高中数学 第二章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差同步测控 北师大版选修

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求高中数学 第二章 概率 5 离散型随机变量的均值与方差同步测控 北师大版选修2-3我夯基，我达标1.随机变量X的分布列为:X05100.40.30.3P0.40.30.3则EX等于( )A.1 B.4.5 C.1.5 D.5解析：EX=00.4+50.3+100.3=4.5.答案：B2.随机变量X的分布列为:X024P0.40.30.3则E(5X+4)等于( )A.13 B.11 C.9 D.58解析：EX=00.4+20.3+40.3=1.8,E(5X+4)=5EX+4=51.8+4=13.答案：A3.若X的分布列为:X1234P则D(X)等于( )A. B. C. D.解析：EX=1+2+3+4=2.5,DX=(1-2.5)2+(2-2.5)2+(3-2.5)2+(4-2.5)2=+=,D(X)=()2=.答案：C4.若随机变量XB(4,)，则DX等于( )A. B. C. D.解析：DX=npq=4=.答案：C5.若X的分布列为:X01Ppq其中P（0,1）,则( )A.EX=p DX=p3 B.EX=p DX=p2C.EX=q DX=q2 D.EX=1-p DX=p-p2解析：由于p+q=1,所以q=1-p.从而EX=0p+1q=q=1-p,DX=0-(1-p)2p+1-(1-p)2q=(1-p)2p+p2(1-p)=p-p2.答案：D6.设随机变量XB（n,p）且EX=1.6,DX=1.28,则( )A.n=8,p=0.2 B.n=4,p=0.4C.n=5,p=0.32 D.n=7,p=0.45解析：解得答案：A7.1盒中有9个正品和3个废品，每次取1个产品，取出后不再放回，在取得正品之前已取出的废品数X的期望EX= _解析：由条件知，X的取值为0,1,2,3,并且有P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=P(X=3)=从而EX=0+1+2+3=0.3.答案：0.38.罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的期望EX=_.解析：因为是有放回地摸球,所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为,连续摸4次(做4次试验),X为取得红球(成功)的次数,则XB(4,),从而有EX=np=4=.答案：19.已知100件产品中有10件次品,从中任取3件,求任意取出的3件产品中次品数的数学期望、方差和标准差.解：用随机变量X表示任意取出的3件产品中次品数,则X的所有可能取值是0,1,2,3,并且有P(X=0)=0.726 5,P(X=1)=0.247 7,P(X=2)=0.025 0,P(X=3)=0.000 8.从而EX=00.726 5+10.247 7+20.025 0+30.000 8=0.300 10.3,DX=(0-0.3)20.726 5+(1-0.3)20.247 7+(2-0.3)20.025 0+(3-0.3)20.000 80.264 9,0.51.10.将一个均匀骰子掷3次，3次中“5点”出现的次数为随机变量X，求EX，DX，EX2.解：由于每次投骰子是相互独立的,且骰子均匀,每次投掷出现“5点”的概率都为,所以随机变量X服从二项分布,即XB(3,),所以EX=np=3=,DX=np(1-p)=3(1-)=,EX2=DX+(EX)2=+=.我综合，我发展11.(2007高考宁夏卷，文12)甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次，三人的测试成绩如下表:甲的成绩环数78910频数5555乙的成绩环数78910频数6446丙的成绩环数78910频数4664s1、s2、s3分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的标准差，则有( )A.s3s1s2 B.s2s1s3C.s1s2s3 D.s2s3s1解析：先由频数计算频率，即概率，再计算各自的方差，方差开方即为标准差.答案：B12.已知随机变量X和Y，其中Y=12X+7，且EY=34，又X的分布列如下表，则m的值为( )X1234PmnA. B. C. D.解析：由Y=12X+7EY=12EX+734=12EX+7EX=1+2m+3n+4.又+m+n+=1,联立求解可得m=.答案：A13.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a,b,c(0,1),已知他投篮一次得分的数学期望为1（不计其他得分情况），则ab的最大值为( )A.8 B.4 C. D.解析：由已知得3a+2b+0c=1,即3a+2b=1,ab=3a2b()2=()2=4.当且仅当3a=2b=时取等号，即ab的最大值为.答案：B14.(2006高考四川卷，14)设离散型随机变量X可能取的值为1，2，3，4.P(X=k)=ak+b(k=1,2,3,4).又X的数学期望EX=3,则a+b等于( )A. B. C. D.解析：由题意可得随机变量X的分布列为:X1234P(X=k)a+b2a+b3a+b4a+b由分布列的性质,得(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b=1.又EX=3,1(a+b)+2(2a+b)+3(3a+b)+4(4a+b)=3,即30a+10b=3.联立以上两式,解得a=,b=0,a+b=.答案：15.(2006福建高考卷，15)一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1，一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是_.解析：由题意知抛掷一次正方体向上的数为0的概率为,向上的数为1的概率为,向上的数为2的概率为,则得下表:第一次掷第二次掷012012于是可得向上的数之积的分布列为:X0124PEX=0+1+2+4=.答案：16.某公司有5万元资金用于投资开发项目.如果成功,一年后可获利12%;一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%.下表是过去200例类似项目开发的实施结果:投资成功投资失败192次8次则该公司一年后估计可获收益的期望是_元.解析：获利的概率p1=0.96,失败的概率p2=0.04.分布列为:X50 00050 000(-)P0.960.04EX=x1p1+x2p2=6 0000.96+0.04(-25 000)=4 760.答案：4 76017.设l为平面上过点(0,1)的直线，l的斜率等可能地取-,-,-,0,2.用X表示坐标原点到l的距离，则随机变量X的数学期望EX=_.解析：l的方程为y=kx+1,原点到直线l的距离为,故X的取值分别为,1, ,.又P(X)=,E(X)=(+1+)=.答案：18.(2006高考全国卷,18)某批产品成箱包装,每箱5件.一用户在购进该批产品前先取出3箱,再从每箱中任意抽取2件产品进行检验,设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.(1)用X表示抽检的6件产品中二等品的件数,求X的分布列及X的数学期望;(2)若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品,用户就拒绝购买这批产品,求这批产品被用户拒绝购买的概率.解：(1)X可能的取值为0,1,2,3.P(X=0)=,P(X=1)=P(X=2)=,P(X=3)=.X的分布列为:X0123P数学期望为EX=1.2.(2)所求的概率为:P=P(X2)=P(X=2)+P(X=3)=.我创新，我超越19.(2006高考安徽卷，18)在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较.在试制某种牙膏新品种时,需要选用两种不同的添加剂.现有芳香度分别为0,1,2,3,4,5的六种添加剂可供选用.根据试验设计学原理,通常首先要随机选取两种不同的添加剂进行搭配试验.用X表示所选用的两种不同的添加剂的芳香度之和.(1)写出X的分布列;(以列表的形式给出结论,不必写计算过程)(2)求X的数学期望EX.(要求写出计算过程或说明道理)解