高中数学 第2章 推理与证明 2_3 数学归纳法自主练习 苏教版选修2-21

高中数学 第2章 推理与证明 2.3 数学归纳法自主练习 苏教版选修2-2我夯基 我达标1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=(a1,nN*),验证n=1时等式的左边为( )A.1 B.1+a C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3思路解析：当n=1时，左边=1+a+a2.答案:C2.用数学归纳法证明不等式(n2)的过程中，由n=k递推到n=k+1时不等式左边( ) A.增加了一项 B.增加了两项C.增加了B中的两项但减少了一项1k+1 D.以上均不正确思路解析：在n=k+1时，用k+1替换n,再与n=k时比较.答案:C3.用数学归纳法证明“n(nN*且n1)”时，由n=k(k1)不等式成立,推证n=k+1时，左边应增加的项数是( )A.2k-1 B.2k-1 C.2k D.2k+1思路解析：增加的项数为(2k+1-1)-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案:C4.凸n边形有f(n)条对角线，则凸n+1边形的对角线条数f(n+1)与f(n)之间的关系为_.思路解析：设凸n+1边形为A1A2AnAn+1,连结A1An,则凸n+1边形的对角线是由凸边形A1A2An的对角线再加A1An,以及从An+1点出发的n-2条对角线,即f(n+1)=f(n)+1+n-2=f(n)+n-1.答案:f(n+1)=f(n)+n-15.已知数列an是首项为a1公比为q的等比数列(1)求和:=_;=_.(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n的一个结论为_.思路解析：(1),.(2)归纳猜想：左边结构为,右边为a1(1-q)n.答案:(1)a1(1-q)2 a1(1-q)3 (2) =a1(1-q)n6.已知:数列an的通项公式an=,数列bn的通项公式满足bn=(1-a1)(1-a2)(1-an).求证：bn=.思路分析：本题可用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时,b1=1-a1=-3.而=-3,等式成立.(2)假设当n=k时成立,即bk=,则当n=k+1时,bk+1=(1-a1)(1-a2) (1-ak)(1-ak+1)=bk(1-ak+1)=当n=k+1时，命题成立.由(1)(2)可知，当n为任意正整数时,bn=都成立.我综合 我发展7.已知x-1且x0,nN*,且n2,求证：(1+x)n1+nx.思路分析：本题为与自然数n有关的不等式,可用数学归纳法证明；在证明时可结合不等式的性质加以变形.证明：(1)当n=2时，左边=(1+x)2=1+2x+x2,x0,1+2x+x21+2x,左边右边，不等式成立.(2)假设当n=k时，不等式成立，即(1+x)k1+kx成立，则当n=k+1时，左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x).x-1,1+x0.(1+x)k(1+x)(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2.x0,1+(k+1)x+kx21+(k+1)x.(1+x)k+11+(k+1)x成立,即当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知，不等式对于所有的n2都成立.8.设nN*，证明46n+5n+1除以20的余数为9.思路分析：本题研究余数问题实质上是20的倍数再加9.也可看作是46n+5n+1-9被20整除.整除性问题可用数学归纳法证明.证明：(1)当n=1时，461+52=24+25=49=220+9命题成立.(2)假设当n=k时命题成立,即46k+5k+1被20除余9，即46k+5k+1-9被20整除,则当n=k+1时，46k+1+5k+2-9=6(46k+5k+1-9)-65k+1+5k+2+45=6(46k+5k+1-9)+45-5k+1.6(46k+5k+1-9)被20整除,只需证45-5k+1被20整除.当n=1时,451-51+1=45-25=20被20整除成立;假设当n=k时成立,即45-5k+1被20整除，则当n=k+1时，45-5k+2=(45-5k+1)5-180能被20整除，当n=k+1时成立.45-5k+1都能被20整除.当n=k+1时原命题成立.由(1)(2)可知命题成立.9.已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+b10=100.(1)求数列bn的通项bn;(2)设数列an的通项an=lg(1+),记Sn为an的前n项和,试比较Sn与的大小，并证明你的结论.思路分析：本题为综合性问题，在比较Sn与的大小时，不易比较,可通过观察、归纳、猜想证明解答. 解：(1)设数列bn的公差为d，由题意得(2)由bn=2n-1，知Sn=lg(1+1)+lg(1+)+lg(1+)=lg(1+1)(1+)(1+)(1+),.要比较Sn与的大小，可先比较(1+1)(1+)(1+) (1+)与的大小.取n=1、2、3时，得出(1+1)(1+)(1+) 成立，于是猜想式恒成立，下面给出证明：(i)当n=1时，左边=