高中数学 第1章 导数及其应用 1_3_3 最大值与最小值自主练习 苏教版选修2-21

高中数学 第1章 导数及其应用 1.3.3 最大值与最小值自主练习 苏教版选修2-2我夯基 我达标1.函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值和最小值分别是( )A.5,-15 B.5,-4 C.-4,-15 D.5,-16思路解析：f(x)=6x2-6x-12=0,解得x=-1或x=2.f(-1)=12(舍),f(2)=-15，f(0)=5,f(3)=-4.答案:A2.函数f(x)=x5-5x4+5x3+1当x-1,2时的最小值为( )A.-10 B.1 C.-7 D.-26思路解析：f(x)=5x4-20x3+15x2.令f(x)=0,得x1=0,x2=1,x3=3.f(-1)=-10,f(0)=1,f(1)=2,f(2)=-7.答案:A3.若函数f(x)=asinx+sin3x在x=处有最值，那么a等于_.思路解析：f(x)=acosx+cos3x.由题意f()=0,即a+(-1)=0,a=2.答案:24.函数f(x)=当-6x8时的最大值为_,最小值为_.思路解析：令f(x)=0,得x=0.又f(-6)=8,f(0)=10,f(8)=6,故f(x)max=10,f(x)min=6.答案:10 65.函数f(x)=sin2x在,0上的最大值是_,最小值是_.思路解析：令f(x)=2sinxcosx,得x=0,f()=,f(0)=0.答案: 06.求下列函数的值.(1)f(x)=3x-x3;(2)f(x)=.思路分析:先求出函数的定义域，再求f(x)在定义域内的极值，最后将f(x)的各极值与端点的函数值f(a)、f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.解:(1)f(x)=3-3x2,令f(x)=0,得x=1.f(1)=2,f(-1)=-2.又f()=0,f(3)=-18,f(x)max=2,f(x)min=-18.(2)函数定义域为-1x1,当x(-1,1)时.f(x)=,令f(x)=0,解得x=.f()=.又f(-1)=-1,f(1)=1,f(x)max=,f(x)min=-1.我综合 我发展7.给出下面四个命题：函数y=x2-5x+4(-1x1)的最大值为10,最小值为;函数y=2x2-4x+1(2x4)的最大值为17,最小值为1；函数y=x3-12x(-3x3)的最大值为16，最小值为-16；函数y=x3-12x(-2x2)无最大值,也无最小值.其中正确的命题有( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个思路解析：y=2x-5,当-1x1时,y0.函数单调递减.ymax=10,ymin=.y=3x2-12=3(x-2)(x+2)=0,x=2.当-3x-2或2x3时,y0,函数单调递增;当-2x2时,y0,函数单调递减.函数在x=-2时,取得最大值f(-2)=16.函数在x=2时,取得最小值f(2)=-16.故正确.答案:B8.已知函数f(x)=，x1,+).(1)当a=时,求函数f(x)的最小值;(2)若对于任意x1,+),f(x)0恒成立,试求实数a的取值范围.思路分析:本题主要考查用导数求最值的方法,在非闭区间上求最值,利用单调性即可.解:(1)当a=时,f(x)=.x1,+),由f(x)=.当x1,+)时,f(x)0,函数f(x)是增函数.当x=1时,f(x)的最小值为.(2)对任意x1,+),f(x)0恒成立,即0对任意x1,+)恒成立,x2+2x+a0对任意x1,+)恒成立.设g(x)=x2+2x+a,则g(x)=2x+2,当x1,+)时,g(x)0.函数g(x)是增函数.当x=1时,g(x)取最小值3+a.由题意3+a0,a-3.9.已知两个函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为实数.(1)对任意的x-3,3,都有f(x)g(x)成立,求k的取值范围；(2)对任意的x1-3,3,x2-3,3，都有f(x1)g(x2)，求k的取值范围.思路分析:构造函数h(x)=g(x)-f(x)，利用导数求解较为简便.解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)，则h(x)=2x3-3x2-12x+k.对于“任意的x-3,3都有f(x)g(x)”等价于-3x3,h(x)的最小值大于或等于零,h(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2).x-3(-3,-1)-1(-1,2)2(2,3)3h(x)+0-0+h(x)-45+k增函数7+k减函数-20+k增函数-9+k于是h(x)的最小值为-45+k,即-45+k0，k45.(2)对于“任意的x1-3,3,x2-3,3,都有f(x2)g(x2)”等价于“f(x)在-3,3的最大值小于或等于g(x)在-3,3的最小值.”下面求在-3,3上的g(x)的最小值.g(x)=6x2+10x+4=2(3