全程复习方略（广西）2015版高中数学_小专题复习课 热点总结与强化训练（四）配套课件 理 新人教a版

热点总结与强化训练(四) 热点1 圆锥曲线的几何性质 1.本热点在高考中的地位 圆锥曲线的几何性质是在每年的高考中必考的一个知识点 ，这一类问题的考查大多数出现在选择、填空题中，属于中低 档题.有时也会出现在解答题中，如第一问、第二问等，分值 大约为48分. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 从命题方向、角度来看，可以直接考查圆锥曲线方程的范 围、对称性、离心率等知识，也可以利用已知圆锥曲线的几何 性质，求圆锥曲线的方程；同时也考查学生分析问题、解决问 题的能力及基本运算能力. 1.点P(x0,y0)和椭圆 的关系 (1)P(x0,y0)在椭圆内 (2)P(x0,y0)在椭圆上 (3)P(x0,y0)在椭圆外 2.焦半径公式 (1) (F1,F2为椭圆的两焦点，M(x0,y0)为椭圆 上任意一点)，|MF1|=a+ex0，|MF2|=a-ex0. (2) (F1,F2为椭圆的两焦点，M(x0,y0)为椭圆 上任意一点)，|MF1|=a+ey0,|MF2|=a-ey0. 3.性质中的不等关系 对于椭圆标准方程中x，y的范围，离心率的范围等，在求与椭 圆有关的一些量的范围，或者求这些量的最大值、最小值时， 经常用到这些不等关系. 4.求椭圆的离心率问题的一般思路 求椭圆的离心率时，一般是依据题设得出一个关于a,b,c的等 式(或不等式)，利用a2=b2+c2消去b，即可求得离心率(或离心 率的范围). 平时的备考中，一定要注重圆锥曲线几何性质的复习，不 仅要掌握圆锥曲线的几何性质，也要掌握圆锥曲线几何性质的 由来过程，掌握用代数的方法研究曲线的几何性质，掌握圆锥 曲线各个性质之间的联系，在解题的过程中体会已知条件与所 求结论的联系，逐步培养分析问题、解决问题的能力. (1)(2011上海高考)设m是常数，若点F(0，5)是双曲线 的一个焦点，则m=_. (2)(2011江西高考)若椭圆 的焦点在x轴上，过点 (1, )作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过 椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程是_. 【解题指南】(1)通过方程确定a、b,c及利用其几何关系确定 m的值； (2)可用点斜式求出直线AB的方程，再由直线AB过椭圆的右焦 点和上顶点，即可求出椭圆中a、b的值，进而求得椭圆的方程 . 【规范解答】(1)由已知条件a2=m,b2=9，则 c2=a2+b2=m+9=52=25，解得m=16. (2)因为一条切线为x=1，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶 点，所以椭圆的右焦点为(1,0)，即c=1，设点P(1， ),连结 OP，则OPAB，因为kOP= ，所以kAB=-2，又因为直线AB过点 (1，0)，所以直线AB的方程为2x+y-2=0，因为点(0，b)在直线 AB上，所以b=2，又因为c=1，所以a2=5，因此椭圆的方程为 答案：(1)16 (2) 1.已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为 12，离心率为 ，则椭圆方程为( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.设椭圆的标准方程为： 由已知得2a=12,a=6,又 c=2,b2=a2-c2=32，椭圆方程为 2.(2012贺州模拟)若抛物线y2=2px的焦点与椭圆 的右焦点重合，则p的值为( ) (A)-2 (B)2 (C)-4 (D)4 【解析】选D.椭圆 的右焦点为(2，0)， 抛物线y2=2px的焦点也为(2，0)，即 p=4. 3.(2012来宾模拟)对于抛物线y2=4x上任一点Q，点P(a,0)都 满足|PQ|a|,则a的取值范围是_. 【解析】设Q(x1,y1)，则|PQ|2=(x1-a)2+ =(x1-a)2+4x1 = +(4-2a)x1+a2 又y= +(4-2a)x1+a2(x10)为二次函数, 其对称轴方程为x1=a-2, 又ya2, a-20,即a2. 答案：a2 4.(2011上海高考)已知椭圆 (常数m1)，P是曲 线C上的动点，M是曲线C上的右顶点，定点A的坐标为(2,0), (1)若M与A重合，求曲线C的焦点坐标； (2)若m=3，求|PA|的最大值与最小值； (3)若|PA|的最小值为|MA|，求实数m的取值范围. 【解析】(1)将(2，0)代入椭圆的方程得：m2=4，故方程为 故焦点坐标为( ,0). (2)m=3时，显然A在焦点( ,0)与原点之间，设点 P(3cos,sin)，则|PA|2=(3cos-2)2+sin2=9cos2- 12cos+4+1-cos2=8cos2-12cos+5，令t=cos(t -1,1)，则|PA|2=8t2-12t+5，对称轴为 则当 时， 取最小值为|PA|min= 当t=-1时，取最大值为|PA|max=5. (3)设P(mcos,sin)，则|PA|2=(mcos-2)2+sin2 =m2cos2-4mcos+4+1-cos2=(m2-1)cos2-4mcos+5, |MA|=|m-2|,令t=cos(t-1,1)则： |PA|2=(m2-1)t2-4mt+5， |MA|2=|m-2|2=m2-4m+4, 因为|MA|为|PA|的最小值，可以解得m(1,1+ . 热点2 直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用 1.本热点在高考中的地位 直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，在每年高考试题 中都会出现，有时在选择、填空题中出现，有时在解答题中出 现，属中高档题目,分值大约为1014分. 2.本热点在高考中的命题方向及命题角度 考查重点一般在以下几个方面：考查直线与圆锥曲线的位 置关系，求面积、最值、定值等，或是探究性问题，在能力方 面，主要考查学生分析问题、解决问题的能力，考查基本运算 能力、逻辑推理能力. 1.直线与椭圆位置关系的判定 将直线的方程和椭圆的方程联立，消元后得到关于x(或y)的一 元二次方程，利用判别式的符号确定： (1)0相交 (2)=0相切 (3)0相离 2.直线被椭圆截得的弦长公式 设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),则 或 (k为直线斜率k0). 3.直线与椭圆相交时的常见问题的处理方法 (1)涉及弦长问题，常用“根与系数的关系”，采用设而不求 ，利用弦长公式计算弦长. (2)涉及求过定点的弦中点的轨迹和求被定点平分的弦所在的 直线方程问题，常用“点差法”设而不求，将动点的坐标、弦 中点坐标和弦所在直线的斜率联系起来，相互转化. (3)特别注意利用公式求弦长时，是在方程有解的情况下进行 的，不要忽略判别式；判别式大于零是检验所求参数的值是否 有意义的依据. 建议在备考过程中，解答直线与圆锥曲线综合问题时，首 先要理解题意，寻找已知与所求之间的联系，进而确定正确的 解题方法；在具体的运算过程中，只有真正的弄懂各种运算律 ，才能够准确、熟练进行运算，特别是一元二次方程的根与系 数的关系；熟悉所研究问题的思路方法，注意强化数形结合思 想的应用意识. (2011辽宁高考)如图，已知椭圆 C1的中心在原点O，长轴左、右端点 M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN， 且C1，C2的离心率都为e，直线lMN， l与C1交于两点，与C2交于两点，这四 点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D. (1)设e= 求|BC|与|AD|的比值； (2)当e变化时，是否存在直线l，使得BOAN，并说明理由. 【解题指南】(1)先利用离心率相同设出C1,C2的方程和直线l的 方程x=t(|t|a)，再求出A,B的坐标，然后利用A、B的纵坐标 来寻求|BC|与|AD|的比值；(2)先考虑直线过原点的情况，再 考虑直线不过原点的情况，此时利用斜率相等(即kBOkAN)建立 等式关系，再考虑|t|a的因素，可得到关于e的不等式，求 解说明即可. 【规范解答】(1)因为C1,C2的离心率相同，故依题意可设 设直线l：x=t(|t|a)，分别与C1，C2的方程联立，求得A(t, ),B(t, ) 当 时， 分别用yA,yB表示A，B的纵坐标，可知 (2)t=0时,l不符合题意.t0时，BOAN当且仅当BO的斜率kBO 与AN的斜率kAN相等，即 解得 因为|t|a，又0e1，所以 解得 所以当 时，不存在直线l，使得BOAN；当 时，存在直线l，使得BOAN. 1.(2011大纲版全国卷)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F，直线 y=2x-4与C交于A,B两点，则cosAFB= ( ) (A) (B) (C) (D) 【解析】选D.由题知F(1,0)，联立 消y得x2-5x+4=0, 解得x=1或x=4. 不妨设A在x轴上方，于是A,B的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求 |AB|= |AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理得 2.抛物线x2=ay(a0)的准线l与y轴交于点P，若l绕点P以每秒 弧度的角速度按逆时针方向旋转t秒钟后，恰与抛物线第一 次相切，则t等于( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】选C.本题考查抛物线的几何性质及直线与抛物线的关 系.由题意可得，抛物线准线为 准线按逆时针方向绕P点 旋转t秒后，所得直线的倾斜角为 于是直线方程 为 代入抛物线方程得 (舍去负值)，t=3，故选C. 3.(2011北京高考)已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2 的图象上，则使得ABC的面积为2的点C的个数为( ) (A)4 (B)3 (C)2 (D)1 【解析】选A.设C(x,y)，AB：x+y-2=0，|AB|= 点C到直线 AB的距离为 又因为点C在y=x2上，所以 令 解得x=0，-1, , 所以满足条件的点有4个. 4.(2011重庆高考)设圆C位于抛物线y2=2x与直线x=3所围成 的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为_ _. 【解析】当圆的半径最大时，需圆与抛物线及直线x=3同时相 切,设圆心坐标为(a,0)，则半径为3-a,其中0a3, 圆的方程为(x-a)2+y2=(3-a)2,联立 消去y得，(x-a)2+2x=(3-a)2,整理得x2+(2-2a)x+6a-9=0. 因为圆与抛物线相切，所以=(2-2a)2-4(6a-9)=0,解之得 又因为0a3，所以 半径为 答案： 5.(2011湖南高考)如图所示， 椭圆 的离心率为 x轴被曲线 C2：y=x2-b截得的线段长等于C1 的长半轴长. (1)求C1,C2的方程； (2)设C2与y轴的交点为M，过坐标原点O的直线l与C2相交于点 A，B，直线MA，MB分别与C1相交于点D，E. 证明：MDME； 记MAB,MDE的面积分别为S1,S2.问：是否存在直线l，使 得 请说明理由. 【解析】(1)由题意知 从而a=2b，又 解得 a=2,b=1. 故C1，C2的方程分别为 (2)由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为 y=kx.由 得x2-kx-1=0， 设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1,x2是上述方程的两个实根，于是 x1+x2=k,x1x2=-1