高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_1 单调性互动课堂 苏教版选修2-21

高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.1 单调性互动课堂 苏教版选修2-2疏导引导 本课时重点和难点是函数的单调性与导数的关系.1.函数的单调性与导函数的关系 我们知道,如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说f(x)在这一区间具有单调性,先看下面的例子: 函数y=f(x)=x2-4x+3的图象如图所示.考虑到曲线y=f(x)的切线的斜率就是函数f(x)的导数,从图象可以看到:在区间(2,+)内,切线的斜率为正,即f(x)0时,f(x)为增函数;在区间(-,2)内,切线的斜率为负,即f(x)0时,f(x)为减函数. 再观察下面一些函数的图象,探讨函数的单调性与其导函数正负的关系. 一般地,函数的单调性与导函数的正负有如下关系: 在某个区间(a,b)内,如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增;如果f(x)0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.利用导数判断函数单调性(区间)的一般步骤：(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f(x);(3)令f(x)0解得函数f(x)的增区间；令f(x)0解得函数f(x)的减区间.3.f(x)0(或0)是函数递增(或递减)的充分条件.但这个条件并不是必要的.如:y=x3在实数集内是严格增函数,但f(0)=0.在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间.因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f(x)0或f(x)0恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f(x)不恒为0,则由f(x)0或f(x)0恒成立解出的参数的取值范围确定.4.构造函数,再采用求导的方法,利用函数的单调性证明不等式,是证明不等式常运用的方法,要掌握好.其中关键在于构造恰当的函数,有利于问题的解决.5.利用导数解决题目还应注意(1)证函数f(x)在(a,b)内单调,可以用函数的单调性定义,也可用导数来进行判别,前者较繁,后者较易,要注意若f(x)在(a,b)内个别点上满足f(x)=0(或不存在但连续),其余点满足f(x)0或f(x)0,函数f(x)仍然在(a,b)内单调递增(或递减),即导数为零的点不一定是增、减区间的分界点.(2)对于含有字母系数的问题,根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一.函数的导数与函数单调性的关系,为我们研究函数的单调性提供了有力的工具,在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例1 已知向量a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数f(x)=ab在区间(-1,1)上是增函数，求t的取值范围.【探究】解法一 依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t， 则f(x)=-3x2+2x+t. 若f(x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f(x)0.f(x)0t3x2-2x,在区间(-1,1)上恒成立，考虑函数g(x)=3x2-2x, 由于g(x)的图象是对称轴为x=, 开口向上的抛物线，故要使t3x2-2x在区间(-1,1)上恒成立tg(-1),即t5. 而当t5时，f(x)在(-1,1)上满足f(x)0，即f(x)在(-1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t5.解法二 依定义f(x)=x2(1-x)+t(x+1)=-x3+x2+tx+t,f(x)=-3x2+2x+t. 若f(x)在(-1,1)上是增函数，则在(-1,1)上可设f(x)0.f(x)的图象是开口向下的抛物线，当且仅当f(1)=t-10,且f(-1)=t-50时f(x)在(-1,1)上满足f(x)0,即f(x)在(-1,1)上是增函数. 故t的取值范围是t5.【规律总结】这是导函数增减性的一个简单应用，也就是说，根据函数导数可判断增减性，反之也可以根据导函数的增减性，求有关的参变量.对于含有字母系数的问题，根据题设正确地确定字母的取值范围是解决问题的关键之一.函数的导数与函数单调性的关系，为我们研究函数的单调性提供了有力的工具，在今后的学习中要养成使用导数研究函数单调性的习惯.案例2 (2005福建高考)已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d的图像过点P(0，2)，且在点M(-1,f(-1)处的切线方程为6x-y+7=0.(1)求函数y=f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)的单调区间.【探究】(1)由f(x)的图像经过点P(0,2)，知d=2,f(x)=x3+bx2+cx+2,f(x)=3x2+2bx+c. 由在点M(-1,f(-1)处的切线方程是6x-y+7=0，知-6-f(-1)+7=0, 即f(-1)=1,f(-1)=6.即 解得b=c=-3. 故所求的解析式是f(x)=x3-3x2-3x+2.(2)f(x)=3x2-6x-3. 令3x2-6x-3=0,即x2-2x-1=0. 解得x1=,x2=. 当或时，f(x)0; 当时，f(x)0. 故f(x)=x3-3x2-3x+2在(-,)内是增函数，在(,)内是减函数，在(,+)内是增函数.活学巧用1.求下列函数的单调区间，并指出其单调性.(1)f(x)=x3;(2)f(x)=2x3-9x2+12x-3;(3)f(x)=lnsinx.解析：(1)f(x)=3x2,当x0时，f(x)0;当x=0时，f(x)=0. 又当x0时f(x)0,x0时f(x)0,x=0时f(x)=0,根据函数的连续性知，f(x)在(-,+)上是增函数, 即y=x3的增区间为(-,+).(2)f(x)=6x2-18x+12,由f(x)0得1x2,由f(x)0得x1或x2. 故f(x)的增区间为(-,1)及(2，+),减区间为(1，2).(3)函数f(x)的定义域为2kx2k+(kZ).f(x)=cotx,由f(x)0及函数定义域得2kx2k+(kZ). 由f(x)0及函数定义域得2k+x2k+(kZ). 故该函数的单调增区间为(2k,2k+)(kZ),减区间为(2k+,2k+)(kZ).2.证明函数f(x)=ex+e-x在0,+)上是增函数.证明:f(x)=(ex)+()=ex+()=ex-e-x=,当x0,+)时ex1，f(x)0.f(x)=ex+e-x在0,+)上为增函数.3.确定函数f(x)=x2-4x+3的增减区间.解析：f(x)=2x-4. 令f(x)0即2x-40，解得x2，故当x2,+)时，是增函数； 令f(x)0即2x-40，解得x2，故当x-,2)时，是减函数.4.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k0).若f(x)的单调递减区间是(0,4),(1)求k的值；(2)当kx时，求证：.解析：(1)f(x)=3kx2-6(k+1)x 由f(x)0得,f(x)的递减区间是(0,4)=4,k=1.(2)设g(x)=,g(x)=. 当x1时，,g(x)0,g(x)在x1,+)上单调递增x1时，g(x)g(1).即,5.设f(x)在R上是偶函数，在区间(-,0)上f(x)0且有f(2a2+a+1)f(-3a2+2a-1)，求a的取值范围.解析：在(-,0)上f(x)0,f(x)在(-,0)上为增函数. 又f(x)为偶函数，f(x)在(0，+)上为减函数,且f(-3a2+2a-1)=f(3a2-2a+1).原不等式可化为f(2a2+a+1)f(3a2-2a+1). 又2a2+a+10,3a2-2a+10恒成立,2a2+a+13a2-2a+1.解得0a3为所求.6.证明不等式ln(1+x)(x0).证明:令f(x)=ln(1+x)-x+, 则f(x)=. 当x-1时，f(x)0，因此f(x)在(-1，+)内为增函数.于是当x0时，f(x)f(0)=0.当x0时，ln(1+x).7.已知函数y=ax与y=在(0,+)上都是减函数，试确定函数y=ax3+bx2+5的单调区间.解析：函数y=ax与y=在(0,+)上都是减函数，则a0,b0. 由y=ax3+bx2+5得y=3ax2+2bx. 令y0,得3ax2+2bx0,.当x(,0)时，函数为增函数. 令y0,即3ax2+2bx0，,或x0.当x(-,)或(0,+)时，函数为减函数.8.设t0,点P(t,0)是函数f(x)=x3+ax与g(x)=bx2+c的图象的一公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线.(1)用t表示a、b、c;(2)若函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，求t的取值范围.解析：(1)因为函数f(x)、g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)=0, 即t3+at=0.因为t0,所以a=-t2.g(t)=0,即bt2+c=0,所以c=ab. 又因为f(x)、g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f(t)=g(t).而f(t)=3x2+a,g(x)=2bx,所以3t2+a=2bt. 将a=-t2,代入上式得b=t. 因此c=ab=-t3,故a=-t2,b=t,c=-t3.(2)方法一：y=f(x)-g(x)=x3-t2x-tx2+t3,y=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t). 当y=(3x+t)(x-t)0时，函数y=f(x)-g(x)单调递减. 由y0,若t0,则xt;若t0,则tx. 由题意，函数y=f(x)-g(x)在(-1,3)上单调递减，则(-1,3)(,t)或(-1,3)(t,). 所