高中数学 第3章 三角恒等变换 3_1_3 两角和与差的正切优化训练 苏教版必修41

在学生就要走出校门的时候，班级工作仍要坚持德育先行，继续重视对学生进行爱国主义教育、集体主义教育、行为规范等的教育，认真落实学校、学工处的各项工作要求3.1.3 两角和与差的正切5分钟训练（预习类训练，可用于课前）1.tan15=_.思路解析：（1）tan15=tan（45-30）=2-.答案：2-2.若tan=,则tan(+)=_.思路解析：tan(+)=3.答案:310分钟训练（强化类训练,可用于课中）1.计算tan20+tan40+tan20tan40=_.思路解析：这道题要先观察角，分析出20+40=60.然后灵活地对两角和的正切公式进行变形.tan60=tan（20+40）=，则tan20+tan40=（1-tan20tan40）=-tan20tan40，因此tan20+tan40+tan20tan40=.答案:2.已知=4+，则的值等于( )A.4+ B.4- C.-4- D.-4+思路解析：在正切函数运算中，经常需要用到一个特殊的数字“1”，因为tan=1，运算中要能够把1与tan灵活代换.由于=tan（-）.可知，tan（-）=4+.而-与+互为余角，则有=tan（-）=4+.答案:A3.求的值.思路解析：此题着重考查是否能灵活掌握弦与切之间的相互转换原则：化弦（切）为切（弦）,并且要注意到正切三角函数值里的一个特殊数字“1”，即tan45=1.解：把原式分子、分母同除以cos15，有=tan(15-45)=tan(-30)=-.志鸿教育乐园事出有因 老师：“你的题为抢救亲人的作文怎么连一个标点符号也没有？” 学生：“那么急的事怎么能停顿？”30分钟训练（巩固类训练,可用于课后）1.已知为第二象限的角，sin=,为第一象限的角，cos=,求tan(2-)的值.解：为第二象限角, sin=，cos=-,tan=-,tan2=-.又为第一象限角, cos=,sin=,tan=.tan(2-)=.2.(2005 北京)已知tan=2，求:（1） tan(+)的值；（2） （2）的值.解：（1）tan=2,tan=-.所以tan(+)=-.（ 2 ）由(1),tan=-,所以=.3.已知锐角三角形ABC中，sin(A+B)=,sin(A-B)=.(1)求证：tanA=2tanB；(2)设AB=3，求AB边上的高.思路解析：本题主要考查三角函数概念，两角和、差的三角函数值以及应用、分析和计算能力 . （1）证明：sin(A+B)=,sin(A-B)=,=2.所以tanA=2tanB.（2）解：A+B,sin(A+B)=,tan(A+B)=-,即=-.将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0.解得tanB=，舍去负值得tanB=，tanA=2tanB=2+.设 AB边上的高为 CD.则 AB=AD+DB=+=.由 AB=3，得 CD=2+.所以 AB边上的高等于2+.4.在ABC中，若0tanAtanB1，则ABC一定是( )A.等边三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.钝角三角形思路解析：三角形中，常用到内角和定理，可以把三个内角的三角函数值通过诱导公式转换.由于0tanAtanB1，可知tanA0，tanB0.所以tan（A+B）=0.又因为在ABC中，所以A+B是锐角.而tanC=tan-（A+B）=-tan（A+B）0，所以，在ABC中，C是钝角.因此，ABC是钝角三角形.答案:D5.在ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，则tanC等于( )A.2 B.-2 C.4 D.-4思路解析：此题要根据三角形内角和定理把C用角A和B表示出来，C=-（A+B），这样就可以利用两角和与差的正切公式展开运用，从而来计算.由于tanA、tanB是方程3x2+8x-1=0的两个根，那么根据韦达定理，有tanA+tanB=-，tanAtanB=-.则tanC=tan-（A+B）=-tan（A+B）=-=-=2.答案:A6.如果，都是锐角，并且它们的正切分别为，求证：+=45.思路解析：分析题意，要证明+=45，需要证明tan（+）=1.先根据、的正切值可以利用两角和的正切求出+的正切值，而+又可以看作是两个角+与的和，再运用两角和的正切公式求证即可.但是要注意一定还要确定出+这个和的范围，才能证得结果.证明：由于tan=，tan=，可知tan（+）=.由题意可知tan=，则tan（+）=tan（+）+=1.根据、都是锐角，且0tan=1，0tan=1，0tan=1，可知045，045，045.得0+135.所以，+=45.7.求证：tan20tan30+tan30tan40+tan20tan40=1.思路解析：这道题目着重考查两角和与差的正切变形公式的应用.分析题中出现的角可知，30是特殊角，并且20+40=60.证明：由于tan60=tan（20+40）=，可得tan20+tan40=（1-tan20tan40）,所以原式左边=tan20tan30+tan30tan40+tan20tan40=（tan20+tan40）+tan20tan40=（1-tan20tan40）+tan20tan40=1-tan20tan40+tan20tan40=1=右边.原式得证.配