假设an为最大项,则anan+1,anan-1,即(n+1)(1011)n(n+2)(1011)n+1,(n+1)(1011)nn(1011)n-1,解得n9,n10.9n10,n=9或10,即第9,10项最大.基础智能检测1.Aan+1=an+3,数列an是递增数列.2.B数列an对应的点列为(n,an),即有an=1n(nN+).3.48当n2时,an+1=Sn+1,an=Sn-1+1,两式相减,得an+1-an=Sn-Sn-1=an,即an+1=2an,则a2=a1+1=3,a3=2a2=6,a4=2a3=12,a5=2a4=24,a6=2a5=48.4.解:考察函数y=xx-15.6=1+15.6x-15.6,因为直线x=15.6为函数图像的渐近线,且函数在(-,15.6)上单调递减,在(15.6,+)上单调递减,所以当n=