《数的运算课件》小学数学冀教版六年级下册

数的运算 二、数的运算内容的基本结构 w1.整数运算。 w对于整数的运算标准（2011 年版）在两个学段分别提出具体的内容 要求。 w第一学段： w（1）结合具体情境，体会整数四则运算的意义（参见例5）。 w加法意义：把两个数合成一个数的运算。 w减法意义：已知和与其中一个加数，求另一个加数。 w乘法意义：求相同几个加数和的简便计算。 w除法意义：已知积和其中一个因数，求另一个因数。 w（2）能熟练地口算20 以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以 内的加减法和一位数乘除两位数。 w（3）能计算两位数和三位数的加减法，一位数乘两位数和三位数、两 位数乘两位数的乘法，两位数和三位数除以一位数的除法。 w（4）认识小括号，能进行简单的整数四则混合运算（两步）。 w第二学段： w（1）能计算三位数乘两位数的乘法，三位数除以两位数的除法。 w（2）认识中括号，能进行简单的整数四则混合运算（以两步为主， 不超过三步）。 w（3）探索并了解运算律（加法的交换律和结合律、乘法的交换律和 结合律、乘法对加法的分配律），会应用运算律进行一些简便运算。 w（4）在具体运算和解决简单实际问题的过程中，体会加与减、乘与 除的互逆关系。 w数的运算主要集中在整数的运算。整数运算是所有计算的基础。 w人们从自然数的加减乘除的四则运算进入了数学天地，然后便是领略 一系列的运算律，数学课程中，最早出现的运算律是加法交换律： a+b=b+a这是描写加法运算的不变结果，无论a,b怎样变化，这个等式 永远不变。(a+b)+c=a+(b+c)，ab=ba ,(ab) c=a(bc) ，(a+b) c=ac+bc，这些运算律都是表明在千变万化的运算过程中出现的 不变性质。利用这些不变性质，可以提高运算效率。特别是分配律的 出现，使得四则运算“从石器时代进入铁器时代。”小学里学习的“凑十 法”、“破十法”等，都是基于分配律而来。 w学习整数的运算首先要使学生理解算理，把握四则运算的本质。如， 加一个正数比原数大，学习加法时，要使学生理解这个算理。减法是 加法的逆运算，减去一个正数就比原来的数小。乘法是加法的简便运 算，是求相同加数的和，这是乘法的本质特征。除法是乘法的逆运算 。 w教学中应强调让学生理解四则运算，了解它们之间的关系。 w对于运算的难度和熟练程度，标准（2011 年版）针对不同的内 容提出了明确的要求。限制运算的步骤是为了控制繁杂的问题，往往 四则运算的多步计算会出很繁杂的问题，对于每一步骤的计算学生可 能都会做，但在若干步骤计算中，如果有一个地方出错，就会导致整 个结果出错。 w在有了计算器之后，人们在现实生活中遇到繁杂的问题时，可以选择 用计算工具，而没有必要把大量的时间用于复杂的运算。而对于这种 运算，稍不留意就会在某一个环节出错，也会导致学生失去学习数学 的信心。应当淡化对运算的熟练程度的要求，选择正确的计算方法， 准确地得到运算结果，比运算的熟练程度更重要。应当重视学生是否 理解了运算的道理，是否能准确地得出运算的结果，而不是单纯地看 运算的速度。 2.分数、小数和百分数运算。 标准（2011 年版）在第一、二学段规定的分数、小数和百分数运算 包括： 第一学段：会进行同分母分数（分母小于10）的加减运算以及一位小数的 加减运算。 第二学段：能分别进行简单的小数和分数（不含带分数）的加、减、乘、 除运算及混合运算（以两步为主，不超过三步）。 分数和小数的运算比整数运算更复杂，相对来讲，涉及百分数的运算要简 单得多。运算的难易程度与参与运算的数的单位有关，在整数运算中，整 数各数位上的数都是十进制关系，处理好对应数位上的数就可以正确进行 计算。小数虽然也是十进制关系，但有一个小数点的处理，就比整数要复 杂。而分数运算由于分数单位的不确定性，导致运算的复杂程度的提高。 必要的时候要进行通分和约分。对于百分数没有专门提出运算的要求，百 分数的运算只是在解决相关的问题过程中用到，百分数的单位就是 ， 对于运算来讲并不难。 第一学段分数和小数初步认识中的运算比较简单，分数仅限在同分母的加 减法，并且分母不超过10。重点是让学生体会分数加减法的意义，了解分 数加减法与整数加减法的差异，帮助学生理解分数的意义。 第二学段分数和小数的运算相对要求比较高，不仅要学习分数和小数的加 、减、乘、除四则运算，并且要进行必要的混合运算。 w3.估算和计算器。 w标准（2011 年版）分别在第一、二学段提出估算的 要求，以及交流算法的要求，在第二学段提出使用计算器 的要求。 w第一学段： w（1）能结合具体情境，选择适当的单位进行简单估算， 体会估算在生活中的作用（参见例6）。 w（2）经历与他人交流各自算法的过程。 w第二学段： w（1）经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的 想法。 w（2）在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算 （参见例26，例27）。 w（3）能借助计算器进行运算，解决简单的实际问题，探 索简单的规律（参见例28） 三、数的运算中应重点关注的问题 w数的运算的教学应抓住运算的理解与掌握这条重要 的主线。从学生能力培养的角度，数的运算内容的 教学都要注重学生数感的培养和符号意识的初步建 立。 w数的运算主要包括整数、小数、分数的四则运算， 及四则运算的意义、计算方法、运算定律及其应用 。应当让学生理解面对具体的情形，确定是否需要 计算，然后再确定需要什么样的计算方法。口算、 笔算、计算器、计算机和估算都是供学生选择的方 式，都可以起到算出结果的目的。 w1关于算理、算法及运算的难度、熟练程度。 w算理是指进行计算的道理，它是由数学概念、性质、定律 等内容构成的数学基础理论知识。算法是实施四则计算的 基本程序和方法。如四则运算的意义、运算定律、运算性 质（减法的运算性质:a-(b+c)=a-b-c,a-(b-c)=a-b+c，除法 的运算性质（除数不能为0）a(bc)=abc： a(bc)=abc；四则运算分为两级，加减法为第一级， 乘除法为第二级。四则运算的顺序：没有括号的算式里， 同级计算从左往右按顺序计算。含有两级计算，先算二级 计算，再同级计算。有括号的先算小括号，再算中括号， 最后算括号外面。如上这些都是算理和算法。算理为算法 提供了理论指导，算法使算理具体化。学生在学习计算的 过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算 ，计算的多样性才有基础和可能。 w3关于估算。 w学会猜测和估算，因为：第一，估算能力的提高，可以发展个体的信 息获取和处理与利用的能力。获取和利用信息已成为我们解决问题的 必要条件，而面对这么多的各种信息，需要个体能更快地作出判断， 以便确认哪些是可能有用的信息，这就需要一定的估算能力；第二， 在日常工作或生活中，估算能帮助我们较快地作出某种策略或行为的 抉择。在许多情况下，个体可能会面对众多繁杂的信息，而个体的策 略或行为的抉择可能并不需要个体去通过对这些信息的精确计算后才 能作出，估算就有可能加快个体采取行为的决策。现代的学习理论认 为，面对一个运算问题，人们需要学会：迅速判断它是否需要计算 ？同时要能判断出它是否需要作出精确的计算？然后才考虑采用 什么方法进行计算？第三，估算是一种主动学习。面对一个学习问题 ，个体如果能先作出一个基本的预测和大致的估计，就有可能会激发 个体去进一步探究问题解决的方法、途径和策略，使学习变得更为主 动；第四，估算还能帮助运算者对自己的运算结果作出主动的和快捷 的校验，以便进一步修正自己的运算方法；估算还能帮助学生加深对 运算意义的理解。当需要通过估算来检验自己的运算结果时，就需要 对运算的意义有乘法的理解。第五，估算还有助于学生的数学问题解 决策略的形成。 w估算的学习和运用，一是选择恰当的单位进行估计，二是选择合适的 方法具体操作。估算的问题一般是具有现实情境，学生要分析具体的 情境，合理的选择单位并进行估计，在这个过程中建立数感。下面是 标准（2011 年版）附录2 中的例26： w例：李阿姨去商店购物，带了100 元，她买了两袋面，每袋30.4 元， 又买了一块牛肉，用了19.4 元，她还想买一条鱼，大一些的每条25.2 元，小一些的每条15.8 元。请帮助李阿姨估算一下，她带的钱够不够 买小鱼？能不能买大鱼？ w在估算时首先判断选择元做单位估计就可以，没有必要精确到角（ 0.1 元）。 w第一问，够不够买小鱼？可以这样估算：买一袋面不超过31 元，两 袋面不超过62 元；买牛肉不超过20 元；买小鱼不超过16 元；总共不 超过62+20+16=98（元），李阿姨的钱是够用的。 w第二问，能不能买大鱼？可以这样估算：买一袋面至少要30 元，两 袋面至少要60 元；买牛肉至少要19 元；买大鱼至少要25 元；总共至 少要60+19+25=104（元），已经超过100 元了，李阿姨不能买大鱼 。 w从数学上看，第一问要判断100 元是否超过三种物品的价格总和，适 当放大；第二问要判断三种物品的价格总和是否超过100 元，适当缩 小。一般不需要精确计算，只需要估算就可以了。学生在这个过程中 ，选择恰当的方法进行估计，逐步引导学生建立数感。 w估算在解决实际问题中经常用到，估算与精算相互补充，在实际运用时有不 同的功能。对于一些问题可能只需要估算，就没有必要一定要精算。有时在 精算的过程中也用到估算。如乘法运算时先估计结果是几位数，可以简单判 断结果是否正确。两个学段对于估算的要求侧重点不同。第一学段的估算强 调在具体的情境中选择合适的单位，第二学段强调学生在解决问题的过程中 ，选择合适的方法进行估算。这个问题可以是实际问题，也可以是数学本身 的问题。标准（2011 年版）附录2中的两个例子，一个是现实问题，一 个是纯数学问题。例27就是一个纯数学问题。 w例：9.96.9 比70 小吗？ w 比1大吗？ w解这个问题时，可以把9.9 放大为10，因为106.9=69，估算结果比70 小。 w可以把 缩小为 ，估算 比 =1大。 w也可以鼓励学生用自己的方法估计。 w估算在解决实际问题中经常用到，估算与精算相互补充，在实际运用时有不 同的功能。对于一些问题可能只需要估算，就没有必要一定要精算。如购物 时，选择一些物品后，先估计一下大约需要多少钱，自己带的钱是否足够。 标准（2011 年版）附录2 中的例6 就是这样的例子。 w例：学校组织987 名学生去公园游玩。如果公园的门票每 张8 元，带8000 元钱够不够？ w本例的目的是希望学生了解在什么样的情境中需要估算， 能结合具体情境，选择适当的单位是第一学段估算的核心 。比如，在此例中适当的方法是把987人看成1000 人，所 以适当的单位是“1000人”。 w有时在精算的过程中也用到估算。如乘法运算时先估计结 果是几位数，可以简单判断结果是否正确。两个学段对于 估算的要求侧重点不同。第一学段的估算强调在具体的情 境中选择合适的单位，例6 中是选择了“1000 人”作单位。 一般来说，估计教室的长度时，通常以“米”为单位；估计 书本的长度时，通常以“厘米”为单位。也可以用身边熟悉 的物体的长度作单位，如步长、臂长等。进而体会估算在 生活中的作用。第二学段强调学生在解决问题的过程中， 选择合适的方法进行估算。这个问题可以是实际问题，也 可以是数学本身的问题。标准（2011 年版）附录2 中的两个例子，一个是现实问题，一个是纯数学问题。例 27 就是一个纯数学问题。 w（4）算法多样与算法优化 w案例：“两位数减一位数的退位减法”（北师大版数学一下） w首先，教师通过问题情境出示例题“33-7”。然后，经过老师的精心“引导”，出 现了多样化的算法，老师花了将近一课时进行了展示(还分别用动画式课件进 行演示)： w（1）33-1-1-1-1-1-1-1=26 w（2）33-3=30,30-4=26 w（3）33-10=23,23+3=26 w（4）13-7=6,20+6=26 w（5）10-7=3,23=3=26 w（6）33-13=20,20+6=26 w（7）33-6=27,27-1=26 w w最后，老师说：“你们喜欢用什么样的算法就用什么样的算法。” w这是一堂公开课，课后，听课人员与上课老师进行了交流。老师说：“现在计 算教学一定要算法多样化。算法越多越能体现课改精神。”听课者又询问了课 堂上想出第一种算法的学生：“你真是这样算的吗？” 学生说：“我才不愿意用 这种笨方法呢，是老师课前吩咐我这么说的。”连续问了好几个学生，竟没有 一个学生用这种逐个减1的方法。那么后面的几种算法(特别是第六、 七种) 真是学生自己想出来的吗？ 五、实际问题 w1、传统的鸡兔同笼问题 w鸡和兔子相差两条腿，难一点，我们先把问题简化为差一条腿的。 w把4个腿的叫椅子，三个腿的叫凳子。现在椅子和凳子一共16个，加起 来有60条腿，问有几个椅子，几个凳子？ w如果16个都是椅子，没有凳子，则有64条腿，腿多了，怎么办？减椅子 ，加凳子。 w那么15个椅子，1个凳子会怎样？腿有154+31=63，还多。 w假设14个椅子，2个凳子：144+32=62，这么教学生一定可以得到结 论。 w这是一种尝试，在尝试中发现规律，自然界的现象在本质上都是通过个 别现象想出来的，而我们数学都是从道理上讲出来的，这不符合人的思 维规律。思维规律实际上是从个别现象想象出来的东西，真理是一种猜 想，是猜出来的东西，猜出来的东西，然后验证出谬误和正确来，正确 的把它叫做真理。 w鸡和兔子一共15只，有40只腿，问有多少只兔子和多少只鸡？按上述尝 试的方法一定容易得出结果。 w一个真实案例： w老师：现在来玩一个游戏，看一下，兔子和鸡到底有几个。现在想想，兔子有几只脚 ？4只。鸡有几只脚？2只。假设鸡只有1只的话，兔子的情况会是怎样，我们是否可以 一个一个试出来？ w学生：我觉得可以，但是如果这么试的话，我觉得试到晚上都回不了家。 w老师：好，这种方法你觉得复杂的话，我们换一种想法，请你想一想，怎么样能把这 个方法简单一些？ w学生：老师，我有这么一个方法，你看好不好。 w小朋友，假设鸡和兔子都能够听得懂我们的口令的话，然后我们就说，吹一声哨子抬 起一只脚，总共40只脚，动物个数15个，40-15=25.然后再吹一声哨，又抬起15只脚， 25-15=10，这时鸡只有两只脚，肯定会坐地上了，对吗？那只有兔子还剩两只脚，只 能站着，那么10只脚除以2对于5，就是5只兔子，15-5=10，这时鸡的数量。 w为什么要考这个题呢？因为在北京，如果你当数学课外辅导老师，你的专业知识是非 常重要的；另外，因为你是一对一的贴心辅导，你又不能教的那么死。（张勇，智联 招聘人力资源总监（HRD），具有十余年人力资源从业经验，是国内第一批获得澳大 利亚心理学会授权认证的“性格类型”咨询师，擅长从心理学角度为职场人在职 业发展方面提供专业支持，他点评选手时，或辛辣，或循循善诱，或积极鼓励，从而 帮助选手认清自我专业发展道路。 w、运算中渗透数学数学 w案例：一只铅笔元，一只钢笔元，现有人民币6，欲购买10只笔，可购 买铅笔和钢笔各多少？ w算数方法：（1）尝试、调整。这种方法本质上是“逼近”。在数学研究特别是 数学应用中，这是非常基本的数学思想，也是一种主要的方法。 w（2）穷举、列表。学生很容易在老师的诱导下，通过穷举、列表方法做出判 断。“分类”讨论是数学思考的基本思想。穷举、列表等是最基本、最重要的一 种方法。为了把所有的情况表示清楚，我们常用这种方法。 w（3）假设、推理。 w假设有10只铅笔，0只钢笔，则一共需要40元，如何使用余下的6元？ w我们知道，1只钢笔7元=1只铅笔4元+3元，这样，可以用2只铅笔加6元换2只 钢笔。由此可知，46元可买8只铅笔，2只钢笔。 w小结：从数学上讲，前两种方法更重要一些，它们体现了数学基本数学 逼近、分类，也是数学的通性通法，在今后的学习中非常有用，希望老师帮 助学生掌握。 w从学生认识来说，前两种方法也是学生容易接受的方法，它们反反映了比较 自然的解决问题的过程。 w很多老师更喜欢用第三者方法来解决类似问题，但这对于部分学生有一定难 度。 w例子：学生在异分母加法时的典型错误： 非专家教师：虽然发 w现了用错分数加法法则，未能发现学生受“整数加法的负迁移”影响，直接从加 法法则入手，纠错，强调记住法则，学会应用。 w专家教师：也强调分数加法法则，更注重从分析学生错误概念本质入手，深 刻理解特定学习内容只有与学生思维特点结合，才能转化为教师的PCK（教 学法知识、学科知识、课程知识、学生知识的交集）。 w12+24=36（相同整数单位的整数可以直接相加） w0.5+0.8=1.3（相同小数单位的小数可以直接相加） w （相同分数单位的分数可以直接相加） w （不同分母分数相加，先要转化为相同分数单位的分数，才 可以相加） 六、整体把握“数的运算”教学 w1计算方法的探索及算理的理解 w曾经有一些教师有这样的想法，对于计算教学，只 要让学生把法则背诵下来，反复练习就可以达到又 对又快，似乎没有必要花时间去讨论 这些法则背后 的道理（即算理）。 w2.重视算理的教学。 w教学中既要重视法则的教学，还要使学生理解法则 背后的道理。不仅要让学生知道该怎么计算，而且 还应该让学生明白为什么要这样计算，使学生不仅 知其然，而且还知其所以然，在理解算理的基础上 掌握运算法则。 w为了进一步说明重视算理教学的重要性，这里不妨举一个 例子。 在 2009 年对三年级学生的一次测试中设计了如下 两道题目： w题目1：计算 4225。 （目的是考查三年级学生是否掌握 了两位数乘两位数的法则） w题目2：如图1，在 34 12 的竖式中 ，箭头所指的这一步 表示的是（ ）。 A 10个34的和 B12个34的和 C1个34的和 D2个34的和 （本题考查的是三年级学生是否理解两位数乘两位数竖式中 每一步的含义） w设计题目2是源于张丹者与学生的一次谈话。在张丹与一名三年级学 生讨论如何计算两位数乘两位数的题目时，他很快利用竖式给出正确 结果。张丹进一步追问竖式的“第二层”（即题目中箭头所指的这一步 ）是怎么得到的，他快速地回答道：“是老师告诉的，用1乘 34，乘完 向左移一位，我也不知道为什么。”这次简短的谈话引起了张丹的深 思：到底有多少学生真正理解了法则，而不仅仅是机械套用？ w在2009年所作的全国常模抽样测试中随机抽取了1664份样本，学生 在题目1 和题目2上的得分率分别是70.10%和 43.09% ，二者有显著 性差异。 与题目1相比，题目2 的得分率低可能是由于学生对这类题 目不熟悉，但不得不说确实有不少学生并不真正理解法则的意义，特 别是本题错误地选择选项 C 的人数最多更加说明了这一点。 因为在 实际教学中，或者不少教师不重视学生探索如何计算的过程，或者当 学生刚刚探索出方法后，老师立即就引导学生学习竖式，在对竖式还 未真正内化的情况下，教师又开始引导学生学习“简化”的竖式（即箭 头所 指的那一步，要把340末尾的0写成虚的，意思是可以省略不写 ，最后再把0省略掉）。 这样仓促地同时完成几个内容的教学，就可 能造成学生因为没有真正理解竖式每一步的道理而只好记住法则了。 再加上，教师又没有在后面的练习中注意促进学生在记忆基础上再次 理解，学生产生“老师让我们这么做就这么做”的想法就不足为奇了。 所以，在教学中教师应在学生探索算法的基础上，切实引导学生将法 则进行内化，重视运算道理的教学。同时也建议在教材和教学中无须 强调“虚0”，更不必去掉竖式“第二层”末尾的0。 w2.了解学生想法中所蕴涵的道理。 w在教学中要鼓励学生自己探索如何进行运算，并且尝试说 明自己这样算的道理，在这些学生的想法中往往蕴涵着算 理。不妨来看一个课堂教学片段1： w【案例】关于“0.30.2”的讨论。 w课上通过一个问题情境“长0.3米、宽0.2米的长方形花坛的 面积是多少？”，引出了“0.30.2=？”。 w首先，学生进行了猜想。 一部分学生认为是0.6 ，另一部 分学生认为是 0.06，产生了分歧。 w教师给学生充分思考探索运算结果的空间，交流时学生发 言踊跃。 w生 1：（用画图表示0.30.2=0.06， 如图 2） 我是这样想 的，宽是 0.2 米，不到1米，所以结果不会是 0.3（平方米 ）。 我用百格图，这里的 0.3 米表示花坛的长，0.2 米表 示花坛的宽，表示面积的这些方格是6个，是6个0.01 ， 占百格图的百分之六，所以 0.3 乘 0.2 的结果是 0.06。 w生2 ：我还有一种方法。把 0.2 看成 2，把 0.3 看成 3 ，2 乘 3 得 6 。 因为我刚