高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2_4_2 抛物线的几何性质（二）学案 苏教版选修1-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散24.2抛物线的几何性质(二)学习目标1.掌握抛物线的几何特性.2.学会解决直线与抛物线相关的综合问题知识点一直线与抛物线的位置关系思考1若直线与抛物线只有一个交点，直线与抛物线一定相切吗？思考2直线与抛物线的位置关系与公共点个数梳理直线ykxb与抛物线y22px(p0)的交点个数决定于关于x的方程k2x22(kbp)xb20的解的个数当k0时，若0，则直线与抛物线有_个不同的公共点；当0时，直线与抛物线有_个公共点；当0)的一条弦，其中点M的坐标为(x0，y0)，运用平方差法可推导AB的斜率如下：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有由得(y2y1)(y2y1)2p(x2x1)kAB，y1y22y0，由得kAB，即弦AB的斜率只与焦参数_和弦AB中点的_坐标有关类型一直线与抛物线的位置关系例1已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l和C只有一个公共点？有两个公共点？没有公共点？跟踪训练1平面内一动点M(x，y)到定点F(0,1)和到定直线y1的距离相等，设M的轨迹是曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)在曲线C上找一点P，使得点P到直线yx2的距离最短，求出P点的坐标；(3)设直线l：yxm，当实数m为何值时，直线l与曲线C有交点？类型二与弦长、中点弦有关的问题例2已知A，B为抛物线E上不同的两点，若抛物线E的焦点坐标为(1,0)，线段AB恰被M(2,1)所平分(1)求抛物线E的方程；(2)求直线AB的方程反思与感悟中点弦问题解题策略方法跟踪训练2已知抛物线y26x，过点P(4,1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及P1P2.类型三抛物线中的定点(定值)问题例3已知点A，B是抛物线y22px(p0)上的两点，且OAOB.(1)求两点的横坐标之积和纵坐标之积；(2)求证：直线AB过定点反思与感悟在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等，解决这类问题的关键是代换和转化跟踪训练3在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于不同的A、B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点1抛物线yax21与直线yx相切，则a_.2直线yx1被抛物线y24x截得线段的中点坐标是_3过抛物线y24x的顶点O作互相垂直的两弦OM、ON，则M的横坐标x1与N的横坐标x2之积为_4若抛物线y24x的弦AB垂直于x轴，且AB4，则抛物线的焦点到直线AB的距离为_5已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y2x4所得的弦长AB3，求此抛物线的方程求抛物线的方程常用待定系数法和定义法：直线和抛物线的弦长问题、中点弦问题及垂直、对称等可利用判别式、根与系数的关系解决；抛物线的综合问题要深刻分析条件和结论，灵活选择解题策略，对题目进行转化提醒：完成作业第2章2.42.4.2(二)答案精析问题导学知识点一思考1不一定，当平行或重合于抛物线的对称轴的直线与抛物线相交时，也只有一个交点思考2位置关系公共点个数相交有两个或一个公共点相切有且只有一个公共点相离无公共点梳理两一没有平行或重合一知识点二2p纵题型探究例1解将l与C的方程联立，得消去y，可得k2x2(2k4)x10，(*)当k0时，方程(*)只有一个解为x.直线l与抛物线C只有一个公共点(，1)，此时直线l平行于x轴当k0时，方程(*)是一个一元二次方程，(2k4)24k24k216k164k216k16.当0，即k1且k0时，l与C有两个公共点，此时直线l与抛物线C相交；当0，即k1时，l与C只有一个公共点，此时直线l与抛物线C相切；当1时，直线l与C没有公共点所以，当k0或1时，l和C只有一个公共点；当k1时，l和C没有公共点跟踪训练1解(1)依题意知曲线C是抛物线，设其方程为x22py(p0)由定义可得1，解得p2，所以抛物线C的方程为x24y.(2)设点P(x0，y0)，则有x4y0.点P到直线yx2的距离为d，由点到直线的距离公式，得d，所以当x02，y01，即P的坐标为(2,1)时，点P到直线yx2的距离最短，最短距离为.(3)由题意，联立yxm和x24y，消去y并整理得x24x4m0，因为直线与曲线C有交点，所以(4)216m0，解得m1.例2解(1)由于抛物线的焦点坐标为(1,0)，所以1，p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y4x1，y4x2，且x1x24，y1y22.由，得(y1y2)(y2y1)4(x2x1)，所以2.所以直线AB的方程为y12(x2)，即2xy30.跟踪训练2解方法一由题意易知直线方程的斜率存在，设所求方程为y1k(x4)由得ky26y24k60.当k0时，624k(24k6)0.设弦的两端点为P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，y1y2，y1y2.P1P2的中点为(4,1)，2，k3，适合式所求直线方程为y13(x4)，即3xy110，y1y22，y1y222，P1P2 .方法二设P1(x1，y1)，P2(x2，y2)则y6x1，y6x2，yy6(x1x2)又y1y22，3，所求直线的斜率为k3，所求直线方程为y13(x4)，即3xy110.由得y22y220，y1y22，y1y222，P1P2 .例3(1)解设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则有kOA，kOB.因为OAOB，所以kOAkOB1，所以x1x2y1y20.因为y2px1，y2px2，所以y1y20.因为y10，y20，所以y1y24p2，所以x1x24p2.(2)证明因为y2px1，y2px2，所以(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，所以，所以kAB，故直线AB的方程为yy1(xx1)，所以yy1，即y.因为y2px1，y1y24p2，所以y，所以y(x2p)，即直线AB过定点(2p,0)跟踪训练3解(1)由题意知，抛物线的焦点坐标为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty40.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)设l：xtyb，代入抛物线方程y24x，消去x，得y24ty4b0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b.x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b，令b24b4，b24b40，b2，直线l过定点(2,0)当堂训练1.2.(3,2)3.164.15解设所求抛物线方程为y2ax(a0)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y得4x2(a16)x160，由(a16