高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用同步练习 北师大版选修

高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用同步练习 北师大版选修2-2高手支招6体验成功基础巩固1.抛物线y=x2-x与x轴围成的图形面积为（ ）A. B.1 C. D.答案:C思路分析：所求面积S=-（x2-x）dx=(-)=-（-）=2.如果某质点的初速度v(0)=1,其加速度a(t)=6t,做直线运动,则质点在t=2 s时的瞬时速度为（ ）A.5 B.7 C.9 D.13答案:D思路分析:v(2)-v(0)= a(t)dt=6tdt=3t2.v(2)=v(0)+322=1+12=13.3.曲线y2=4ax,x=a绕x轴旋转所得的旋转体体积是( )A.2a2 B.4a2 C.2a3 D.4a3答案:C思路分析:不妨设a0,由旋转体体积公式可得:V=y2dx=4axdx=4a(x2)=2a3.4.若f(x)=则f(x)dx=_.答案:思路分析: f(x)dx=(-x)dx+(x2+3)dx=-x2+(x3+3x)=.5.(xcosx-5sinx+2)dx=_.答案:4a思路分析：原式=xcosxdx-5sinxdx+2dx,由于前两个积分的被积函数是奇函数,画出图像,由定积分的几何意义可知,前两个积分值都为0.所以原式=2dx=2x=4a.6.如果f（x）dx=1,f（x）dx=-1,则f（x）dx=_.答案:-2思路分析：f（x）dx=f（x）dx+f（x）dx=-1,有1+f（x）dx=-1,f（x）dx=-2.7.y=sinx(0x2)与x轴所围成图形的面积是_.答案:4思路分析：sinxdx=sinxdx+|sinxdx|=(-cosx)-(-cosx)=4.8.计算定积分（|2x+3|+|3-2x|）dx.解：设y=|2x+3|+|3-2x|=（|2x+3|+|3-2x|）dx=（-4x）dx+6dx+4xdx=-2x2+6x+2x2=-2()2-(-2)(-3)2+6-6()+232-2()2=45.思路分析：这类定积分不能直接积分,也不能换元转化,这时需变换被积函数.去掉其中的绝对值符号,这就需要应用定积分的可加性,对积分区间分类讨论.综合应用9.求c的值,使(x2+cx+c)2dx最小.解:令y=(x2+cx+c)2dx=(x4+2cx3+c2x2+2cx2+2c2x+c2)dx=+c+c2,令y=0得c=-,所以当c=-时y最小.思路分析:对于确定的c值,(x2+cx+c)2dx是一个确定的数,因而(x2+cx+c)2dx可看成一个c的函数,再求c取何值时此函数有最小值.10.A、B两站相距7.2 km,一辆电车从A站开往B站,电车开出t s后到达途中C点,这一段的速度为1.2t(m/s),到C点的速度为24 m/s,从C点到B点前的D点以等速行驶,从D点开始刹车,经t s后,速度为(24-1.2t) m/s,在B点恰好停车,试求(1)A、C间的距离;(2)B、D间的距离;(3)电车从A站到B站所需的时间.解:(1)设A到C的时间为t1,则1.2t1=24,t1=20(s),则AC1.2tdt=0.6t2=240(m).(2)设D到B的时间为t2,则24-1.2t2=0,t2=20(s),则DB(24-1.2t)dt=(24t-0.6t2) =240(m).(3)CD=7 200-2240=6 720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320(s).思路分析:做变速直线运动的物体所经过的路程s等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分,即S=v(t)dt.11.设y=f(x)是二次函数,方程f(x)=0有两个相等的实根,且f(x)=2x+2.(1)求y=f(x)的表达式;(2)求y=f(x)的图像与两坐标轴所围成图形的面积.解:(1)f(x)=ax2+bx+c(a0),则f(x)=2ax+b.又f(x)=2x+2,所以a=1,b=2.f(x)=x2+2x+c.又方程f(x)=0有两个相等实根,即x2+2x+c=0有两个相等实根.=4-4c=0,即c=1,故f(x)=