高中数学 第四章 定积分 3 定积分的简单应用教材基础 北师大版选修

3 定积分的简单应用我们可直接用定积分的定义计算有些定积分的值.但对于有些定积分,如dx,几乎不可能直接用定义计算.那么,有没有更简便的方法求定积分呢?这就是我们本节所要研究的微积分基本定理的主要内容.高手支招1细品教材一、路程与路程函数导数的关系1.条件:运动物体经过的一段路程s关于时间t的函数为s=s(t),且ta,b;物体从时刻t=a到t=b走过的路程为s(b)-s(a).状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.2.问题:物体经过的一段路程与路程函数导数有何关系？状元笔记 1.物体从t=a到t=b所走过的路程就是在每一个小时间段内所走过路程的累积.2.连续运动的物体在一段时间内的路程等于其路程函数导数在这一段时间内的定积分.3.推导(1)区间分割a=t0t1t2tn=b.(2)物体在区间a,b内的路程与各分割区间内的路程的关系s(b)-s(a)=s(t1)-s(t0)+s(t2)-s(t1)+s(tn)-s(tn-1)=s(t1)-s(t0).(3)运动物体在各分割区间上走过的路程与其速度函数如右图所示.因此得出:s(b)-s(a)v(t0)t1+(t1)t2+v(t n-1)tn.(4)积分表示:s(b)-s(a)= v(t)dt.(5)推出结论:s(b)-s(a)= s(t)dt.二、微积分基本定理1.微积分基本定理的内容:设f(x)在区间a,b上连续,且F(x)是它在该区间上的一个原函数,则有f(x)dx=F(b)-F(a).状元笔记 微积分基本定理建立了积分与导数间的密切关系,可以看出,若要求出某一连续函数的定积分,只需要求出导函数的一个原函数,就可利用牛顿莱布尼茨公式求出这个函数的定积分,这是求定积分的一个重要方法.2.牛顿莱布尼茨公式:(1)f(x)dx=F(b)-F(a)=F(x).通常称F(x)是f(x)的一个原函数.(2)在计算定积分时,常常用记号F(x) 来表示F(b)-F(a),牛顿莱布尼茨公式也可写作f(x)dx=F(x) =F(b)-F(a).(3)微积分基本定理表明,计算定积分f(x)dx的关键是找到满足F(x)=f(x)的函数F(x).只要我们求出f(x)的一个原函数F(x),在区间两端点处的函数值之差F(b)-F(a)就是f(x)dx的值.三、定积分的简单应用1.求平面图形的面积定积分可以用来计算曲边梯形的面积,某些曲面面积可以表示成几个曲边梯形面积的和或差的形式,因此也可以用定积分计算.【示例】如图,求直线y=2x+3与抛物线y=x2所围成的图形的面积.思路分析：从图形可以看出,所求图形的面积可以转化为一个梯形与一个曲边梯形面积的差,进而可以用定积分求出面积.为了确定被积函数和积分的上、下限,我们需要求出两条曲线交点的横坐标.解：由方程组可得x1=-1,x2=3.故所求图形的面积为S=（2x+3-x2）dx=x2+3x|3-1=.2.求简单几何体的体积利用定积分可以求出一些简单的几何体的体积,如圆锥体、圆柱体、圆台、球体等.高手支