高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2_2_2 椭圆的几何性质（一）学案 苏教版选修2-1

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散2.2.2椭圆的几何性质(一)学习目标1.根据椭圆的方程研究曲线的几何性质，并正确地画出它的图形.2.根据几何条件求出曲线方程，利用曲线的方程研究它的性质，并能画出图象知识点一椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa，bybbxb，aya顶点A1(a,0)，A2(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)，B1(b,0)，B2(b,0)轴长短轴长2b，长轴长2a焦点(，0)(0，)焦距F1F22对称性对称轴：x轴、y轴对称中心：原点离心率e(0,1)知识点二离心率的作用当椭圆的离心率越接近1，则椭圆越扁；当椭圆离心率越接近0，则椭圆越接近于圆题型一椭圆的简单几何性质例1求椭圆25x2y225的长轴和短轴的长及焦点和顶点坐标解把已知方程化成标准方程为x21，则a5，b1.所以c2，因此，椭圆的长轴长2a10，短轴长2b2，两个焦点分别是F1(0，2)，F2(0,2)，椭圆的四个顶点分别是A1(0，5)，A2(0,5)，B1(1,0)，B2(1,0)反思与感悟解决此类问题的方法是先将所给方程化为标准形式，然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上，再利用a，b，c之间的关系和定义，就可以得到椭圆相应的几何性质跟踪训练1求椭圆m2x24m2y21 (m0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率解椭圆的方程m2x24m2y21 (m0)可转化为1.m2，椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a，短半轴长b，半焦距长c.椭圆的长轴长2a，短轴长2b，焦点坐标为(，0)，(，0)，顶点坐标为(，0)，(，0)，(0，)，(0，)离心率e.题型二由椭圆的几何性质求方程例2 求满足下列各条件的椭圆的标准方程(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e，短轴长为8.解(1)由题意知，2c8，c4，e，a8，从而b2a2c248，椭圆的标准方程是1.(2)由e得ca，又2b8，a2b2c2，所以a2144，b280，所以椭圆的标准方程为1或1.反思与感悟在求椭圆方程时，要注意根据题目条件判断焦点所在的坐标轴，从而确定方程的形式；若不能确定焦点所在的坐标轴，则应进行讨论，然后列方程(组)确定a，b，这就是我们常用的待定系数法跟踪训练2椭圆过点(3,0)，离心率e，求椭圆的标准方程解所求椭圆的方程为标准方程，又椭圆过点(3,0)，点(3,0)为椭圆的一个顶点当椭圆的焦点在x轴上时，(3,0)为右顶点，则a3，e，ca3，b2a2c232()2963，椭圆的标准方程为1.当椭圆的焦点在y轴上时，(3,0)为右顶点，则b3，e，ca，b2a2c2a2a2a2，a23b227，椭圆的标准方程为1.综上可知，椭圆的标准方程是1或1.题型三求椭圆的离心率例3如图所示，F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，椭圆上的点M的横坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率解设椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距长分别为a，b，c.则焦点为F1(c,0)，F2(c,0)，M点的坐标为(c，b)，且MF1F2为直角三角形在RtMF1F2中，F1FMFMF，即4c2b2MF.而MF1MF2 b2a，整理得3c23a22ab.又c2a2b2，所以3b2a.所以.所以e21，所以e.反思与感悟求椭圆离心率的方法：直接求出a和c，再求e，也可利用e 求解若a和c不能直接求出，则看是否可利用条件得到a和c的齐次等式关系，然后整理成的形式，并将其视为整体，就变成了关于离心率e的方程，进而求解跟踪训练3已知椭圆C以坐标轴为对称轴，长轴长是短轴长的5倍，且经过点A(5,0)，求椭圆 C的离心率解若焦点在x轴上，得解得c2，e；若焦点在y轴上，得得c10，e.故椭圆C的离心率为.1椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(10,0)，则焦点坐标为_答案(0，)解析由题意知椭圆的焦点在y轴上，且a13，b10，则c，故焦点坐标为(0，) 2. 如图，直线l：x2y20过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为_答案解析x2y20，yx1，而，即 ，.3若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是_答案解析由题意有，2a2c2(2b)，即ac2b，又c2a2b2，消去b整理得5c23a22ac，即5e22e30，e或e1(舍去)4若焦点在y轴上的椭圆1的离心率为，则m的值为_答案解析焦点在y轴上，0m2，a，b，c，又e，解得m.5椭圆25x29y2225的长轴长，短轴长，离心率依次为_答案10,6，解析由题意，将椭圆方程化为标准式为1，由此可得a5，b3，c4，2a10,2b6，e.1.已知椭圆的方程讨论性质时，若不是标准形式，应先化成标准形式2根据椭圆的几何性质，可以求椭圆的标准方程，其基本思路是“先定型，再定量”，常用的方法是待定系数法在椭圆的基本量中，能确定类型的量有焦点、顶点，而不能确定类型的量有长轴长、短轴长、离