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文档简介

动态几何问题 关于对动态几何问题的理解 n以运动的观点探究几何图形的变化规律问题,称 之为动态几何问题.动态几何试题就是研究在几何 图形的运动中,伴随着出现一定的图形位置、数 量关系的“变”与“不变”性的试题 动态探究题能够真实的考查学生的知识水平、理解能力, 有较好的区分度,具有较好的选拔功能;同时,依托图形的 变化(动点、动线段、动图问题),能很好地考查学生学习 数学的探究能力和综合素质,体现开放性。主要以中档题与 综合题形式出现,有时也会以选择题形式出现。 分 类 题型分类:点动型、线动型、面动型 运动形式:平移、旋转、翻折、滚动 题型一:点动型 n点动型就是在三角形、矩形、梯形等一 些几何图形上,设计一个或几个动点, 并对这些点在运动变化的过程中产生的 等量关系、变量关系、图形的特殊状态 、图形间的特殊关系等进行研究。 例1(08宁夏)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点P在AB上从A向 B运动,连接DP交AC于点Q。 (1)试证明:无论点P运动到AB上何处时,都有ADQABQ; (2)当点P在AB上运动到什么位置时,ADQ的面积是正方形 ABCD面积的 ; (3)若点P从点A运动到点B,再继续在BC上运动到点C,在整个运 动过程中,当点P运动到什么位置时,ADQ恰为等腰三角形。 1、单动点型 例2(2008湖北咸宁)如图,在ABC 中,点O是AC边上 的一个动点,过点O作直线MNBC,设MN交BCA的角 平分线于点E,交BCA的外角平分线于点F (1)求证:EO=FO; (2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形? 并证明你的结论 解决此类动点几何问题常常用的是“类比发现法 ”,也就是通过对两个或几个相类似的数学研究对象 的异同,进行观察和比较,从一个容易探索的研究 对象所具有的性质入手,去猜想另一个或几个类似 图形所具有的类似性质,从而获得相关结论。类比 发现法大致可遵循如下步骤: (1)根据已知条件,先从动态的角度去分析观察可 能出现的情况; (2)结合某一相应图形,以静制动,运用所学知识 (常见的有三角形全等、三角形相似等)得出相关 结论。 (3)类比猜想出其他情况中的图形所具有的性质。 例3(08湖北咸宁)如图,正方形 ABCD中,点A、B的坐标分别为(0 ,10),(8,4),点C在第一象限动点P在正方形 ABCD的边上, 从点A出发沿ABCD匀速运动,同时动点Q以相同速度在x轴上运 动,当P点到D点时,两点同时停止运动,设运动的时间为t秒 当P点在边AB上运动时,点Q的横坐标x(长度单位:)关于运动时 间t(秒)的函数图象如图所示,请写出点Q开始运动时的坐标及点P 运动速度; (2) 求正方形边长及顶点C的坐标;(第24题图)(第24题图) (3) 在(1)中当t为何值时,OPQ的面积最大,并求此时P点的坐标 2、双动点型 例4(08苏州)如图,在等腰梯形ABCD中,ADBC, AB=DC=5,AD=6,BC=12动点P从D点出发沿DC以每秒 1个单位的速度向终点C运动,动点Q从C点出发沿CB以每秒 2个单位的速度向B点运动两点同时出发,当P点到达C点 时,Q点随之停止运动 (1)梯形ABCD的面积等于 ; (2)当PQAB时,P点离开D点的时间等于 秒; (3)当P,Q,C三点构成直角三角形时,P点离开D点多少 时间? 例5(08甘肃白银)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是矩形,点B的坐 标为(4,3)平行于对角线AC的直线m从原点O出发,沿x轴正方向以每秒1个 单位长度的速度运动,设直线m与矩形OABC的两边分别交于点M、N,直线m运 动的时间为t(秒) (1) 点A的坐标是_,点C的坐标是_; (2) 当t= 秒时,MN=AC; (3) 设OMN的面积为S,求S与t的函数关系式; (4) 探求(3)中得到的函数S有没有最大值?若有,求出最大值;若没有,要说明 理由 题型二:线动型 1、线平移型 2、线旋转型 例6(2006衡阳) 已知,如图中,AB=1,BC= 对角线AC、BD交于0点,将直线AC绕点0顺时针 旋转,分别交BC 、AD于点E、F (1)证明:当旋转角为90时,四边形ABEF是平行四边形; (2)试说 明在旋转过 程中,线段AF与EC总保持相等; (3)在旋转过 程中,四边形BEDF可能是菱形吗?如果不能,请说 明 理由;如果能,说明理由并求出此时AC绕点0顺时针 旋转的度数 。 题型三:图动型 n 图形的运动变换主要有平移、旋转和翻折 这三种基本变换。主要是对给定的图形(或其 一部分)实行某种位置变化,然后在新的图形 中分析有关图形之间的关系,这类问题常与探 究性、存在性等结合在一起,考察学生动手能 力、观察能力、探索与实践能力。 例7(08广州)如图,在梯形ABCD中,ADBC,AB=AD=DC=2cm, BC=4cm,在等腰PQR中,QPR=120,底边QR=6cm,点B、C、 Q、R在同一直线l上,且C、Q两点重合,如果等腰PQR以1cm/秒 的速度沿直线l箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形ABCD与等腰 PQR重合部分的面积记为S平方厘米 (1)当t=4时,求S的值 (2)当 ,求S与t的函数关系式,并求出S的最大值 1、图形平移型 图8-2图8-1 例8(2007资阳)如图8-1,已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点( 不与A、C重合),PEBC于点E,PFCD于点F. (1) 求证:BP=DP; (2) 如图8-2,若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转,在旋转过程 中是否总有BP=DP?若是,请给予证明;若不是,请用反例加以说明 ; (3) 试选取正方形ABCD的两个顶点,分别与四边形PECF的两个顶点 连结,使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过 程中长度始终相等,并证明你的结论 . 2、图形旋转型 3、图形翻折型 AD CB NM AD C B Q EP N 例9(2007济济宁)如图图,先把一矩形ABCD纸纸片对对折,设设折痕为为 MN,再把B点叠在折痕线线上,得到ABE。过过B点折纸纸片使D点叠在 直线线AD上,得折痕PQ。 (1)求证证:PBEQAB; (2)你认为认为 PBE和BAE相似吗吗?如果相似给给出证证明,如不相似请请 说说明理由; (3)如果沿直线线EB折叠纸纸片,点A是否能叠在直线线EC上?为为什么? 4、图形滚动 例10(2006临临沂)如图图,小正六边边形沿着大正六边边形的边缘边缘 顺时针滚动顺时针滚动 ,小正六边边形的边长边长 是大正六边边形边长边长 的一半, 当小正六边边形由图图位置滚动滚动 到图图位置时时,线线段OA绕绕点O 顺时针转过顺时针转过 的角度为为 度。 例11(2008年泰安市)(第19题) 1如图,将边长为1的正三角形沿x轴正方向连续 翻转2008次,点P依次落在点 的位置,则点 的横坐标为 1、已知:如图,AB是O的一条弦,点C为AB的中点,CD是 O的直径,过C点的直线l交AB所在直线于点E,交O 于点F. (1)判断图中CEB与FDC的数量关系,并写出结论; (2)将直线l绕C点旋转(与CD不重合),在旋 转过程中,E点、F点的位置也随之变化, 请你在下面两个备用图中分别画出l在不 同位置时, 使(1)的结论仍然成立的图 形,标上相应字母,选其中一个图形给 予证明. 练习(线动型) 综合 题型 练习(图动型) 【观察与思考】经过仔细审题,排除“三角尺”和其平移的表面干扰,题中的图 (1)(2

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