高中数学 2_3_2 平面向量的坐标运算导学案 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求2.3.2平面向量的坐标运算学习目标重点难点1会分析坐标表示平面向量平行的条件2能解决坐标表示平面向量的加、减、数乘运算.重点：平面向量的加、减、数乘的坐标运算难点：平面向量平行条件的理解.1平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj，则把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y)预习交流1如何理解向量的坐标表示？提示：(1)向量用坐标表示，为表示向量a提供了另一种方法，使向量a与有序实数对(x，y)建立了一一对应关系；(2)向量用坐标表示，为向量运算数量化、代数化奠定了基础；(3)点的坐标与向量坐标的关系点的坐标与向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点的坐标都有关，只有起点在原点时，向量的坐标才与终点的坐标相等；(4)符号(x，y)在平面直角坐标系中具有了双重意义，它可以表示一个点，又可以表示一个向量，为加以区分，常说点P(x，y)或者向量a(x，y)，注意前者没有等号，后者有等号2平面向量的坐标运算(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，O为坐标原点，则(x2，y2)(x1，y1)(x2x1，y2y1)，即一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标预习交流2向量的坐标是其终点的坐标吗？提示：不一定若是以原点为始点，P点为终点的向量，其坐标为点P的坐标；由于向量具有平移性，当的起点不是原点时，其坐标不是终点B的坐标3向量平行的坐标表示：设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)(a0)，如果ab，那么x1y2x2y10；反过来，如果x1y2x2y10，那么ab.预习交流3如果两个非零向量共线，你能通过它们的坐标判断它们同向还是反向吗？提示：当两个向量的对应坐标同号或同为零时，同向当两个向量的对应坐标异号或同为零时，反向例如：向量(1,2)与(1，2)反向；向量(1,0)与(3,0)同向；向量(1,2)与(3,6)同向；向量(1,0)与(3,0)反向等预习交流4(1)已知a(1,3)，b(x，1)，且ab，则x_.(2)已知四边形ABCD的三个顶点A(0,2)，B(1，2)，C(3,1)，且2，则顶点D的坐标为_提示：(1)(2)一、向量的坐标表示在直角坐标系xOy中，向量a，b，c的方向如图所示，且|a|2，|b|3，|c|4，分别计算出它们的坐标思路分析：利用三角函数求出各向量在x轴、y轴上的分量的模的大小，以此确定向量的横、纵坐标解：设a(a1，a2)，b(b1，b2)，c(c1，c2)，则a1|a|cos 452，a2|a|sin 452，b1|b|cos 1203，b2|b|sin 1203，c1|c|cos(30)42，c2|c|sin(30)42.因此a(，)，b，c(2，2)1点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v(4，3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)设开始时点P的坐标为(10,10)，则5秒后点P的坐标为_答案：(10，5)解析：由速度向量v(4，3)可知点P的运动方向，每秒移动的距离为5个单位，如图所示，结合图象易知P(10，5)2已知向量a与x轴的正方向成60角，且|a|2，求a的坐标解：设a，坐标为(x，y)如图，若a在第一象限，则POP60，|2，x|cos 6021，y2sin 602.P(1，)，a的坐标为(1，)若a在第四象限，则x2cos(60)21，y2sin(60)2，P(1，)a(1，)综上，a(1，)或a(1，)(1)在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a惟一确定，此时点A的坐标与向量a的坐标统一为(x，y)(2)向量的坐标只与始点和终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关(3)将平面图形放置在直角坐标系中，必须说明“以点为坐标原点，以所在的直线为x轴，建立直角坐标系”，当坐标系建立的方法不同时，各点坐标也有所不同，但不影响最终结论的成立二、平面向量的坐标运算(1)设向量a，b的坐标分别是(1,2)，(3，5)，求ab，ab，3a,2a3b的坐标；(2)已知三点A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，试求向量3；2.思路分析：题目(1)中分别给出了两向量的坐标，欲求a，b的和，差或数乘向量的坐标，可根据向量的直角坐标运算法则进行题目(2)中给出了点的坐标，可运用终点坐标减去起点坐标得到相应向量的坐标，然后再进行运算解：(1)ab(1,2)(3，5)(13,25)(2，3)；ab(1,2)(3，5)(13,25)(4,7)；3a3(1,2)(3,6)；2a3b2(1,2)3(3，5)(2,4)(9，15)(29,415)(7，11)(2)A(2，1)，B(3,4)，C(2,0)，(3,4)(2，1)(1,5)，(2，1)(2,0)(4，1)，(2,0)(3,4)(5，4)33(1,5)(4，1)；2(5，4)2(1,5)(7，14)已知平面向量a(1,1)，b(1，1)，则向量ab_.答案：(1,2)解析：ab(1,1)(1，1)(1,2)(1)在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算(直角坐标运算法则即两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差，数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积)(2)在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标(3)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标三、向量共线的坐标运算已知向量a(1,1)，b(2，x)，若ab与4b2a平行，求实数x的值思路分析：先利用向量的线性运算求ab,4b2a，然后利用向量共线时的坐标关系或利用向量共线定理ab(4b2a)求解解：因为a(1,1)，b(2，x)，所以ab(3，x1)，4b2a(6,4x2)，由于ab与4b2a平行，得6(x1)3(4x2)0，解得x2.1已知向量a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，且uv，则实数x的值为_答案：解析：因为a(1,2)，b(x,1)，ua2b，v2ab，所以，u(1,2)2(x,1)(2x1,4)，v2(1,2)(x,1)(2x,3)，又因为uv，所以3(2x1)4(2x)0，即10x5，解得x.2O是坐标原点，(k,12)，(4,5)，(10，k)，当k为何值时，A，B，C三点共线解：依题意，得(4,5)(k,12)(4k，7)，(10，k)(4,5)(6，k5)，A，B，C三点共线，即，共线，所以(4k)(k5)6(7)0，解得k2或k11所以当k2或k11时，A，B，C三点共线已知a(x1，y1)，b(x2，y2)(1)当b0时，ab.这是几何运算，体现了向量a与b的长度及方向之间的关系(2)x1y2x2y10.这是代数运算，用它解决向量共线问题的优点在于不需要引入参数“”，从而减少未知数个数，而且使问题的解决具有代数化的特点、程序化的特征(3)当x2y20时，即两向量的相应坐标成比例通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示，而且不易出现搭配错误1设平面向量a(3,5)，b(2,1)，则a2b_.答案：(7,3)2已知A(5，1)，B(3，2)，则的坐标为_答案：3已知A(，1)，则所在直线与x轴所夹的锐角为_答案：30解析：易知点A在第四象限，作AHx轴于H点，则在RtAHO中，AH1，HO，tanHOA.HOA30，即为所求4已知向量a(3,1)，b(1,3)，c(k,7)，若(ac)b，则k_.答案：5解析：ac(3k，6)，b(1,3)，(ac)b，.k5.5如果向量i2j，imj，其中i，j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量，试确定实数m的值使A，B，C三点共线解：(方法一)由题意知，(1，2)，(1，m)A，B，C三点共线，即，共线，坐标满足x1y2x2y