2014届高考理科数学一轮复习同步课件六 第5课《数列的综合应用》（北师大版）

第5讲 数列的综合应用 【2014年高考会这样这样 考】 结结合函数、不等式、方程、几何等知识识，综综合考查查数 列和式的相关性质质，如和式的最值值、单调单调 性、不等关系式 的证证明等 考点梳理 解决等差数列与等比数列的综综合问题问题 ，关键键是理清两个 数列的关系如果同一数列中部分项项成等差数列，部分项项 成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项项抽出来，研 究这这些项项与序号之间间的关系；如果两个数列通过过运算综综 合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清 两个数列各自的特征，再进进行求解 1等差、等比数列的综综合 (1)现实现实 生活中涉及银银行利率、存款利息、企业业股金、产产 品利润润、人口增长长、产值产产值产 量等问题问题 ，常常考虑虑用数列 的知识识去解决 (2)利息本金利率存期，如果涉及复利问题问题 ，常用等 比数列模型解决涉及分期付款问题时问题时 ，由于一般采用 复利计计算利息的办办法，所以也要借助等比数列模型解决 (3)一般地，涉及递递增率要用等比数列，涉及依次增加或者 减少要用等差数列有的问题问题 是通过转过转 化得到等差数列 或等比数列的，在解决问题时问题时 要往这这些方面去联联系 (4)在实际问题实际问题 中建立数列模型时时，一般有两种途径：一 是从特例入手，归纳归纳 猜想，推广到一般结论结论 ；二是从一 般入手，找到递递推关系，再进进行求解 2等差、等比数列的实际应实际应 用 (1)数列是自变变量为为正整数的一类类函数，数列的通项项公式 相当于函数的解析式，我们们可以用函数的观观点来研究数列 例如要研究数列的单调单调 性、周期性，可以通过过研究其 通项项公式所对应对应 函数的单调单调 性、周期性来实现实现 ，但要注 意数列与函数的不同，数列只能看作是自变变量为为正整数的 一类类函数，在解决问题时问题时 要注意这这一特殊性 3等差、等比数列与其他知识识的综综合 两点提醒 (1)对等差、等比数列的概念、性质要有深刻的理解，有些 数列题目条件已指明是等差(或等比)数列，但有的数列并 没有指明，可以通过分析，转化为等差数列或等比数列， 然后应用等差、等比数列的相关知识解决问题 (2)等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它 们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、 三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际 生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步 增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注 【助学微博】 A4 B6 C8 D10 解析 由题题意知：aa1a4，则则(a22)2(a22)(a24)， 解得：a26. 答案 B 考点自测测 1.（2013咸阳模拟拟）已知等差数列an的公差为为2，若a1，a3 ，a4成等比数列，则则a2的值为值为 ( ) 答案 D 2若互不相等的实实数a，b，c成等差数列，c，a，b成等比 数列，且a3bc10，则则a ( ) A4 B2 C2 D4 A25 B50 C75 D100 解析 由数列通项项可知，当1n25，nN*时时，an0，当 26n50，nN*时时，an0，因为为a1a260，a2a270 ，所以S1，S2，S50都是正数；当51n100， nN*时时，同理S51，S52，S100也都是正数，所以正数 的个数是100. 答案 D 4(2011江苏苏)设设1a1a2a7，其中a1，a3，a5，a7成 公比为为q的等比数列，a2，a4，a6成公差为为1的等差数列 ，则则q的最小值值是_ 解析 设设年初的产产量为为a，则则一月底为为a(1p)，二月底为为 a(1p)2，12月底为为a(1p)12.设设年增长长率为为x，则则一年 底为为a(1x)，所以a(1x)a(1p)12，解得：x(1p)12 1. 答案 (1p)121 5(教材改编题编题 )如果某种产产品的产产量月增长长率为为p，则则年 增长长率为为_ 【例1】已知等差数列an的首项项a12，公差d0，且第 1项项，第3项项，第11项项分别别是等比数列bn的前3项项 (1)求数列an与bn的通项项公式； 考向一 等差、等比数列的综综合应应用 审题视审题视 点 (1)由题设列出关于a1与d的方程，求d，再求q ；(2)写出n2时，数列cn满足的等式，两式相减可求cn. 对于等差、等比数列的综合问题，应重点分 析等差、等比数列的通项、前n项和，以及等差、等比数 列项之间的关系，往往用到转化与化归的思想方法 【训练训练 1】 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这这三 个数分别别加上2,5,13后成为为等比数列bn中的b3，b4，b5. (1)求数列bn的通项项公式； (1)求数列an的通项项公式； (2)判断数列an的单调单调 性 审题视审题视 点 (1)将an看成一个未知数，解方程即可求出an； (2)通过比较an和an1的大小来判断数列an的单调性 考向二 数列与函数的综综合利用 【例2】已知函数f(x)log2xlogx2(0bn对对任意nN*恒成 立，求实实数a的取值值范围围 审题视审题视 点 (1)利用an与Sn之间关系求an； (2)利用函数的单调性或分离参数求解 考向三 数列与不等式的综综合应应用 (1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与 数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解 (2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关， 有时利用放缩法证明 【训练训练 3】 (2013新余质质量检测检测 )已知等比数列an满满足 2a1a33a2，且a32是a2，a4的等差中项项 (1)求数列an的通项项公式； 【命题题研究】 通过过近三年的高考试题试题 分析，数列试题试题 在 高考中的位置逐步前移，考查难查难 度也逐步降低，因此 对对数列应应用题题的考查查也有所降低，数列应应用题题多以现现 实实生活中的“增长长率”、“贷贷款”等问题为问题为 背景命题题，考 查查数列的通项项、前n项项和等知识识 规规范解答11破解数列的实际应实际应 用问题问题 【真题题探究】 (本小题满分13分)(2012湖南)某公司一下 属企业业从事某种高科技产产品的生产产该该企业业第一年年 初有资资金2 000万元，将其投入生产产，到当年年底资资金 增长长了50%.预计预计 以后每年资资金年增长长率与第一年的相 同公司要求企业业从第一年开始，每年年底上缴资缴资 金d 万元，并将剩余资资金全部投入下一年生产产设设第n年 年底企业业上缴资缴资 金后的剩余资资金为为an万元 (1)用d表示a1，a2，并写出an1与an的关系式； (2)若公司希望经过经过 m(m3)年使企业业的剩余资资金为为4 000万元，试试确定企业业每年上缴资缴资 金d的值值(用m表示) 教你审题审题 第1步 建立数学模型，求出a1，a2的值； 第2步 总结规律，写出an1与an的关系式； 第3步 求an与d的函数关系式； 第4步 代入已知an4 000，求d. 规规范解答 (1)由题题意， 阅阅卷老师师手记记 本题题考查查利用数列知识识解决实际应实际应 用题题 ，考查查数学建模的能力和运算能力，难难度偏大考生在本 题题出现现的错误错误 主要有：(1)对题对题 理解不透，an1与an的关 系式求错错；(2)第(2)问计问计 算出错错 求解数列实际应用问题的一般步骤如下： 第一步：建模，首先要认真审题，理解实际背景，理清数 学关系，把应用问题抽象为数学中的数列问题； 第二步：解模，利用所学的数列知识，解决数列模型中的 相关问题； 第三步：释模，把已解决的数列模型中的问题返回实际中 去，与实际问题相对应，确定问题的结果 【试试一试试】 某家庭计计划年初向银银行贷贷款10万元用于买买房， 他们选择们选择 10年期贷贷款，偿还贷偿还贷 款的方式为为：分10次等额额 归还归还 ，每年一次，并从借后次年年初开始归还归还 ，若10年 期贷贷款的年利率为为4%，且每年利息均按复利计计算(即本年 的利息计计入次年