复变函数与积分变换_7_第1页
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第五节 柯西积分公式 一、问题的提出 二、柯西积分公式 三、典型例题 四、小结与思考 1 一、问题的提出 根据闭路变形原理知, 该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 求这个值. 2 3 二、柯西积分公式 定理 证 4 5 上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就 可以任意小,根据闭路变形原理知,左端积分的值 与 R 无关。 6 所以只需证 证毕 柯西积分公式 即可 两边关于 取极限，则得证 7 关于柯西积分公式的说明: (1)把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式.(这是研究解析函数的有力工具) 8 例 应该识别出 9 (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上 的平均值. 证 ： 10 （4）与CG定理一样，柯西积分公式的条件也 可放宽为： 若 在简单闭曲线C所围成的区域及C 上解析，结论一样.而且对于复合闭路也成立,即 若 的内部为复连通域， 为全 部内边界曲线， 在 所围 区域和C 上解析时，有 11 三、典型例题 例1 解 12 由柯西积分公式 13 例2 解 由柯西积分公式 14 例3 解 由柯西积分公式 15 例 解根据柯西积分公式知, 16 例5 解 17 例5 解 18 由闭路复合定理, 得 例5 解 19 课堂练习 答案 20 四、小结与思考 柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在 边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函 数的重要工具. 柯西积分公式: 21 思考题 柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推 广到无界区域中? 22
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