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第六节 高阶导数 一、问题的提出 二、主要定理 三、典型例题 四、小结与思考 2 一、问题的提出 问题: (1) 解析函数是否有高阶导数? (2) 若有高阶导数, 其定义和求法是否与实变函 数相同? 回答: (1) 解析函数有各高阶导数. (2) 高阶导数的值可以用函数在边界上的值通 过积分来表示, 这与实变函数完全不同. 解析函数高阶导数的定义是什么? 3 二、主要定理 定理 4 由此定理我们知道了一个解析函数的导数仍然 是解析函数，且 5 6 高阶导数公式的作用: 不在于通过积分来求导, 而在于通过求导 来求积分. 7 三、典型例题 例1 解 8 9 根据复合闭路定理 10 11 例2 解 12 13 例3 解 由柯西古萨基本定理得 由柯西积分公式得 14 15 课堂练习 答案 16 例4 解 17 根据复合闭路定理和高阶导数公式, 18 19 例5 (Morera定理) 证 依题意可知 20 参照本章第四节定理二, 可证明 因为解析函数的导数仍为解析函数, 21 Morera定理和柯西-古萨定理合在一起就是 ： 22 四、小结与思考 高阶导数公式是复积分的重要公式. 它表明 了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重 要的结论, 同时表明了解析函数与实变函数的本 质区别. 高阶导数公式 23 思考题 解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导 数与实函数的导数有何不同? 24 思考题答
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