大学数学一元微积分求导法则

高等院校非数学类本科数学课程 一元微积分学一元微积分学 大大 学学 数数 学学（一一） 第十六讲第十六讲 求导法则求导法则 主讲:岑利群 第二节 求导法则 一.基本初等函数的导数 二、导数的四则运算法则 三.反函数的导数 四.复合函数的导数 五、隐函数的求导法则 六.参数方程求导法则 七.取对数求导法 推导一些基 本公式啊 ！ 一.基本初等函数的导数 1. y = C x R ( C为常数 ) 通常说成：常数的导数为零. 2. 幂函数 等价无穷小替代 自变量对其本身的导数为 1 例1 3. 指数函数 例2 4. 对数函数 等价无穷小替代 求y . 等价无穷小替代 故 解 例3 例4 或重要极限 5. 三角函数 (1) 和差化积 等价无穷小 (2) 其它三角函数的导数 这些公式一般运用后面所讲的方法进行推导. （仿照正弦函数的推导方法） 若函数 u(x) , v(x) 均可导, 则 二、导数的四则运算法则 推广至有限个可导函数的情形: 在证明这些公式时, 用到下列表达式： 1. 证明 解 例5 解由和的求导公式 通常说, 多项式的导数仍是多项式, 其次 数降低一次, 系数相应改变. 例6 2. 证明 证 因为可导必连续, 所以 设 u C ( C为常数 ) , v = v(x) 可导, 则 通常说成: 常数因子可以提到导数符号外面 例7 设 直线上任意一点处的切线就是它本身. 线性函数的导数为一个常数. 例8 解 例9 已知 解 例10 3. 证明 故 用乘法公式证明除法公式 解 例11 设函数 v(x) 可导, 且 v(x) 0, 证明 令 u(x) =1,证由商的导数公式, 得 例12 解 例13 解 例14 点 (x, y) 处的切线相同. y T A(x,y) x xO y 若 y = (x) 的反函数 x = f (y) 存在, 则 x = f (y) 与 y = (x) 的图形相同, 故 x = f (y) 与 y = (x) 在 是 y = (x) 的图形与x 轴 正向的夹角. 是 x = f (y) 的图形与x 轴 正向的夹角. 三.反函数的导数 反函数的导数是其直接函数导数的倒数. 定理 设单调函数 x = (y) 在区间 I 内可导, (x) 0 , 某区间 J 内单调、可导, 且 该定理说明：一个函数单调、连续、可导, 则它的反函数存在, 且单调、连续、可导. 则它的反函数 y = f (x) 在相应的 ( 该定理的证明较简单, 由学生自己阅读.) 这里仍指严格单调 它是 x = sin y 且导数不为0, 上单调、连续、可导,又 故 解 sin 在 yx= 你觉得做完了吗？ 例15 而 于是 它是 x = cos y , 解 例16 故 又 故 解 例17 类似可得 注意： 例：作业17页第一题的一小题 且 或 定理 设 u = (x) 在点 x 处可导, y = f (u) 在对应 点 u ( u = (x) ) 处也可导, 复合函数 y = f ( (x) 在 U(x) 内有定义, 则 y = f ( (x) 在点 x 处可导, 四.复合函数的导数 y = f (u) 在相应点 u 处可导, ( 当 u 0, 0 ) 以 x 除上式, 得 证给 x 以增量 x, 相应地 u = (x) 有增量 u, 对于u, y = f (u) 有增量 y. 对上式两边取 x 0 的极限, 由 u = (x) 在点 x 处可导, 得 即 或 例如, 则在各函数可导且 f (h(x) 在 U(x) 有定义时, 或 该定理可推广到任意有限次复合的情形. 有 解 一般按 “由外向里层层求导” 法求导 例18 注意： 复合函数求导是我们学习求导的难点和关键，一般我们 在学习的过程中，按照三种程度来学习，如果使用熟练 以后，再真正做到一步到位。 第一程度： 要求（1）会看得出复合函数是怎样复合成的 （2） 例： 解一： 第二种程度： 1）理解 2） 由外至里一步一步求导。 解二： 第三程度： 主要是在第二程度的熟练下我们可以省掉 其中的若干步骤，直接写出结果 解三： 解 例19 证 综上所述, 例20 解 例21 解 例22 解 例23 解 例24 按复合函数求导法则解 注意利用函数 的性质 例25 解 例26 并不难 设 y = f (x) 可导, 则 例27 证明：在(a, a)内可导的奇函数的导数是偶函数； 偶函数的导数是奇函数。 设 f (x) 为( a, a) 内的偶函数, 则 f (x) = f (x). 即偶函数的导数是奇函数. 同理可证, 奇函数的导数是偶函数. 证 例28 F ( x, f (x) ) 0 对上式两边关于 x 求导： 然后, 从这个式子中解出 y , 就得到隐函数的导数. 方法： 则将 y = f (x) 代入方程中, 得到 如果由方程 F(x, y) = 0 确定隐函数 y = f (x) 可导, 五、隐函数的求导法则 注意：1）把 看成是 的函数 ，而对方程两边关于 求导,记住如果是先对 2）实际上还是对复合函数求导的应用 求导一定还要 对求导 例： 设由方程 确定函数 求 求由方程 ( x 0 ) 所确定的隐函数的导数 y, 并求 方程两边关于 x 求导： 故 由原方程可得： F(0, y) = 0y e0 + ey = 0 从而 解 例29 故 求椭圆 对方程两边关于 x 求导得： 故所求切线的方程为： 解 整理后, 切线方程为： 例30 选择一个适当的参数 t 后, 的形式, 此式称为函数 y = f (x) 的参数方程. y = f (x) 可表示为 1. 参数方程的概念 六.参数方程求导法则 参数方程求导法则： 设 利用反函数 求导法则可 证明该法则 由微分形式 不变性更是 一目了然 思想：因为不是所有的和 都能表示成显式的关系， 当对求导时，我们不能直接求导，只能 对 先求导，然后 对 求导。 1） 2）对 求导可以利用反函数的导数转换为 对导数的倒数 椭圆上任意一点x处的切线的斜率为 故 从而, 所求切线方程为： y = b . 解 例30 又 星形线是一种圆内摆线 例32 解 然后, 对方程两边关于 x 求导： 方法: 在条件允许的情况下, 对 y = f (x) 两边 同时取对数： 注意：y 是 x 的函数. 或 七.取对数求导法 取对数求导法常用来求一些 复杂的乘除式、根式、幂指函数 等的导数. 运用取对数求导法 两边关于 x 求导： 故