论文一种动态综合评价方法及应用VIP

目录第一章绪论1第一节研究的背景和意义1一、研究的背景1二、研究的意义2第二节研究内容与结构安排3一、研究内容3二、结构安排3第三节可能的创新之处4第二章群组评价中变权问题6第一节综合评价中的权重6一、权重的概念及特性6二、常权分配方法7第二节变权综合评价基本问题8一、变权综合评价的基本定义8二、变权综合评价的内涵9三、变权算子的构造方法研究综述11四、变权算子的基本类型14五、关于变权算子的拓展15六、已有文献述评16第三节综合评价中变权的处理模式17一、基本思路17二、基于权重类型视角的处理模式17三、基于动态评价视角的处理模式17第四节变权优化效应分析17一、变权调节能力分析17二、变权调节效果分析17第三章静态变权的群组评价方法及应用17第一节静态群体评价理论综述17第二节群体评价中专家权重确定18一、常权的确定19二、变专家权重20第三节基于变权理论的多因素群体评价权重自适应调整方法21一、问题描述22二、评价模型建立22三、实例分析24第四节本章小结27第四章动态变权的群组评价方法及应用27第一节动态多指标群体评价理论综述27第二节权重的确定29一、常权的确定29二、变权思路31第三节基于决策共识度的动态专家权重群体评价模型32一、问题描述32二、评价模型建立32三、实例分析34第四节本章小结34第五章总结与展望34第一节本文工作总结34第二节未来工作展望35第一章绪论评价是人类的基本活动之一，在人类历史上占有重要的地位。在日常生活中，人们通常需要参照一定的标准对某个或某些事物、某种行为或某种认识（统称为评价客体）进行判断、评定和估计其价值之优劣或高低，并通过评价达到对事物的认识，进而知道决策行为。例如，评价一个学生的综合素质，对一个部分业绩的考核，评价一场音乐会的效果、评估员工的绩效、评估一所学校的教学水平、评估一个投资项目的前景等等，都属于广义的“评价”范畴，可见，评价活动无处不在1。评价理论是把第二次世界大战后发展起来的运筹学、统计学、计算机科学、系统理论等综合运用于综合评价问题，形成的一门有关评价类型、过程、准则及方法的较完整的理论体系。第一节研究的背景和意义评价是人们参照一定标准对客体价值或优劣进行比较和评判的一种认知过程，是人类认识事物的一种重要手段与方式，而评价结论又常常成为人们行动或决策的重要依据，从这个层面看评价同时也是一个决策过程。一、研究的背景随着社会经济的发展，互联网信息技术的突飞猛进，评价所包含的信息量越来越大，评价问题也变得更加错综复杂。由于评价的主客观因素和系统环境的复杂性，很多评价问题都涉及多个相互联系、相互制约的因素，这就需要多方考虑影响评价的各个因素（指标），这类以系统因素为研究对象的评价问题就是多因素评价。又因为很多评价问题是多学科相互交叉渗透，涉及领域也越来越广，很多评价问题通过单个决策者，明显不足。相应地，要求综合许多领域的专门知识才能解决问题，为了体现评价的合理性和科学性，避免个体评价因信息的不完备和不确定造成评价不合理，大多数一般采取群体评价的方式，这就是所谓的群体评价。多因素群体评价是多因素评价和群体评价相交叉的研究方向，是群体评价的一个重要分支，主要研究如何按照评价问题的多个因素将个体偏好信息综合为群体偏好信息，是现代综合评价科学的一个重要研究领域。由于多因素群体评价在处理选择、排序和分类等实际评价问题中的重要作用，它已经广泛应用于项目评估、效益评估、教学评价、供应商选择、人事管理等诸多领域，有力地推动了社会的进步和经济的发展2-4。动态群体评价是指群体评价过程中各评价要素动态变化的群体评价。在群体评价过程中，如果各评价要素具有动态变化特性，将使得群体评价变得更加复杂，此时，不仅需要考虑个体偏好的综合问题，还要考虑偏好综合的动态性。一般的群体评价方法无法解决动态群体评价问题，必须进行改进和拓展。在实际的群体评价过程中，评价个体的偏好判断信息、约束条件和备选方案等评价要素都可能是动态变化的。这些评价要素的动态变化就分别构成了不同类型的动态群体评价问题5-6。动态群体评价与一般群体评价的根本区别就是评价要素的动态变化。这使得动态群体评价具有时间关联性和评价的前后关联性两个基本特点7。时间关联性是指动态群体评价的评价要素随着时间变化而变化。评价的前后关联性是指前一阶段的评价与后一阶段的评价密切关联。例如在交互式群体评价过程中，各评价者所给出的偏好信息就是动态变化的。在群体交互的不同阶段，各评价者的偏好信息会不断调整和变化，具有时间关联性。同时，前一轮交互所做出的评价会影响到下一轮交互的评价，具有评价的前后关联性。因此，交互式群体评价归属于一类动态群体评价问题。多阶段群体评价也属于动态群体评价。多阶段群体评价是指评价群体所要解决的问题包含多个评价阶段的一类群体评价。评价群体需要在各个阶段做出阶段性评价，其评价目标就是寻求群体最优策略使得评价问题的全局指标达到最优。多阶段群体评价由于包含多个评价阶段，并且各阶段所处的状态和备选方案(被评价对象)一般都与时间有关，所以具有时间关联性。同时，各阶段的群体评价是一个连续的过程，前一阶段的评价影响到后一阶段的评价，所以具有评价的前后关联性。多阶段群体评价的评价状态是动态变化的，因而也属于动态群体评价问题。二、研究的意义从评价过程的状态来看，目前大部分群体评价方法的研究对象几乎都局限于个体偏好信息的静态处理，解决的大多是某一时点的评价问题，较少顾及群体评价的动态特性。然而，动态群评价作为一种普遍的评价形式存在于人类社会活动的各个方面，特别是一些重大评价问题，都采用动态群评价的思想和解决方式。与静态群评价方法相比，动态群评价方法能更好地反映评价问题的实际情形，更符合群体偏好的调整过程，能得到更加合理的群体一致性。但是，在动态群评价过程中，不仅需要考虑个体偏好的综合问题，还要考虑偏好综合的动态性，这显然已经超出了静态群评价方法的能力范围。因此，对动态群体评价方法的研究已成为当前群体评价理论中急需研究的重要环节。另外，权重作为动态群体评价信息系统重要组成部分，是进行动态群体评价的首要条件。动态群体评价信息系统中权重主要包括：指标权重、专家权重、阶段权重，在现有的研究中关于权重的确定，大多讨论的是常权，常权综合在一定程度上反映了事物关于各基本因素的综合优度，其常权基本反映了各基本因素在评价中的相对重要性，因此在许多场合具有一定的合理性而被广泛的使用。但因常权保持不变会导致评价结果不科学问题，因此需要引入变权理论，即根据各被评价对象信息的均衡程度不同，赋予不同的权重8。综上所述，本文引入变权思想，考虑对动态多因素群体评价过程中因素权重、专家权重和阶段权重进行确定，进而丰富和完善动态多因素群体评价的理论体系，优化群体评价过程，提高群体评价准确性和合理性。第二节研究内容与结构安排一、 研究内容本文首先研究了变权向量问题。变权向量是根据各评价客体不同的状态水平赋权不同的权重，对于某一评价问题不仅要考虑各基本因素相对重要程度，而且要考虑各状态水平均衡情况。其次，本文基于变权思想，考虑了动态群体评价模型和动态多因素群体评价模型，从不同视角、不同维度考虑针对不同的状态水平赋予不同的权重，进而得出更为合理的评价结果。二、结构安排本文的的章节结构安排如下。第一章为绪论，论述了本文的研究背景和研究意义，分析了国内外变权理论的研究现状和动态群体评价的研究现状，阐述了论文的研究内容和结构安排。第二章为变权向量的理论基础，系统论述了变权向量的性质与构造。第三章为动态群体评价模型，应用偏好距离相关理论，论述了基于决策共识度的动态专家权重评价模型和基于变权思想的动态群体评价过程中专家权重的确定以及评价信息的综合，并以实例进行了验证。第四章为动态多因素群体评价模型，论述了基于变权理论的多因素群体评价权重自适应调整方法、基于变权理论的动态多因素群体评价方法，并以实例进行了验证。第五章为总结与展望，对本文工作进行总结，对需要进一步研究的方向做出展望。论文的整体框架结构如图1-1所示。第1章绪论绪论第2章变权向量理论基础理论基础第3章动态多因素评价模型第4章动态群体评价模型评价模型构建第5章动态多因素群体评价模型与分析第6章总结与展望总结图1-1 论文整体框架结构第三节可能的创新之处本文的创新之处在于如下几点：（1）正如前文所述，现有文献关于变权向量的研究主要是针对因素权重进行变权，且大多仅考虑单一阶段的变权，但是关于专家权重和阶段权重变权的研究很少。本文正是对于动态多因素群体评价问题，从多个维度、多个视角对因素权重、专家权重进行变权，从而得到最优评价结果。（2）现有文献关于动态多因素群体评价过程中因素权重和专家权重的确定大多是根据各不同阶段评价矩阵所包含信息量的不同被赋予了不同的权重，本文在利用主观赋权法得到因素权重和专家权重的基础上，利用变权思想对权重进行调整，因此得到的综合评价结果更具有合理性。第二章群组评价中变权问题综合评价过程中主要包括三个内容：评价值、评价权重和综合评价方法。其中，权重作为被评价对象的不同侧面的重要程度的体现，权重大小的分配在综合评价过程中显得尤其重要，如何合理地确定权重的大小，便成了综合评价所面临的问题。在传统的综合评价中，关于权重确定的方法有很多，且相关理论研究也相对成熟，在一定程度上反映了被评价对象关于各基本因素的综合情况；但那些赋权都是“一次性”赋权，在考虑群组评价过程可能存在偶尔性，以及在群组评价中可能会出现的“舞弊”行为，一些评价对象被专家赋予的较大评价值，可能会造成错误的评价结果，另外，一些赋权方法虽然考虑了评价值整体信息进行，没有考虑每一不同被评价对象信息的变化情况，以“恒权”作为评价权重，在一些实际问题的评价过程中会出现不合理现象。如何针对评价者所给的评价信息可能是错误信息，或者是各评价主体所给出的评价信息存在较大差异这类评价问题进行合理赋权，是以往传统综合评价未考虑到的问题，需要进行全面系统的讨论。本章主要围绕权重确定的方法，以及变权的基本问题展开论述。第一节 综合评价中的权重权重作为综合评价几大基本要素之一，其在综合评价过程中的作用不言而喻。本小节主要针对综合评价过程中权重的概念及特性，以及传统的赋权方法进行讨论。一、 权重的概念及特性关于权重这个词，韦氏大辞典中的解释是“在所考虑的群体（Group）或系列（Series）中赋予某一项目（Item）的相对值”；“表示某一项目（Item）相对性所赋予的一个数”；“在一个频率分布中某一项目（Item）的频率”。从这一定义中，我们可以得出以下几个结论。第一，权重是一个相对值，表示指标重要性的相对数值。显然这里权重的大小体现指标的相对重要程度。因此我们认为在赋权过程中，若有指标A的重要程度大于指标B，而指标A的权重却小于指标B的权重，则认为权重的赋值是不合理的。显然这里体现了权重的相对性。第二，权重是通过统计得出的频率。因此频率越高认为重要相对重要性越大，则认为权重越大，认为权重具有随机性。第三，从序的角度来看，权重的确定具有一定的灵活性，其取值具有限定性，可能在某一个具体的范围内变动。这种在一定范围内的波动，则体现了权重带有一种模糊性的特性。权重在不同的综合评价问题中同样有这不同的表现形式，在多指标综合评价中，需要考虑指标（因素）权重；在群体评价过程中，需要考虑每一位评价者的权重，即专家权重；在动态综合评价过程中，需要考虑每一阶段的权重，称之为阶段权重；另外，针对某一综合评价问题，可能会采用多种综合评价方法，这时对于不同评价方法就会涉及方法权。二、 常权分配方法对于任何综合评价系统，各指标权重的确定是其核心问题，指标权重的大小不同可能会得到不同的综合评价结果，所以合理地确定指标权重对任何综合评价问题都是十分重要的。迄今为止，关于综合评价权重确定的方法研究，已有相当丰富研究成果，概括起来，权重的确定方法大致可以分为四类：主观赋权法、客观赋权法、组合赋权法和交互式赋权法。所谓主观赋权，就是指基于决策者的知识经验或偏好通过重要性程度大小不同对各指标（因素）进行比较、赋值和计算得出其权重的方法。因此，主观赋权法是一种定性分析方法。主要有：AHP法、Delphi法、最小平方法、判断矩阵法、模糊综合评判法等。这类赋权方法体现了决策者的经验判断，其确定的权重一般符合现实。但这种方法确定的权重与评价指标的信息值无关，权重仅是主观上的判断评价指标重要程度，没有考虑评价指标之间的关系，并且无法显示评价指标重要程度随时间的渐变性，比如，在多阶段综合评价过程中，评价的环境、评价指标的重要程度等因素是动态变化的，权数也应该随着指标的贡献度不同而有所变化。客观赋权法则单纯利用指标的客观数据信息，通过建立一定的推导计算出权重系数确定权重，不依赖于人的主观意识，是一种定量分析方法，主要方法有变权系数法、熵权法、基于支持法、离差最大化法和线性规划法。这种方法赋权的优点是充分考虑了评价指标的数据信息，缺点是这种方法仅仅以数据说话，忽视了决策者的经验与知识等主观偏好信息，把指标的重要性程度同等化了，有时仅根据评价指标数据分布情况确定权数可以得到的结果与实际情况相违背。组合赋权法，又称为主客观综合赋权法，该方法综合了指标的主、客观权重信息，克服了主、客观赋权法各自的不足。另一种方法是交互式赋权法，上述三种赋权法都是由决策者一次导出的，交互式赋权法需要经过多次循环，由决策者通过相互协调对指标权重进行不断的调整和修正来确定最终权重。从目前的几种权重确定方法来看，都采用的是一种“常权”形式，即在一次评价过程，对于不同的被评价对象，各指标（因素）被赋予了相同的权重，这种赋权方法看似能到得到准确的评价结果，但对于一些特殊问题，往往会得到不合理的评价结果。另外，上文所述赋权方法大都是针对静态综合评价，对于多阶段综合评价却很少有探讨，那么如何结合上文所述的权重的随机性、不确定性和模糊性对指标确定一个较为合理的权重？这是综合评价理论的一个热点也是难点问题。第二节 变权综合评价基本问题本小节首先对变权的定义、变权的可能性和必要性进行说明，其次对变权算子的构造、变权算子的分类、变权算子的拓展等问题进行重点讨论。一、 变权综合评价的基本定义随着大数据时代的到来，数据，已经渗透到当今每一个行业和业务职能领域，成为重要的生产、发展因素。人们对于海量数据挖掘和分析，预示着新一代消费者盈余浪潮和生产率增长的到来。数据分析在生物学、生态环境学、物理学等领域以及金融、通讯、电力、军事等行业运用已有时日，却因为近年来信息行业和互联网的发展而引起人们的关注。伴随数据时代到来的是数据结构、数据形式的多样化，数据分析内容的复杂化，这是需要新的统计分析技术和方法不断涌现。正如笔者在前文中所阐述的一样，我们所获取的数据结构具有多样性，综合评价问题也越来越复杂化（评价存在偏离），且很多评价过程不是一次性结束，而是需要进行多阶段评价，那么如何进行权重的确定，如何开展综合评价活动，已成为理论界需要解决的问题。虽然统计综合评价学界没有明确提出“变权”评价的概念，但变权理论在管理学、运筹学等领域均有所体现。然而，综合评价作为一种统计分析方法，显然有其区别于其他领域的特色。因此，在对变权综合评价相关问题进行讨论时，有必要对其概念、主要的研究内容等进行分析和界定，以便确定我们研究的范畴。根据笔者理解，变权综合评价实际上是针对传统综合评价中权重确定过程中存在不合理现象所提出来的一种改进方法，在传统的综合评价理论框架下进行的，核心的区别之处在于：用“变权”代替“常权”进行评价。对于评价的组成元素、评价步骤甚至是评价方法等遵循原来的准则。由上所述，我们可以将变权综合函数定义如下汪培庄,李洪兴.模糊系统理论与模糊计算机M.北京:科学出版社,1996.：一组（维）变权是指下述个映射，满足：归一性：；连续性：关于每个变元连续；惩罚性：关于变元单调减少；设是一组（维）变权，置则称为（维）变权综合函数。虽然它与式（2-1）常权综合函数形式相似，但两者有较大区别：常权综合是指无论目标值的组态或状态（各方案的取值状况，即各基本目标函数的取值状况）如何，权重算子是固定不变的，简单点说，在式（2-1）中，变量的取值不同（即状态不同），权重算子是不变的。而变权综合是指信息集结中的权重算子是变权算子（它随着状态的不同而不同）。从权数的分类来看，苏为华教授、邱东教授和陈骥副教授都提出过有关观点。邱东教授（1991）提出了估计权数、可靠性权数、实质性权数、系统效应权数以及信息量权数。苏为华教授（2001）提出独立权数和相关权数，陈骥副教授（2010）从取值形式上将权重分为点值权数和区间权数。笔者认为，若从权重是否因状态值的不同而变化这个角度来划分，权重可分为常权和变权。二、 变权综合评价的内涵那么我们为什么提出变权综合评价这一概念，为什么对这一评价技术进行讨论？笔者在本章开篇已有所提及，下面从必要性和可行性这两个方面进行深入剖析。（一） 必要性分析在群组评价中，采用变权的形式对评价的权重进行扩展，开展变权评价技术的研究，主要基于如下几点原因。第一，权重的本质属性是在评价过程中对每一个因素的权衡都要随具体进程的不同空间停留而不断修改调整，甚至大的跳跃，以一种恒权作为整个评价过程的依据，显然是不合理的。第二，一方面由于各评价者的知识水平、个人偏好等有较大差异，他们在作出评价时往往会带有很强的个人偏见，对自己厌恶的方案给予较低的评价；另一方面，因为某些原因，少数评价者会对部分方案给出明显错误的评价，这种情况下使用线性加权法对群体评价信息进行集结，这些不公平或错误的评价往往会导致不合理甚至错误的群体评价结果。第三，现有文献关于变权虽然考虑了各指标相对重要程度和根据评价状态值水平进行变权，很少有从方案序的角度考虑权重问题。（二）可行性分析从以上这些综合评价所面临的问题来看，对传统的评价技术进行扩展和补充，是完全有必要的，也体现了综合评价是一个“开放性”的系统的观点。那么为什么采用变权，而不是另寻其他赋权方法对现有的赋权方法进行补充，并且在此基础上，对综合评价相关问题进行讨论？虽然上文所提及的必要性分析能对这一问题进行解释。但这种转变是否可行？根据笔者的理解，可以从变权算子的特性及优点等几个方面进行分析。首先，可以弱化偏离和不公正评价行为。在很多实际的综合评价过程中，经常需要借助评价者甚至专家进行判断，特别是对于一些敏感性问题进行评价时，专家判断可能会出现偏离甚至可能存在刻意的不公正行为，这些都将导致不合理的评价结果。为了避免出现此类情况，我们可以根据评价者给出的评价信息，针对不同的评价赋予不同的权重。再则，由于个人对被评价对象理解不尽相同，综合评价的相对性具体表现在指标体系的设计上，对定性问题的看法上等方面，特别是在评价指标权重的确定过程中，变权可以把那种“绝对合理”的度量刻画成“不合理到合理”的渐进过度的度量，结合评价信息，能很好描绘综合评价结论的合理性。由上所述，笔者认为采用开展变权理论技术的研究，是可以采用的一种思路，有着较高的应用价值，是很有必要的，同时也是可行的。三、 变权算子的构造方法研究综述从目前的研究来看，变权算子的构造方法并不多，根据变权重求解过程所供信息的不同，现有研究主要分为两类：一类是从构造状态变权算子出发，因为指标常权算子与状态变权算子的归一化乘积即为指标变权算子；另一类则是从构造均衡函数出发，因为由均衡函数的梯度向量可以得到状态变权算子，进而可以求解出指标的变权算子。（一）状态变权向量的构造针对这一问题较早进行研究的且比较有代表性的是李洪兴（1995）李洪兴.因素空间理论与知识表示的数学框架（VIII）J.模糊系统与数学.1995,9(3):1-9.的研究成果，变权综合与常权综合的不同之处在于，变权综合不仅考虑了各基本因素（指标）的相对重要性，而且考虑了评价值（指标的状态）关于指标变量的水平组态，这两方面的作用同时体现在可变的权重中。各指标的相对重要性是与被评价对象的评价值（状态）变化无关，因此称为常权算子：为了避免前文所提出的因状态值的不均衡而导致的不合理的综合，也应该对其状态进行加权，这些权重应该随评价值组态的不同而变化，因此应当是变权，称之为状态变权算子，记为其中。与之相伴的常权算子应当叫做（基本）指标常权算子。如果作映射，。则变权算子为（2-5）其中，称为乘积，的作用就是对状态加权，或者说对加以“修饰”，即对作了某种均衡，为因素常权算子。因此，要确定评价问题中各因素的变权规律，只需确定相应的状态变权算子。朱振勇，李洪兴（1999）朱勇珍,李洪兴.状态变权的公理化体系和均衡函数的构造J.系统工程理论与实践.1999,7:116-118.根据所要达到的变权目的不同，将状态变权算子分为惩罚型变权算子和激励型变权算子，即给定映射，。如果满足以下条件：；对每一个变元连续；对任何常权向量下式满足惩罚型变权三个条件（2-5）则称为一个维惩罚型状态变权算子。若将换为，这时为一个维激励型状态变权算子。李德清，李洪兴（2002）李德清,李洪兴.状态变权向量的性质与构造J.北京师范大学学报.2002,38(4):455-461.对状态变权算子的性质进行了讨论，并根据其性质，提出状态变权算子的构造可以由已知状态变权向量构作新的状态变权向量，也可以通过状态向量的均值直接构造状态变权向量。第一，由已知状态变权向量的线性组合构造新的状态变权向量。设映射，均满足状态变权向量的条件，则凸组合是维惩罚型状态变权向量。第二， 由已知两组状态变权向量的Hadmard乘积构造新的状态变权向量。设，如果满足状态变权向量的条件，那么它们的乘积是维惩罚型状态变权向量。第三， 由已知状态变权向量的函数构造新的状态变权向量设满足状态变权向量的条件，我们有如果函数，连续且单调递减，则是维激励型状态变权向量。如果函数，连续且单调递增，则是维惩罚型状态变权向量。第四，由状态向量的均值直接构造状态变权向量设函数连续且单调递减，给定状态向量，取，我们有（1）构成维惩罚型状态变权向量（2）当时，由上述形成的变权恰为常权公式其他关于状态变权算子的构造方法，主要有张丽娅，李德清（2009）张丽娅.李德清.变权决策中确定状态变权向量的理想点法J.数学的实践与认识.2009,39(6):93-97.利用因素状态向量构造正理想状态向量和负理想状态向量，然后由这两个理想状态向量分别构造两个极不均衡的状态向量和；根据状态变权向量对和的调权效果以及算子中的主观偏好参数建立一个确定状态变权向量参数的数学模型，为解决变权综合过程中如何选用合适的状态变权向量提供了一个可操作性的方法。侯海军，王庆东（2006）侯海军,王庆东.由三角模构造的状态变权向量J.商丘师范学院学报.2005,22(2):64-67.讨论了三角模与余三角模相关概念，并给出基于三角模与余三角模的状态变权向量的构造模式。李德清，冯艳宾（2003）李德清,冯艳宾.两类均衡函数的结构分析与一类状态变权向量的构造J.北京师范大学学报.2003,39(5):595-600.利用取大、取小算子构造了一类状态变权向量，该类状态变权向量注重最大或最小因素状态值的作用，在实际应用中可以消除一些评价环境中的“噪声”影响。（二）均衡函数的构造状态变权的主要功能是可以实现因素变权思想，因此，要评价问题中各因素的变权规律，只需确定相应的状态变权向量，又知均衡函数的梯度向量构成状态变权向量，这样，问题的关键就变为如何确定合适的均衡函数。均衡函数刻画人们对评价值均衡性的偏爱程度，以惩罚型均衡函数为例，该均衡函数假定评价者不是极端主义，但对于某些因素上存在严重缺陷的被评价对象，通过对其权重调整，终将把其淘汰。所谓均衡函数是指对于函数（表示实数域）叫做一个（元）均衡函数，关于均衡函数最早是由我国李洪兴教授（1995）根据经验得到的，并于1996年李洪兴.因素空间理论与知识表示的数学框架（IX）J.模糊系统与数学.1996,10(2):12-19.关于均衡函数的构造进行了具体研究。状态变权算子的功能是要对状态加权，视加权的结果为一个元函数，即（1-3）我们可以对取下述形式：（1-4）这里，式（1-4）成为一个关于的一阶线性偏微分方程：（1-5）为方便起见，取，为适当选定的一个实数，于是式（1-5）有下列简单形式：（1-6）方程（1-6）的特征方程为（1-7）由不难得到个独立的第一积分：于是原方程的解由隐函数确定：（1-8）其中为任意连续可微函数。若函数满足，则由式（1-8）可以解出，整理后便有（1-9）其中为任意连续可微函数。简单和型均衡函数和简单积型均衡函数是最早被提出的两种均衡函数李洪兴.因素空间理论与知识表示的数学框架（VIII）J.模糊系统与数学.1995,9(3):1-9.，随后学者针对均衡函数的性质与构造方法展开一系列研究。李德清，冯艳宾（2003）李德清,冯艳宾.两类均衡函数的结构分析与一类状态变权向量的构造J.北京师范大学学报.2003,39(5):595-600.定义一种均衡函数的等效性，在该等效性下，证明当趋于零时，积型均衡函数（当时，为简单积型均衡函数）与和型均衡函数（当时，为简单和型均衡函数）等效。因此，在该等效定义下，积型均衡函数可被看成和型均衡函数的特例。关于和型均衡函数和积型均衡函数有如下定义：设且，则为型惩罚型均衡函数。设且，则为型惩罚型均衡函数。其他关于均衡函数的研究有李月秋（2009）李月秋.变权综合理论与多目标决策D.昆明理工大学.2009.根据有所达到的变权目的不同，均衡函数分为惩罚型均衡函数、激励型均衡函数、混合型均衡函数和折衷型均衡函数。蔡前凤，李洪兴（2001）蔡前凤,李洪兴.均衡度与变权J.系统工程理论与实践.2001,10:83-87.、李德清，曾文艺（2016）李德清,曾文艺.变权决策中均衡函数均衡效果J.系统工程理论2016,36(3):712-718.则是对均衡函数的均衡效果与均衡度等问题进行了深入的探讨。四、 变权算子的基本类型（一）惩罚型、激励型和混合型变权算子根据评价者对状态值间不均衡性的处理方式不同，将变权算子分为：激励型变权算子、惩罚型变权算子和混合型变权算子李月秋.变权综合理论与多目标决策D.昆明理工大学.2009.。惩罚型变权是一种对缺点进行惩罚的综合方式，当评价值增加时，对应的权重减少而是综合值减少，采用惩罚型变权综合函数进行综合时，要想取得较好的综合值就必须每一个单因素状态（评价值）都不太低，因此惩罚型变权综合时一种惩罚缺点的评价方式。惩罚型变权算子有一定的适用范围，比如在人才评价中，中低级人才主要看他们的一技之长，此时应该予以激励，即加大指标的权重。又如因素表示工作成绩，工作成绩越大付出的努力也就越大，工作“平平”是最容易做到的，要想工作的更好需要加倍努力，换言之，因素的状态越大，的权重亦随之增大，我们称之为激励型变权。将惩罚型变权与激励型变权加以混合即提出混合型变权。所谓“混合型变权”是指该变权关于某些因素具有惩罚性，而对另外一些因素具有激励性。因此，在某些方面没有明显缺点且在另一些方面很优秀的对象将取得较好的评价值。如果这是对人才评价的话，则是专才评价模式。比如说，在录取研究生时，一般优先考虑外语和政治不要太低而与研究方向有关的专业课特别优秀的学生。这相当于对“外语成绩”和“政治成绩”这两个因素使用惩罚而对“专业课成绩”采用激励。不妨假定关于是惩罚的，关于是激励的。所谓一组混合型变权是指下述个映射，满足：归一性：；连续性：关于每个变元连续；混合性：关于变元单调下降，当且仅当；关于变元单调增加，当且仅当；则称为一组混合型变权，称为惩罚数，为激励数。显然，当时，混合型变权退化为惩罚型变权；当时，混合型变权退化为激励型变权。（二）全局型变权算子与局部型变权算子前文从各评价因素的角度出发，将变权算子分为惩罚型变权算子、激励型变权算子和混合型变权算子，针对的是所有被评价对象。笔者认为，同样可以从被评价对象分布出发，将变权算子分为全局型变权算子和局部型变权算子。全局型变权算子，顾名思义，可以说是对某一因素进行“完全”的变权，及针对的所有被评价对象施以同样的变权策略，上文所述惩罚型变权算子、激励型变权算子和混合型变权算子均为全局型变权算子。局部型变权算子姚炳学,李洪兴.局部变权的公理体系J.系统工程理论与实践.2000,1:106-109.是指如果当某些因素评价值太低，比如低于最低要求的标准，而有些因素的评价值又极高时，科学的评价观应当是对低于一定标准的因素评价值予以惩罚，而对高于一定标准的因素评价值进行激励。例如，在评价学生成绩时，对低于60分的科目予以惩罚，而对高于90分的科目进行激励，这种评价观实际上鼓励学生在各科都不太低的情况下，尽量提高个别科目的分数，从而有利于专才的培养，而这种专才在任何方面都没有太大的缺陷。这类针对某一因素状态值的分布情况施以不同的变权策略，称为局部型变权算子。即：设一组变权是指下述个映射，满足：归一性：；连续性：关于每个变元连续；混合性：当时，关于变元单调下降；当时，关于变元单调增加，则称为一组局部型变权算子，称为这组变权的激励策略，称为因素的及格水平或激励惩罚拐点，不同的因素这个水平可以不同。变权算子局部型变权算子全局型变权算子惩罚型变权算子激励型变权算子混合型变权算子图1-1 变权算子的分类图1-1显示的是变权算子的几种类型划分方法，然而值得注意的是，这些划分方法也并非完全独立的，它们之间是可以交叉划分的，在实际操作中采用的群组评价往往具有若干种分类的特征。五、 关于变权算子的拓展随着变权算子的提出，为综合评价提供了一个新的角度，关于变权算子的拓展研究已是非常丰富，笔者这里对于评价值类型的拓展和与其他方法结合变权的拓展进行讨论。（一） 评价值类型的拓展评价值为区间数的评价问题是综合评价领域的重要研究分支。在评价实践中，区间数是常见的一种评价值类型。一方面，评价者为提高数据可信度或评价者自身把握性，采用区间数的方式描述属性值；另一方面，为描述测量误差，也可能采用区间数形式的评价值。对于评价值为区间数的评价问题，王庆东，侯海军（2008）王庆东,侯海军.基于区间数的变权与状态变权J.系统工程学报.2008,23(4):493-497.利用变权的方法对决策信息为区间数形式的多因素决策问题进行了研究首先给出了区间数一种排序方法和区间数的四则运算与逻辑运算，并研究它们的性质；然后讨论区间数变权与状态变权的定义及其约束条件，给出若干区间数状态变权；最后证明了区间数状态变权的一个等价条件，并给出两个由已知区间数状态变权构造新的状态变权的方法。郝飞龙，李德清（2008）郝飞龙,李德清.属性值为区间数的变权综合决策方法J.数学的实践与认识.2008,38(5):31-35.在属性值为实数型变权算子的相关理论基础上，拓展出区间数状态变权向量，并建立区间数变权算子。作者首先定义了四组实值向量，然后借助着四组实值向量与实数状态变权向量推导出区间型状态变权向量，最终成功解决属性值为区间数的评价问题。王庆东，侯海军（2008）王庆东,侯海军.基于区间数变权原理的教学质量评估模型J.系统工程理论与实践.2008,3:151-157.类似，以“惩罚-激励型变权算子”为背景，构造区间数状态变权向量，并用其解决教学评估问题。综合评价中，另一类常见评价值变量是语义型变量。针对某些属性，由于被评价对象本身的模糊性与复杂性，评价者难以给出定量描述，而只能采用定性或模糊的方式语言描述。例如，在评价淘宝顾客满意度时，对产品质量、物流速度等用“满意”、“基本满意”、“不满意”等词语进行描述。于是，如何构建基于语言值的变权算子就成为一个有意义的问题。李德清，崔红梅（2005）李德清,崔红梅,李洪兴.一种基于语言值多数的变权综合决策方法J.控制与决策,2005,20(3):245-249.考虑“满意”类属性与“不满意”类属性之间的内在联系，为突出“满意”类属性的地位，对“不满意”类属性进行打压，其基本想法是：首先，利用激励型变权算子将“不满意”属性上的部分权重调整到“满意”属性上，然后利用惩罚型变权算子把新添加的权重在“满意”属性上进行均衡分配，通过两次调权，最终突显“满意”类属性在评价中的作用。李德清，王加银（2010）李德清,王加银.基于语言量词的变权综合决策方法J.系统工程理论与实践.2010,30(11):1998-2002.利用Borda函数，构造了一种属性值为语言量词（Linguistic Quantifier）的变权算子，较好地反应语言值的语义。（二） 结合其他方法的拓展在某些方案评价中，根据属性的特征，可将属性集划分成若干组，如将属性集划分为两组：反应方案的盈利性和可行性。因组间属性无法相互弥补，所以不适采用以往变权算子。陈超，沙基昌，刘俊先（2007）陈超,沙基昌,刘俊先.分组变权综合评估方法及应用J.系统管理学报.2007,16(3):242-244.建立一种组内变权、组间独立的分组变权算子，从而提高评估结果的准确性与可靠性。为克服常权AHP无法反应复杂系统非线性、涌现性与均衡性等缺陷，李春好，李永河（2010）李春好,李永河,贾艳辉.变权层次分析法J.系统工程理论与实践.2010,30(4)：723-731.依据整体论和还原论的思路，提出一种随方案变化而调整权重的变权AHP方法。变权AHP方法对系统外部因素变动具有抗干扰性，当有新方案加入到方案集时，原始方案相对排序不会改变，从而解决了固定AHP方法中的逆序问题。李德清，崔红梅（2004）李德清,崔红梅,李洪兴.基于层次变权的多因素决策J.系统工程学报.2004,19(3):258-263.针对多层次复杂系统，提出一种层次变权算子。章玲，周德群（2008）章玲,周德群.基于模糊测度的变权关联多属性决策分析J.控制与决策.2008,23(3):267-272.探讨属性间具有关联的评价问题。在类似高中人才选拔中，学生的数学能力和物理能力间会存在叠加，破坏了属性间的可加性。该文基于模糊测度，提出一种解决关联属性的变权算子，并有效应用于高中人才选拔。第三节变权优化效应分析群组评价是把不同成员的关于方案集合中各方案的偏好按某种规则集结为评价群体的一致或妥协的群体偏好序。Rae(1969)认为，最优群组评价规则一方面是评价结果应尽可能体现各方案（或被评价对象）之间的差异，以便对各方案进行优先或排序，另一方面评价结果应体现群体成员评价的可能性最大，即最小化评价结果与个人偏好不一致的情况，简单来说就是尽可能让群体的大多数人满意。因此，理想的情况下，群体评价各被评价对象之间的差异尽可能大，而群组评价的最终结果应该趋于一致，并在最大程度上反映群体的共同意愿。另外，权重作为群组评价重要基本因素之一，在评价值及评价方法确定的情况下，权重的大小不同，群组评价的结果也将不同，进而影响最终对各方案的优选或排序。故本文这里通过对变权调节能力和变权调节效果的设计，对变权的优化效应进行分析。一、 变权调节能力分析正如前文介绍，变权的目的根据评价水平值之间的均衡水平调整各因素在群组评价中的作用，进而弱化在群组评价过程中可能存在徇私舞弊行为或者可能存在的误判，使群组评价更合理。因此，如何衡量评价水平值的均衡程度至关重要，本文这里用离散度李德清,郝飞龙.状态变权向量的变权效果.系统工程理论与实践J.2009,29(6):127-131.来衡量评价水平值的均衡的程度其中某方案（或某被评价对象）的评价水平值。不难理解，当时，可认为此时评价水平值之间保持绝对均衡，故离散度反映了评价水平值和绝对均衡的偏差程度.故离散度的值越大，说明某方案评价水平值之间的均衡程度越低；离散度的值越小，则评价水平值之间均衡程度越高。本文提到的变权算子的主要功能是根据专家评价水平值的变化调节各专家的权重，从而使专家的权重能更好地反映相应专家在评价中的作用。不同的变权算子调节权重的能力不一样，而同一变权算子在不同的评价水平值对权重的调节能力也不一样。下面引入调节度的概念，使变权算子调节权重的能力有一个衡量标准。假设为某被评价对象的评价水平值，为因素的常权算子，为变权算子，有称为评价水平值下对常权算子的调节度。易知。调节度反映了变权算子调节权重的能力，调节度越大，各专家之间的权重转移越多。在实际应用过程中，如果希望权重的调节小，则选择调节度小的变权算子；否则，则选择调节度大的变权算子。对于惩罚型变权算子，还可以从另外一个角度进行分析。设为因素常权算子，讨论在且时，因素的变权及其对评价的影响。记此时的变权算子为，易知为因素的最大变权值。该值在某种程度上反映了因素对方案否决权的大小，也反映了评价问题对均衡性要求的高低，的值越大，说明有明显缺陷的因素对评价的影响越大，也说明该评价问题对均衡性的要求越高。因此，如果对均衡性要求高，则的值就应该取较大；反之，如果对均衡性要求低，则的值可以取小一些，为综合利用分析变权调节能力，令称为变权算子的调节水平。因为，所以二、 变权调节效果分析群组主要研究目的是如何协调各专家不同意见和看法以形成群体总的看法和意见。在实际群组评价过程中，由于群组中的每一位专家对复杂问题的重要性的感知不同，以及群组评价中每一位成员对复杂问题有各种不同的观点和看法，同时又受到群组中每一个成员的个人偏好、知识结构、评判水平以及信息的多样性、模糊性、不确定性等众多因素的影响，所以专家群组几乎不可能对所有问题达成共识，以至于有时群组评价的结果与客观事实偏离太远，不具有说服力。故笔者这里通过对群组评价共识度的设计，来比较变权前后群组共识度大小变化，如果变化后专家群组评价共识度较变权前群组评价共识度高，则说明变权调节效果较优，变权后的群组评价结果更合理；反之，则认为变权优化效果较差，变权后群组评价结果不具有说服力。（一）Friedman法李金昌,苏为华.统计学M.机械工程出版社.2009:334-336.对于群组各专家给出的评价结论，通过群组评价的共识度大小来衡量评价的合理性问题，可以转化为检验群组中每一位参评专家之间对于相同的被评价对象评价结论是否存在显著差异：若假设检验结果认为显著差异时，则认为群组各专家之间评价意见分歧较大；若假设检验判断不同专家评价意见之间无显著差异，则可认为群组各专家对于被评价对象的评价结果达成共识，进而认为群组评价结果具有说服力。笔者认为，上述问题可以通过采用非参数统计方法去解决，也就是检验个相关样本之间差异性。因此，Friedman法（弗里德曼秩和分析法）是一种比较合适的选择。设由位专家组成的专家群组对个方案（被评价对象）进行评价，并给出评价结果集，形成以下评价矩阵：对于评价矩阵，分别针对每一个方案对位评价专家给出的评价结果根据具体情况升序或降序评秩，得到如下弗里德曼检验调查表。表11 弗里德曼检验调查表专家1专家2专家k方案1方案2方案n合计其中：表示位评价专家中第位专家对于第个方案给出的评价秩次，越大代表第专家给出的评价值越高，当两位专家对于同一评价单元的评价值相同时，用平均值作为秩次。令表示第位专家对个方案评价值排序的“秩次和”，则Friedman统计量为：其中，可以证明。在此基础上，进一步对群组专家意见是否达成共识进行假设检验，其待检假设为：位专家对个方案的评价无显著差异，即达成共识；：位专家对个评价单元的评价存在显著性差异，即未达成共识因此，在给定的显著性水平下，、若，则拒绝原假设，则认为位评价专家对个方案的评价具有显著性差异，群组专家的评价结论无法达成共识，则对群组内位专家的评价结果集结所得到评价结果是不合理、不具有说服力的。、若，则不能拒绝原假设，则可认为群组专家的结论达成共识，最终的评价结论可由位专家的评价结果集成得到。从上述可以看到，采用Friedman法进行群组共识情况的检验，我们只能得出群组专家评价结果是否达成共识的判断，而无法提供更多的有关共识度水平大小的信息，因而用该方法衡量群组评价的共识度情况具有局限性。（二）向量夹角余弦法向量之间的夹角大小反映了向量之间的接近程度。通常采用向量夹角余弦来进行计算，判断向量间近似程度。两向量，间的夹角的余弦为，若越大，则与越相近。笔者这里，用向量夹角余弦这一概念测算群组评价各专家之间的共识度。同样的，设由位专家组成的群组对个方案进行评价，并给出评价结果，形成如式（2-1）的评价值矩阵。则可以将群组内每一个专家对个方案的评价结果作为一评价值向量，则第位专家的评价值向量可以表示为，。则我们对群组专家的评价值向量进行分析，测算得到群组评价结论的共识度。根据向量夹角余弦的计算公式，对于群组中任意两位评价专家，专家与专家的评价值向量与，可计算得到两个向量之间的向量夹角余弦为其中：为评价值向量的模，有：由向量夹角余弦的性质可知：越大，则专家与专家的评价值向量与越接近，专家与专家的评价意见相似度越高；特别地，当时，认为专家与专家的评价意见达到完全一致。因此，在群组评价过程中，若专家相对于其他专家的相似度为，则为评价共识度。显然，设定共识度阈值为当时，则认为各专家之间为达成共识，群内专家对于被评价对象的评价结论意见较为分散，需要专家对评价意见进行调整；当时，则认为群组关于评价结