电路课件第4章（第五版邱关源高等教育出版社）

第四章 电路定理 (Circuit Theorems) 1. 叠加定理 2. 替代定理 3. 戴维宁定理和诺顿定理 4. 特勒根定理 5. 互易定理 6. 对偶原理 重点 掌握各定理的内容、适用 范围及如何应用。熟练掌握 叠加定理、戴维宁定理和诺 顿定理的应用。 4-1 叠加定理 (Superposition Theorem) 一. 叠加定理 在线性电路中，任一支路的电流(或电压)可以看 成是电路中每一个独立电源单独作用于电路时，在 该支路产生的电流(或电压)的代数和。 G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2i3 + + 1 二 .举例证明用结点法： (G2+G3)un1=G2us2+G3us3+iS1 支路电流为： G1 is1 G2 us2 G3 us3 i2i3 + + 1 三. 几点说明 1. 叠加定理只适用于线性电路； 2. 一个电源作用，其余电源为零 电压源为零短路。 电流源为零开路。 结点电压和支路电流均为各电源的一次函数， 均可看成各独立电源单独作用时，产生的响应 之叠加。 结论 三个电源共同作用is1单独作用 = + us2单独作用us3单独作用 us3 R1 is1 R2 us2 R3 i2i3 + + 1 R1 is1 R2 R3 1 + R2 R1 us2 R3 + 1 R1 R2 us3 R3 + 1 3. 功率不能叠加(功率为电压和电流的乘积，为 电源的二次函数)。 4. u，i叠加时要注意各分量的参考方向。 5. 含受控源(线性)电路亦可用叠加，受控源应始终 保留在各分电路中。 以电阻为例： 四. 叠加定理的应用 例1： 求电压U. 8 12V 3A + 6 3 2 + U 83A 6 3 2 + U(2） 8 12V + 6 32 + U(1) 画出分 电路图 12V电源作用： 3A电源作用： 解： 例2： u 12V 2A 1 3A3 6 6V 计算电压u。 1 3A 36 u（1） 12V 2A 1 3 6 6V u (2） i (2) 3A电流源作用： 其余电源作用： 叠加方式是任意的，可以一次一个独立源单独作用，也可以一 次几个独立源同时作用，取决于使分析计算简便。 (a) =+ (b)(c) 受控电压源 例3：求u3 在图b中 在图c中 所以 (b)(c) 例4： 无源 线性 网络 uS i iS 封装好的电路如图，已知下列 实验数据： 解 根据叠加定理，有： 代入实验数据，得： 研 究 激 励 和 响 应 关 系 的 实 验 方 法 五. 齐性原理（homogeneity property) 线性电路中，所有激励(独立源)都增大(或减 小)同样的倍数，则电路中响应(电压或电流)也增 大(或减小)同样的倍数。 当激励只有一个时，则响应与激励成正比。 例5. 采用倒推法：设i=1A 。 则 求电流 i 。 RL=2 R1=1 R2=1 us=51V， + 2V 2A + 3V + 8V + 21V + us=34V 3A 8A21A 5A 13A i R1R1R1 R2 RL + usR2 R2 i =1A 解 4-2 替代定理 (Substitution Theorem) 一.替代定理 对于给定的一个线性电阻电路，若某一支路电压为uk、电流 为ik，那么这条支路就可以用一个电压等于uk的独立电压源，或 者用一个电流等于ik的独立电流源，或用一 R= uk / ik 的电阻来 替代，替代后电路中全部电压和电流均保持原有值(解答唯一)。 ik 支 路 k ik + uk + uk ik + uk R=uk/ik 二. 定理的证明 N ik + uk 支 路 k N + uk uk uk uk N ik + uk 支 路 k 证毕! 替代前后KCL，KVL关系相同，其余支路的u、i关系 不变。用uk替代后，其余支路电压不变(KVL)，其余支路 电流也不变，故第k条支路ik也不变(KCL)。用ik替代后，其 余支路电流不变(KCL)，其余支路电压不变，故第k条支路 uk也不变(KVL)。 原因： 注： 1.替代定理既适用于线性电路，也适用于非线性电路。 3.替代后其余支路及参数不能改变。 2.替代后电路必须有唯一解。 例： 求图示电路的支路电压 和电流。 i3 10 55 110V 10 i2 i1 u 解： 替 代 i3 10 55 110V i2 i1 60V 替代以后有： 替代后各支路电压和电流完全不变。 4-3 戴维宁定理和诺顿定理 (Thevenin-Norton Theorem) 工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电 压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电 路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变 换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流 源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁 定理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算 方法。 一. 戴维宁定理 一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口网络 ，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合 来等效置换；此电压源的电压等于外电路断开时端口处 的开路电压uoc，而电阻等于的全部独立电源置零后的输 入电阻（或等效电阻Req）。 NS a b i u i a b Req uoc + - u I 例: uoc a b + Req5 15V - + (1) 求开路电压Uoc (2) 求等效电阻Req 10 10 + 20V + u0C a b + 10V 1A 5 2A + u0C a b 二.定理的证明 a b NS i + u + a b NS i + u N N b i uoc + u a + Req a b NS + u 则 替代 叠加 NS中独立 源置零 a b N i + uReq 三.定理的应用 (1) 开路电压uoc 的计算 （2）等效电阻的计算 戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开 时的开路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向 有关。计算Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任 意方法，使易于计算。 等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置 零(电压源短路，电流源开路)后，所得无源一端口网 络的输入电阻。常用下列方法计算： 23 方法更有一般性。 NS除源，当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联 和Y 互换的方法计算等效电阻； 1 不除源，开路电压，短路电流法。 3 NS除源，外加电源法（加压求流或加流求压），求比值。2 a b N i + u Req a b N i + u Req uoc a b + Req iSC (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路发 生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏-安 特性等效)。 (2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源 必须包含在被化简的同一部分电路中。 注意： 例 1. 计算Rx为1.2时的I； IRx a b + 10V 4 6 6 4 解： 保留Rx支路，将其余一端口 网络化为戴维宁等效电路： a b + 10V 4 6 6 + U2 4 + U1 IRx I a b Uoc + Rx Req (1) 求开路电压 Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6) = -4+6=2V + Uoc _ (2) 求等效电阻Req Req=4/6+6/4=4.8 (3) Rx =1.2时， I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A 求U0 。 33 6 I + 9V + U0 a b + 6I 例2. Uoc a b + Req 3U0 - + 解： (1) 求开路电压Uoc Uoc= 6I + 3I I = 9 / 9 = 1A Uoc= 9V + Uoc 3 6 I + U a b + 6I I0 独立源置零 U= 6I + 3I = 9I I = I0 6 / (6+3) = (2/3)I0 U =9 (2/3)I0=6I0 Req = U0 /I0=6 (2) 求等效电阻Req 方法1：加压求流 方法2：开路电压、短路电流(Uoc=9V) 6 I1 + 3I = 9 6I + 3I = 0 I=0 Isc=I1= 9 / 6 = 1.5A Req = Uoc / Isc =9/1.5=6 3 6 I + 9V Isc a b + 6I I1 独立源保留 (3) 等效电路 计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开 路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。 a b Uoc + Req 3U0 - + 6 9V 33 6 I + 9V + U0 a b + 6I 求负载RL消耗的功率。例3. 100 50 + 40V RL a b + 50V I1 4I1 50 5 解： (1) 求开路电压Uoc 100 50 + 40V a b I1 200I1 50 + Uoc + 100 50 + 40V a b I1 200I1 50 + Uoc + (2) 求等效电阻Req用开路电压、短路电流法 Isc 50 + 40V a b Isc50 a b Uoc + Req 525 10V 50V IL 100 50 + 40V RL a b + 50V I1 4I1 50 5 已知开关S 例4. 1 A 2A 2 V 4V 求开关S打向3，电压U等于多少 解： 线性 含源 网络 AV 5 U + S 132 1A 4V 2 四. 诺顿定理 一个含独立电源、线性电阻和受控源的一端口网络， 对外电路来说，可以用一个电流源和电导(电阻)的并联组 合来等效置换；电流源的电流等于该一端口的短路电流， 而电导(电阻)等于把该一端口的全部独立电源置零后的输 入电导(电阻)。 诺顿等效电路可由戴维宁等效电路经电源等效变换 得到。诺顿等效电路可采用与戴维宁定理类似的方法 证明。证明过程从略。 NS a b a b Geq(Req)Isc 例5： 求电流I 。 12V 2 10 + 24V a b 4I + (1) 求短路电流Isc I1 = 12/2 = 6A I2= (24+12) / 10 = 3.6A Isc= -I1-I2= - 3.6-6 = -9.6A 解： I1 I2 (2) 求等效电阻Req Req = 10 / 2= 1.67 (3) 诺顿等效电路: Req 2 10 a b 应用分流公式： 4 I a b -9.6A 1.67 I =2.83A Isc 五.最大功率传输定理 一个含源线性一端口电路，当所接负载不同时 ，一端口电路传输给负载的功率就不同，讨论负 载为何值时能从电路获取最大功率，及最大功率 的值是多少的问题。 NS i + u 负载 i uoc + u + Req RL 应用戴维 宁定理 RL P 0 P max 最大功率 匹配条件 对P求导： i uoc + u + Req RL 注： (1) 最大功率传输定理用于一端口电路给定, 负载电阻可调的情况; (2) 计算最大功率问题结合应用戴维宁定理 或诺顿定理最方便 ； (3) 一端口等效电阻消耗的功率一般并不等于 端口内部消耗的功率，因此当负载获取最大 功率时，电路的传输效率并不一定是50%。 含源一端口外接可调电阻R，当R等于多少时， 它可以从电路中获得最大功率？求此最大功率。 例6 结点电压法求开路电压： =4V 等效电阻: Req Req=16+ 20 / 5 = 20k Req=20k，故R=20k时才 能获得最大功率， 例7RL为何值时其上获得最大功率，并求最大功率。 20 + 20V a b 2A + UR RL 10 (1) 求开路电压Uoc： (2) 求等效电阻Req Uoc I1I2 20 + UR 10 I2I1 U + I a b (3) 由最大功率传输定理得: 时其上可获得最大功率 20 + 20V a b 2A + UR RL 10 i uoc + u + Req RL 扩音机: Ri R=8 信号源的内阻Ri为 1k，扬声器上不可能得到最大 功率。为了使阻抗匹配，在信号源和扬声器之间连上 一个变压器。 变 压 器 变压器具有变换负载阻抗的作用，以实现匹配，采用 不同的变比，把负载变成所需要的、比较合适的数值。 4-4 特勒根定理 (Tellegens Theorem) 一. 特勒根定理1 任何时刻，对于一个具有n个结点和b条支路的集总 电路，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 功率守恒 表明任何一个电路的全部支路吸收的功率之和 恒等于零。 定理证明： 46 5 1 23 4 2 3 1 应用KCL: 1 2 3 支路电压用结 点电压表示 二. 特勒根定理2 任何时刻，对于两个具有n个结点和b条支路的集总 电路，当它们具有相同的图，但由内容不同的支路构成 ，在支路电流和电压取关联参考方向下，满足: 46 5 1 23 4 2 3 1 46 5 1 23 4 2 3 1 拟功率定理 定理证明： 对电路2应用KCL: 1 2 3 46 5 1 23 4 2 3 1 应用特勒根定理需注意： （1）电路中的支路电压和支路电流必须满足关联参 考方向；（否则公式中加负号） （2）定理的正确性与元件的特征全然无关。 例： (1) R1=R2=2, Us=8V时, I1=2A, U2 =2V (2) R1=1.4 , R2=0.8, Us=9V时, I1=3A, 求此时的U2 。 解： 把（1）、（2）两种情况看成是结构相同，参 数不同的两个电路，利用特勒根定理2： 由(1)得：U1=4V, I1=2A, U2=2V, I2=U2/R2=1A 无源 电阻 网络 N + U1 + Us R1 I1I2 + U2R2 4-5 互易定理 (Reciprocity Theorem) 互易性是一类特殊的线性网络的重要性质。一个具有互 易性的网络在输入端（激励）与输出端（响应）互换位置后 ，同一激励所产生的响应并不改变。具有互易性的网络叫互 易网络，互易定理是对电路的这种性质所进行的概括，它广 泛的应用于网络的灵敏度分析和测量技术等方面。 一. 互易定理 对一个仅含电阻的二端口电路NR，其中一个端口加 激励源，一个端口作响应端口，在只有一个激励源的 情况下，当激励与响应互换位置时，同一激励所产生 的响应相同。 l第一种形式： 激励电压源电流响应 形象记:电流表与电压源互换,电流表读数不变。 + - NR a b c d + - NR a b c d 证明:由特勒根定理： 即： 两式相等，得 + - + - NR a b c d NR a b c d l第二种形式激励电流源电压响应 形象记: 电压表与电流源互换位置读数不变。 NR a b c d + - NR a b c d + - l第三种形式： 激励 电流源 电压源 图b 图a 电流 响应 图b 图a 电压 NR a b c d NR a b c d + - + - 形象记:等值电流源与电压源互换位置，读数不变。 二. 互易定理应用 分析电路时应注意： (3) 互易定理只适用于线性电阻网络在单一电源激励下， 两个支路电压电流关系。 (1) 互易前后应保持网络的拓扑结构不变，仅理想电