工程数学习题答案.pdf

工程数学习题一工程数学习题一 1用分离变量法解常微分方程初值问题 = = = = 0 )0( 0),1( yy x K y ry dx dy 解：用常微分方程分离变量法 rdx Kyy dy = = )/1( 由于 yKyyKy K Kyy += = += = 11 )()/1( 1 所以由分离变量法等式两端积分得 0 lncrx yK y += += 两端取指数函数，整理得 )exp(1 )( 0 crx K xy + = + = 2求傅里叶级数展开 = = = = )()0 ,( 0),(, 0), 0( )0, 0(, 2 xlxxu tlutu lxtuau xxt 解：对应的固有值和固有函数分别为 2 )( l n n = =，), 2 , 1(,sinL=nx l n Xn 热传导方程通解为 = = = = 1 2 sin)(exp),( n n x l n ta l n Btxu 将初值条件代入得 )(sin 1 xlxx l n B n n = = = = 利用固有函数正交性得 = = l n xdx l n xlx l B 0 sin)( 2 应用分部积分法得 cos1 )( 4 sin)( 4 3 0 2 n n l l xdx l n n l l B l n = = 故热传导方程解为 = = = = 1 2 222 33 2 )12( sin) )12( exp( )12( 18 ),( m x l m t l am m l txu 4求解热传导方程 = = = = = = )2/()0 ,( 0),(, 0), 0( )0, 0(, 2 xlxxu tutu lxtuau xx xxt 解：对应的固有值和固有函数分别为 2 )( l n n = =，), 2 , 1(,cosL=nx l n Xn 热传导方程通解为 = = = = 1 2 cos)(exp),( n n x l n ta l n Btxu 将初值条件代入得 ) 2 (cos 1 x lxx l n B n n = = = = 利用固有函数正交性，当时，有 0= =n 3 124 1 ) 2 ( 1 233 0 0 lll l dx x lx l B l =+= =+= 当时，有 0 n = = l n xdx l nx lx l B 0 cos) 2 ( 2 应用分部积分法得 2 0 2 )(2cos)()( 2 n l x l n xl n l l B l n = 故热传导方程解 = = = = 1 2 2 2 2 cos)(exp 1 )(2 3 ),( n x l n ta l n n ll txu 工程数学习题三工程数学习题三 1.求解固有值问题 = = h h 的级数解. 解：应用分离变量法，设)()(),(tfxtx= =，代入方程整理得 Ex xx tf dt d xf i= = =)( 2 )( 1 )( )( 1 2 22 h h 由此得常微分方程 )()(tEftf dt d i= =h，)()( 2 2 22 xEx dx d = h 第一个常微分方程有特解： )/exp()(hiEttf = = 第二个常微分方程为能量固有值问题，由习题 1 结论得 2 2 )( 2a n En h = =，x a n n sin= =，), 2 , 1(L= =n 原问题基本解 x a n t iE tx n n sin)exp(),( h =，), 2 , 1(L= =n 原问题级数解 = = = = 1 sin)exp(),( n n n x a n t iE Ctx h 3.求定态薛定谔方程波函数 = =+ = =+ 0)2/(, 0)2/( )2/, 2/(, 0)( 2 )( 2 aa aaxx E x h 将x a n a x n sin 2 )(= =中自变量替换为)2/(ax + +，由于 2 sincos 2 cossin) 2 sin()2/(sin n x a nn x a nn x a n ax a n +=+=+=+=+ 所以n为偶数时，有 x a m Bx mm 2 sin)( 22 = =， 2 222 2 2 a m E m h = = 所以n为奇数时，有 x a m Bx mm )12( cos)( 1212 + = + + = + ， 2 222 12 2 )12( a m E m h+ = + + = + 规一化系数： a BB mm 2 122+ = + =。 4证明厄米多项式正交性：， （0)()()exp( 2 = + = + dxxHxHx mn mn ） 解：由于n阶厄米多项式满足常微分方程 )(xHn 0)1(2=+ =+ nnn HHxH 做函数变换，令，则有 )()2/exp()( 2 xHxxu nn =)()2/exp()( 2 xHxxu mm = 0)12( 2 =+ =+ nn uxnu， 0)12( 2 =+ =+ mm uxmu 由此得 0)12( 2 =+ =+ nmnm uuxnuu， 0)12( 2 =+ =+ mnmn uuxmuu 将两式相减，并积分得 + + = + + =dxuuuudxuumn nmmnnm )(2 利用分部积分法得 0= + + + = + + + dxuuuuuuuudxuuuu nmmnnmmnnmmn 所以 )( , 0nmdxuu nm = + = + 即 0)()()exp( 2 = + = + dxxHxHx mn ， （mn ） 工程数学习题五工程数学习题五 1求二阶常微分方程通解：0)1(2 2 2 2 =+=+Rll dr dR r dr Rd r 解：做自变量变换，令，即)exp(tr = =rtln= =，则方程化为 0)1( 2 2 =+=+Rll dt dR dt Rd 求解得 )1(exp()exp( 21 tlCltCR+=+= 利用变换得 )1( 21 + += + += ll rCrCR 2. 广义拉盖多项式级数形式： = + += = + += n k k km n kmknk x nmxL 0 )!()!( ! )1()!()(。 证明：)( ! )( xnm n nmx m n ex dx d n xe xL + = + = 证：由级数形式 = + + = + += = + + = + += n k kkk n n k k km n x km mn C nkmknk x nmxL 00 )!( )!( )1( ! 1 )!()!( ! )1()!()( 应用乘积函数求导的莱布尼兹公式 = + + + = = + + + = n k kmxkk n xnm n n x km nm eCex dx d 0 )!( )!( )1()( 所以 )( )!( )!( )1( ! 1 )( ! 0 xLx km mn C n ex dx d n xe m n n k kkk n xnm n nmx = + + = = + = + + = = + 3证明拉盖多项式的正交性：， （0)()( 0 = = dxxLxLe mn x nm ） 证：由于n阶拉盖多项式Ln(x) 满足微分方程 0)1(=+ =+ nnn nLLxLx 将方程左右同乘负指数函数，并简化得 0=+ =+ n x n x LneLxe 同理有m阶拉盖多项式Lm(x) 满足微分方程 0=+ =+ m x m x LmeLxe 由两个等式得 0=+ =+ nm x n x m LLneLxeL， 0=+ =+ mn x m x n LLmeLxeL 将两式相减并积分得 + + = + + = 00 )()(dxLxeLLxeLdxLLemn n x mm x nnm x 利用分部积分公式 + + = + + = 0 0 ) ()( n x mm x nn x mm x n LxeLLxeLdxLxeLLxeL 0 0 = + = + dxLLxeLLxe nn x nm x 所以 0)()( 0 = = dxxLxLe mn x ， （nm ） 4计算积分： ， 0 2 1 )(dxxLe x 0 2 2 )(dxxLe x 0 2 3 )(dxxLe x 解：由1)( 1 + += =xxL， 24)( 2 2 +=+=xxxL6189)( 23 3 +=+=xxxxL 得， 12)( 22 1 +=+=xxxL416208)( 2342 2 +=+=xxxxxL 3621643233611718)( 234562 3 +=+=xxxxxxxL 注意积分：， ! 0 ndxxe nx = + = + 所以 112! 2)( 0 2 1 =+= =+= dxxLe x 4416! 220! 38! 4)( 0 2 2 =+= =+= dxxLe x 3636215! 2432! 3336! 4117! 518! 6)( 0 2 3 =+= =+= dxxLe x 工程数学习题六工程数学习题六 1利用勒让德多项式微分形式计算积分： ， 1 1 2 1 )(dxxP 1 1 2 2 )(dxxP 解：由让德多项式微分形式 n n n n n x dx d n xP) 1( !2 1 )( 2 =，令。 n n x)1( 2 = 用分部积分公式 3 8 )1(2 1 1 2 1 1 11 1 1 11 1 1 2 1 = = = = dxxdxdx 所以 3 2 22 1 )( 1 1 2 1 1 1 2 1 = = = = dxdxxP 而 5 8 16)1(! 4 1 1 22 1 1 2 )4( 2 1 1 2222 1 1 2 2 =+ = =+ = dxxdxdx 所以 5 2 2222 1 )( 1 1 2 1 22 1 1 2 2 = = = dxdxxP 2证明：勒让德多项式的模 12 2 )( 1 1 2 + = + = n dxxPn，( n = 1,2,)。 证：由勒让德多项式递推关系 0)()() 12()() 1( 11 = =+ + + + + + + xnPxxPnxPn nnn 以n代替(n+1)并将等式两端同乘以Pn，得 0)()()1()()()12()( 21 2 =+ =+ xPxPnxPxxPnxPn nnnnn 积分得 = = 1 1 1 1 1 2 )()()12()(dxxPxxPndxxPn nnn 再将递推关系变型 11 1212 1 + + + + + = + + + + + = nnn P n n P n n xP 代入，得 + = + = 1 1 2 1 1 1 2 )( 12 )12( )(dxxP n n ndxxPn nn 故 12 2 )( 12 1 )( 12 12 )( 1 1 0 1 1 2 1 1 1 2 + = + = + = + + = + = + = + n dxxP n dxxP n n dxxP nn L 3证明勒让德多项式正交性：,（0)()( 1 1 = = dxxPxP mm nm ） 证：由于Pn(x) 满足勒让德方程 0)1(2)()1( 2 =+ =+ nnn PnnPxxPx 写成等价形式 0)1( )()1( 2 =+=+ nn PnnxPx 同理Pm(x) 满足 0)1( )()1( 2 =+=+ mm PmmxPx 由此得 0)1( )()1( 2 =+=+ nmnm PPnnxPxP 0)1( )()1( 2 =+=+ mnmn PPmmxPxP 将两式相减差积分，得 + + =+ + + =+ 1 1 22 1 1 )1()1()1()1(dxPxPPxPdxPPmmnn mnnmnm 应用分部积分公式得 1 1 22 1 1 22 ) )1()1()1()1( + + = + + = mnnmmnnm PxPPxPdxPxPPxP 0)1()1( 1 1 22 = + = + dxPPxPPx mnnm 故 0)()( 1 1 = = dxxPxP mm ,(nm ) 4 计算积分 ，其中n和k是任意正整数且 + + 1 1 )(dxxPx n k nk 。 解：当kn时，有 = = = = k j jj k xPcx 0 )( 利用勒让德多项式正交性，得 )(, 0)( 1 1 nkdxxPx n k = + = + 当k = n时，有 = = = = n j jj n xPcx 0 )( 参考勒让德多项式微分表达式， n n n n n x dx d n xP) 1( !2 1 )( 2 =，最高项系数为 ! !)!12( n n 所以 !)!12( ! = = n n cn，故 !)!12( ! 2)( !)!12( ! )( 1 1 2 1 1 + = = + + + = = + + n n dxxP n n dxxPx nn n 工程数学习题七工程数学习题七 1利用勒让德多项式正交性计算： + + + + 1 1 )()32(dxxPx n 解：先将(2+3x)表示为勒让德多项式组合形式， 10 32)32(PPx+ += =+ + 所以 + + +=+ + + +=+ 1 1 10 1 1 32)()32(dxPPPPdxxPx nnn 利用正交性得 + + + + 1 1 )()32(dxxPx n = = = = = = 1 , 0, 0 1, 2 0, 4 n n n 2. 求单位球内调和函数，满足边值问题： 0)(sin sin 1 )( 1 2 2 2 = + = + u rr u r rr 2 1 cos= = = =r u 3利用余弦函数台劳展开式证明：x x xJcos 2 )( 2/1 = = 。 证明：由 n 阶贝塞尔函数的级数形式 = + + + = = + + + = 0 2 2 ) 1(!2 ) 1( )( m mn mnm n mnm x xJ 得 = + + + = = + + + = 0 22/1 22/1 2/1 ) 12/1(!2 ) 1( )( m m mm mm x xJ 利用伽玛函数的特殊值= =)2/1 (，得 )2/1 ()2/3)(2/1() 12/1