中考数学总复习 第三单元 函数 第15讲 二次函数的性质及其图象课件

2017中考总复习 第第1515讲讲 二次函数二次函数 的性质及其图象的性质及其图象 1.根据具体情境分析和建立两个变量之 间的二次函数关系，能用表格、表达式 、图象表示变量之间的二次函数关系， 并能根据具体问题，选取适当的方法表 示变量之间的函数关系. 2.能根据二次函数的表达式确定二次函 数的开口方向、对称轴和顶点坐标;会作 二次函数的图象，并能根据图象对二次 函数的性质进行分析，逐步积累研究函 数性质的经验. 解读2017年深圳中考考纲 考纲解读 3.理解一元二次方程与二次函数的关系， 并能利用二次函数的图象求一元二次方程 的近似根，并能利用二次函数的相关知识 解决实际问题. 考点一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念：一般地，如果y=ax2+bx+c（a,b,c是常 数，a0），那么y叫做x的二次函数。 2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。 抛物线的主要特征： 有开口方向；有对称轴；有顶点 3、二次函数图像的画法(五点法)：（1）先根据函数解析 式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用 虚线画出对称轴。 （2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点： 当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B 及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D.将这五个 点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得 到二次函数的图象. 当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物 线与y轴的交点C及对称点D，由C，M，D三点可粗略地画 出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描 出一对对称点A，B，然后顺次连接五点，画出二次函数的 图象. 如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线 的表达式是（ ） A.y=x21B.y=x2+1 C.y=(x1)2D.y=(x+1)2 解析：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0 ，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0）， 所以所得的抛物线的表达式为y=(x1)2 考点二、二次函数的表达式 二次函数的表达式有三种形式： （1）一般式： y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0） （2）顶点式： y=a(x-h)2+k（a,h,k是常数，a0） （3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二 次方程ax2+bx+c=0有两个实根x1和x2 ，根据二次三项式 的分解因式 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数 y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交 点，则不能这样表示。 “如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么 一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据 你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关 于x的方程1(xa)(xb)=0的两根，且ab，则a、b、m 、n的大小关系是（ ） A.mabn B.amnb C.ambn D.manb 解析：解：依题意，画出函数y=(xa)(xb)的图象， 函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分 别为a，b（ab） 方程1(xa)(xb)=0转化为(xa)(xb)=1，方程的两 根是抛物线y=（xa）（xb）与直线y=1的两个交点 由mn，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n 由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则 有ma；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有bn 综上所述，可知mabn 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处 取得最大值（或最小值），即当 时， . 如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若在此范围内，则 当x= 时， ；若不在此范围内，则需要考虑函 数在 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的 增大而增大，则当 时， ，当 时， ；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则 当 时， ，当 时， . 考点三、二次函数的最值 考点四、二次函数的性质 1 、 二 次 函 数 的 性 质 函数二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0） 图象 a0a0a0时，抛物线开口向上，a0时，图像与x轴有两个交点； 当 =0时，图像与x轴有一个交点； 当 0时，图像与x轴没有交点； 如图：点A坐标为（x1，y1） 点B坐标为（x2，y2） 则AB间的距离，即线段AB的长度为 2、函数平移规律（中考试题中，只占3分， 但掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大 大节省做题的时间） 左加右减、上加下减（函数值加减上下移、自变量加减左 右移） 补充： 1、平面内两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可 用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 例题1已知函数y等于(xm)(xn)（其中m n）的图象如图，则一次函数y=mx+n与反 比例函数y= 的图象可能是（ ） 考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的 分析：根据二次函数图象判断出m1，n=1，然后求出 m+n0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判 断即可 解答： 由图可知，m1，n=1，所以，m+n0，所以 ，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0 ，1），反比例函数 的图象位于第二四象限，观 各选项，只有C选项图形符合故答案选C 小结：本题考查了二次函数图象、一次函数图象、反比例函 数图象，观察二次函数图象判断出m，n的取值是解题的关 键. 【例题2】已知点A（a2b，24ab）在抛物线 y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为 （ ） A（3，7） B（1，7） C（4，10）D（0，10） 考点 ： 二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化应用 对称 分析 ： 把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整 理，然后根据非负数的性质列式求出a，b，再求出点 A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性 求解即可 解答 ： 点A（a2b，24ab）在抛物线y=x2+4x+10上， （a2b）2+4（a2b）+10=24ab， a24ab+4b2+4a8ab+10=24ab，（a+2）2+4（b1 ）2=0， a+2=0，b1=0，解得a=2，b=1. a2b=221=4，24ab=24（2）1=10. 点A的坐标为（4，10）. 对称轴为直线x =2， 点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10） 故答案选D. 小结：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数 的对称性、坐标与图形的变化对称，把点的坐标代入抛 物线的表达式并整理成非负数的形式是解题的关键. (2016深圳市)如图，抛物线y=ax2+2x-3 与轴交于A，B两点，且B（1 , 0） （1）求抛物线的解析式和点A的坐标； （2）如图，点P是直线y=x上的动点， 当直线y=x平分APB时，求点P的坐标； （3）如图，已知直线 分别与x 轴、y轴交于C，F两点点Q是直线CF下方 的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平 行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延 长线上，连接QE问以QD为腰的等腰 QDE的面积是否存在最大值？若存在， 请求出这个最大值；若不存在，请说明理 由 解：（1）把B（1,0）代入y=ax2+2x-3， 得a+2-3=0，解得a=1y=x2+2x-3，A(-3,0) （2）若直线y=x平分APB，则APO=BPO 如图，若P点在x轴上方，PA与y轴交于B点. POB=POB=45， APO=BPO，PO=PO， OPBOPB(ASA) BO=BO=1，B(0,1) 直线PA:y=3x+1P 若P点在x轴下方时， 同理可得BOPBOP， BPO=BPO 又BPO在APO的内部， APOBPO， 即此时没有满足条件的P点 综上所述，点P的坐标为 （3）存在.如图，作QHCF 直线CF: C( ,0），F（0, ） tanOFC=OC/OF= DQy轴，QDH=MFD=OFC tanHDQ= 不妨记DQ=1,则DH= t,HQ= t QDE是以DQ为腰的等腰三角形， 若DQ=DE，则SDEQ= DEHQ= t