电路邱关源教材课件第7章

第七章 一阶电路的时域分析 本章主要内容： w一阶动态电路的方程和初始条件 w一阶动态电路的零输入响应 w一阶动态电路的零状态响应 w一阶动态电路的全响应 基本要求： 牢固掌握一阶动态电路的初始条件的求法。 w牢固掌握一阶动态电路的全响应，熟练运用“ 三要素法”分析一阶动态电路。 一、动态电动态电 路：含有动态动态 元件的电电路。 7-1 动态电动态电 路的方程和初始条件 由于动态动态 元件的电压电压 与电电流之间间呈微分关系 或积积分关系，所以根据KCL、KVL定律对动态对动态 电电路列出的方程是微分方程或积积分微分方程。 二、输输入-输输出方程：联联系输输入us(t)与输输出uC(t)之 间间关系的方程 当求出uC(t)后，可应应用元件的伏安关系求出电电路 中其它元件的响应应 1、过过渡过过程(瞬变过变过 程)：动态电动态电 路的一个特征 是当电电路的结结构或元件的参数发发生变变化时时，可能 使电电路改变变原来的工作状态态，转变转变 到另一个工作 状态态，这这种转变转变 往往需要经历经历 一个过过程，在工 程上称为过为过 渡过过程。 2、换换路：由于电电路中结结构的改变变(如电电源的接通 、切断)或电电路参数的突然变变化所引起的电电路变变化 ，并认为换认为换 路是在t=0时时刻进进行的。 t= 0-表示换换 路前的最终时终时 刻； t=0+表示换换路后的最初时时刻； t=0-到t=0+换换路经历经历 的时间时间 。 三、动态电动态电 路的方程和初始条件 3、换换路定律：在换换路前后电电容电电流和电电感电电 压为压为 有限值值的条件下，换换路前后瞬间电间电 容电压电压 和电电感电电流不能跃变跃变 。即 一个动态电动态电 路的独立的初始条件为电为电 容电压电压 uC(0+)和电电感电电流iL(0+)，一般可以根据它们们在t=0- 时时的值值（即电电路发发生换换路前的状态态） uC(0-)和iL(0- )确定。该电该电 路的非独立初始条件，即电电阻的电压电压 或电电流、电电容电电流、电电感电压电压 等则则需要通过过已知 的独立初始条件在“0+等效电路”中求得。 把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压 源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中 独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。 0+等效电路： 例1、求如图图所示电电路 中开关闭闭合后电电容电压电压 的初始值值uC(0+)及各支 路电电流的初始值值i1(0+)、 i2(0+) 、iC(0+)。假设设开 关闭闭合前电电路已经经工作 了很长时间长时间 。 解：首先求 uC(0-) 在0+等效电路中求其它参 数初始值。 t=0-时时的等效电路如图 iC(0-) = 0 t=0+等效电路如图 例2、求如图图所示电电路中开关闭闭合后电电感电电流的初 始值值iL(0+)、电电感电压电压 的初始值值uL(0+)以及初始值值 i(0+)和 is(0+)。假设设开关闭闭合前电电路已经经工作了很 长时间长时间 。 解：首先求出 iL(0-) 根据KVL 例3、求如图图所示电电路中开关断开后的初始值值 uC(0+) 、 iL(0+)、 iC(0+)、uL(0+)和uR2(0+) 。假设设开 关断开前电电路已经经工作了很长时间长时间 。 C uC + - iC iL LuL + - uR2 + - 解： t=0+等效电路如图 uL(0+) uC(0+) uR2 (0+) R2 iC(0+) iL(0+) uL(0+) uC(0+) uR2 (0+) R2 iC(0+) iL(0+) 初始条件是电路中所求解的变量在 t=0+时的值。 2、利用换路定律求得iL(0+)或uC(0+) 3、通过已知的iL(0+)和uC(0+)画出0+等效电路，求出 电路中其它的电流、电压，称之为0+等效电路法。 0+等效电路： 把t=0+时的电容电压、电感电流分别用独立电压 源uC(0+)和独立电流源iL(0+)等效替代，原电路中 独立源取t=0+时的值，其它元件照搬。 小结： 1、在 t=0-时时的等效电路中求得iL(0-)或uC(0-) 7-2 一阶电路的零输入响应 零输入响应：动态电路在没 有外施激励时,由动态元件 的初始储能引起的响应。 一、RC电路的零输入响应 初始条件 RC电路的零输入响应微分方程为： 令此方程的通解为代入上式后有 相应的特征方程为 特征根为 根据以此代入 则可求得积分常数 这样求得满足初始值的微分方程的解为 电路中的电流为 时间常数： 理论上要经过的时间uC(t)才能衰减为零值 。但工程上一般认为换路后，经过35时间 过渡过程即告结束。 在放电过程中，电容不断放出能量为电阻所 消耗；最后，原来储存在电容的电场能量全部为 电阻吸收而转换成热能。 时间常数的几何意义 在电容电压曲线上经过横坐标为t1的一点P做 切线与横轴交于t2 ，从而得到P点的次切距 （ t1 t2 ），即等于时间常数。 时间常数愈小，放电过程愈快；反之，则愈慢。 二、RL电路的零输入响应 初始条件 令此方程的通解为 代入上式后有特征根为 根据以此代入 则可求得积分常数 零输入响应电流为 + + - - uR uL iL IS= I0 R L S(t=0) 零输入响应电压为 时间常数： 三、总结 零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态 产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特 性。因此在求解这一响应时，首先必须掌握电 容电压和电感电流的初始值，电路的特性是通 过时间常数来体现的。 零输入响应的通用公式： 零输入比例性： 若初始状态增大倍，则零输入响应也相应地增 大倍，零输入响应与初始状态成正比关系。 例1、 如图所示电路在换路前已工作了很长，求 换路后的零输入响应电流i(t)和电压u0(t)。 解： 故 例2、如图所示电路, i(0+)=150mA, 求t0时的响应u(t) 。 解：对回路I列写KVL 整理得 特征根为 故 代入初始条件i(0+)=150mA，即得零输入响应电流 零输入响应电压 求从电感L两端向右看，无源网络的等效电阻Req Req 列KVL方程 直接用公式求解 7-3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态电路仅由外施激励引起的响应。 一、RC电路的零状态响应 在t=0时开关打开，电流 源与RC电路接通，引起 uC变化，产生响应。 1、定性分析 IsCR uC + - t=0 iCiR iR = 0 在t=0+时， 即： 这时电容电压uC RIs，称 电路达到了直流稳态。 直流稳态：当直流电路中各个元件的电压和电流 都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态。 电容如同开路，充电停止， 电容电压几乎不再变化，IsCR uC + - t=0 iCiR 2、数学分析 一阶非齐次微分方程 通解为： 其中uch 为对应的齐次微分方程的通解， ucp为非 齐次微分方程的一个特解。 IsCR uC + - t=0 iCiR 对应的齐次方程的通解为 特解可认为具有和输入函数相同的形式， 令此常量为B，则 ucp=B 代入微分方程得： 解得： ucp=B=RIs，t 0 因此 初始条件代入求得 A= -RIs 所以电容电压 时间常数仍为 =RC。 由此可求 3、过渡过程曲线 4、能量关系 电容电压从零值开始按指数规律上升趋于稳态值 RIs，时间常数=RC越小，电容电压达到稳态值 就越快，uC()= RIs。 电容电流从Is开始按指数规律下降趋于零值，稳 态时电容如同开路。 一般地 电容贮能： 电阻耗能： 二、RL电路的零状态响应 如图所示，开关在t=0时闭合 ，电压源与RL电路接通，引 起iL变化，产生响应。 1、定性分析 uR = 0 电感如同短路，充电停止，电感电流几乎不再变化 ， iLUS/R，电路达到了直流稳态。 2、数学分析 其中： 一阶非齐次微分方程 通解为： 因此： 其中时间常数仍为 =L/R。 可求得： 由此可求得： 3、过渡过程曲线 电感电流从零值开始按指数规律上升趋于稳态值 Us/R ，时间常数= L/R越小，电感电流达到稳态 值就越快，iL()= Us/R 。 一般地 电感电压从Us开始按指数规律下降趋于零值，电感 如同短路。 零状态响应的万能公式： 三、总结 在直流电流或电压作用下电路的零状态响应，实 质上是电路中动态元件(电容和电感)的充电过程 。它取决于电路的稳态值和电路的特性。因此在 求解这一响应时，首先必须掌握电容电压和电感 电流的稳态值，电路的特性是通过时间常数来体 现的。 四、几个概念 1、零状态比例性： 若外施激励增大倍，则零状态响应也相应地增 大倍，零状态响应与外施激励成正比关系。 由此可知，如果有多个独立源作用于电路，可以 运用叠加定理求出零状态响应。 2、固有响应(暂态响应)：微分方程通解中的齐次 方程解。 它的模式与输入无关，一般具有 Kest的形式，K 的具体数值与输入有关。它的变化方式完全由电 路本身确定。这一分量是随时间的增长而衰减到 零的。 3、强制响应(稳态响应)：微分方程通解中的特解。 其形式与输入形式相同。强制响应(激励、输入) 为常数或周期函数时，又称其为稳态响应。 4、过渡过程：电路在进入直流稳态之前，称电 路处于过渡过程。 例3、图示电路，已知i(0)=0,试求i(t), 解：先求电感两端左边网络的戴维宁等效电路。 求开路电压uoc，如图(b) (a)(b) i1=4A 利用KVL: 求等效电阻，电流源开路，外施电压源u，如图(c) (c) 列KVL方程 所以 (d) 所以得戴维宁等效电路与电感 构成的RL电路如图(d)所示。 由图(d)求得 零状态响应为： 7-4 一阶电路的全响应 一、线性动态电路的叠加定理 (2)零状态响应 当外加激励增大倍时， 1、齐次定理(零输入比例性、零状态比例性) (1)零输入响应 2、全响应 例：如图所示为一RC电 路。设在t=0时开关由a投 向b，电路与电流源Is接通 ，并设uC(0)=U0 0。 IsCR uC + - iCiR b a 在t 0时，该电路既有输入激励作用，初始状态 又不为零。求响应uC(t)。 列KCL方程， t0时 由初始状态得初始条件为：uC(0)=U0 非齐次微分方程的通解为： 代入初始条件， 由此求得 因此求得响应为： 其中时间常数=RC。 如果Is=0，则 为该电路的零输入响应。 如果U0 =0，则 为该电路的零状态响应。 显然 3、叠加定理：全响应等于零输入响应与零状态 响应的代数和。 即： 零输入响应零状态响应 定义：把初始状态和外施激励共同作用下的响应 称为全响应。 用公式表示为： 暂态响应 稳态响应 意义： 直流线性动态电路在换路后，通常要经过一段过 渡时期才能进入稳态，把全响应分解为暂态响应 和稳态响应，正是反映了这两种工作状态；把全 响应分解为零输入响应和零状态响应则反映了电 路中的因果关系。 例4、在t=0时，恒定电压源US=12V施加于RC电路 ，如图所示。已知uc(0)=4V，R=1，C=5F。 求t0时的uc(t) 及ic(t)。 解：全响应uc(t)可认为是由 零输入响应uc1(t)和零状 态响应uc2 (t)组成。 uc(0)=4V =RC=15=5s 所以 uc()= US=12V 所以 因此全响应 电容电流 或 另外，全响应uc(t)可认为是由稳态响应uc3(t)和暂 态响应uc4 (t)组成。 uc3(t) =uc()= US=12V=RC=15=5s 二、求一阶动态电路的“三要素法” 1、三要素 一阶动态电路响应的一般形式为： 通用公式为： 式中是稳态值； 是初始值； 是时间常数。 稳态值、初始值和时间常数这三个具有特征性的 量称为“三要素”。 3、适用条件： 2、三要素法： 在直流激励一阶动态电路中，根据求出的任一变 量的初始值、稳态值和时间常数，根据通用公式 直接写出它们的解答式的方法。 (1)直流激励下，在一阶电路中求任一变量的响应。 (2) 响应是按指数规律衰减的。 (3)在激励作用下，响应有稳态可趋，即电路有稳 态值。 4、解题步骤： 画出0+等效电路图，求出待求变量的初始值f (0+) 。 用电压为uC(0+) 的电压源置换电容或用电流为iL(0+) 的电流源置换电感，获得0+等效电路图。 （3）t 0+时，求从动态元件两端看去的等效电阻 Req(动态元件两端看去的戴维宁等效电路或诺顿等 效电路的电阻)。 计算时间常数 （5）根据三要素公式 （4）t=时画出等效电路图，即用开路代替电容 ，用短路代替电感，所得的电路。 由此电路求出待求变量的稳态值 f ()。 代入三要素值，直接写出待求变量的解答式。 例5、图示电路中，试求开关闭合后电路中的电 流iL和i。 解：开关闭合前，电路中 只有电流源作用。 可求得： 开关闭合后，电路中电 压源和电流源同时作用 ，以电感两端向左看求 得戴维宁等效电路。 时间常数 戴维宁等效电路与电感构成的RL电路如图所示。 电路达稳态后，电感相当于短路。 求得稳态值 因此利用三要素法写出 原图中KCL得： 例6、图示电路，开关合在1时已达稳定状态。 t=0时开关由1合向2，求t 0时的电压