大学数学一元微积分函数的连续性

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一） 六讲六讲 函数的连续性函数的连续性 主讲:岑利群 第一章 函数与极限与连续性 函数的连续性及其性质 一、连续函数的概念 二. 函数的间断点(了解) 三、连续函数的运算 四.初等函数的连续性 五.最大值和最小值定理 六.介值定理 极限形式 增量形式 一、连续函数的概念 设 f (x) 在 U(x0) 内有定义, 若 则称函数 f (x) 在点 x0 处是连续的. 1.函数连续性的定义 (极限形式) 可减弱：x0 为聚点 函数的连续性是一个局部性的概念, 是逐点定义的. 定义定义 是整个邻域 函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点： (1) f (x) 在 U(x0) 内有定义；(包括在点 x0 处有定义) (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) 函数 y = x2 在点 x = 0 处是否连续 ? 函数 y = x2 在点 x = 0 处连续. 又 且 y = x 2 在 U(0) 内有定义, 例1 解 函数的连续性是通过极限定义的, 当然可以 运用 语言描述它. 2.连续性的 语言形式 设函数 f (x) 在 U(x0) 内有定义. , 若 , 当 | x x0 | 0, sgn x|x=0=sgn 0 = 0 故符号函数 y = sgn x 在点 x = 0 处不连续. 0,x = 0, 1,x 1, 但由于 例4 解 5.函数在区间上的连续性 设函数 f (x) 在开区间 (a, b) 内有定义. 若 x0(a, b), f (x) 在点 x0 处连续, 则称 f (x) 在开区间 (a, b) 内连续, 记为 f (x)C( (a, b) ). 定义定义 若 f (x)C( (a, b) ), 且 f (x) 在 x = a 处 右连续, 在端点 x = b 处左连续, 则称函数 f (x) 在闭区间 a, b 上连续, 记为 f (x)C( a, b ). 对半开闭区间和无穷区间可类似定义连续性 定义定义 一般地, 如果函数 f (x) 在区间 I 上连续, 则记为 f (x) C( I ) . 通常将函数的不连续点叫做 函数的间断点. 二. 函数的间断点 函数 f (x ) 在点 x0 处连续, 应该满足以下三点： (1) f (x) 在 U(x0) 内有定义; (包括在点 x0 处有定义) (极限值等于函数在点 x0 处的函数值) (1) f (x) 在 x0 处无定义. 1.函数间断点的定义 满足下述三个条件中的任何一个, 则称函数 f (x) 若函数 f (x) 在内有定义, 且在点 x0 处 在点 x0 处间断, 点 x0 称为函数 f (x) 的一个间断点： 定义定义 2.函数间断点的分类 函数的间断点 第一类间断点 第二类间断点 跳跃可去 无穷振荡其它 讨论函数 f (x)= x +1 x 0 sinx x 0. 时, 幂指函数 g(x)h(x) 也是连续函数. 当 g(x) 与 h(x) 均为连续函数, 且 g(x) 0 (3) (2) (1) 例15 基本初等函数在其定义域内是连续的. 初等函数在其有定义的区间内连续. 注意两者的区别！ 四.初等函数的连续性 求 连续性给极限运算带 来很大方便. 例16 解 设 f (x) C ( a, b ), 则 (i) f (x) 在 a, b 上为以下四种单调函数时 aO b x y aO bx y Oa b x y Oa b x y 五、 最大值和最小值定理 y = f (x) a, b , y = f (x) a, b , 此时, 函数 f (x) 恰好在 a, b 的 端点 a 和 b 处取到最大值和最小值. 则 则 (ii) y = f (x) 为一般的连续函数时 x y a a1a2a3 a4a5a6 b ma mb y = f (x) O (最大值和最小值定理) 若 f (x) C ( a, b ) , 则它在该闭区间 上, 至少取到它的最大值和最小值各一次 . 在定理中, 闭区间的条件是很重要的, 例如, y = x 在 (1, 3) 内连续, 但它不能取到它的最大 值和最小值. 定理定理 a x y y = f (x) f (a) b f (b) O f (x)C ( a, b ),f (a) f (b) 0, b 0 ) 设 f (x) = x a sin x b , x 0, a + b , 则 f (x)C( 0, a +