初中数学竞赛专题复习 第四篇 组合 第27章 极端原理试题（无答案） 新人教版

我带领班子成员及全体职工，积极参加县委、政府和农牧局组织的政治理论学习，同时认真学习业务知识，全面提高了自身素质，增强职工工作积极性，杜绝了纪律松散第27章 极端原理27.1.1* 两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币规定每人每次只能放一枚，硬币平放在桌面上，并且两两不能重叠，谁放完最后一枚使得对方无法按照规则再放，谁就获胜问：是先放合算还是后放合算？解析 本题的极端情况是：桌面小的只能放下一枚硬币这时当然是先放的人合算一般情况下，先放的人把硬币放在圆桌的中心处，每当对手放下一枚硬币后，就在对方硬币关于“圆心”对称位置再放下一枚硬币，这样只要对手还能放硬币，先放的人一定也能放，所以放最后一枚硬币的人一定是先放的人，从而他必能获胜评注 本题解法的独到之处在于考虑最极端的情况，“桌面最小”这里的极端原理实际是一种“从特殊到一般”的思考方法，并且在极端情况下的结果提示我们解决一般问题的方法，在应用极端原理时，我们要利用如下的事实：1有限个数中一定有最大数和最小数；2无限个正整数中有最小数；3无限个实数不一定有最大数或最小数27.1.2* 在一次乒乓球循环赛中，（3）名选手中没有全胜的，证明：一定可以从中找出三名选手、，使得胜，胜，胜解析 没取胜场数最多的一名选手为，由于没有一个选手是全胜的，所以在这名选手中存在一名选手，胜考虑击败的选手的全体，其中必有选手胜事实上，若的手下败将也都负于，那么胜的场数比胜的场数至少要多1，这与是获胜场数最多的选手矛盾所以，存在三名选手、，使得胜，胜，胜27.1.3* 平面上已给997个点，将连结每两点的线段中点染成红色，证明：至少有1991个红点，能否找到恰有1991个红点的点解析 997个点中每两点都有一个距离，因而共有个距离（其中有可能有些距离是相等的），其中一定有一个最大距离设是最大的距离分别以、为圆心，为半径作圆，如图所示点与除点之外的995个点的连线的中点在圆的内部或边界上；点与除点外的995个点的连线的中点在圆的内部或边界上，这样我们得到了 995+9951990个红点另外，的中点是不同于上述1990个红点的，所以，至少有1991个红点下面构造一个例子，说明恰好有1991个红点，设997个点在数轴上1，2，3，997的位置这时中点为：，故红点恰有1991个27.1.4* 证明：在任意的凸五边形中，都可以找到三条对角线，由这三条对角线可以组成一个三角形解析 如图所示，在凸五边形中，一共有5条对角线：、，所以其中一定有一条是最长的，不妨设最长由于是凸四边形，设与的交点为，则因为最长，所以，、这三条对角线可以作为一个三角形的三条边27.1.5* 平面上给定3个点。已知其中任意两点的距离不超过1，证明：这3个点被一个半径为等的圆覆盖解析 设三点为、，不妨设，当时易知以删为直径的圆可覆盖（此圆半径），当时，为锐角三角形，设外心为在内部由于，故外接圆半径，故结论成立27.1.6* 平面上给定2005个点，任意两点距离小于2005，任意三点是某个钝角三角形的顶点求证：存在直径不超过2005的圆覆盖这2005个点解析 在这2005个点中，设两两之间距离最大的两点是、且则以为直径的圆覆盖了这2005个点这是因为，如图分别过、作垂线、，则给定的点不能在直线、围成的带形之外否则这点到点（或）距离大于，这与的最大性矛盾同时，给定的点也不能在带形内部的圆外否则，这点与、不构成钝角三角形，与已知条件矛盾故结论成立评注 此例是组合几何问题中的一类覆盖问题这些问题的解决往往需借助于极端原理的思想27.1.7* 平面上给定个点，其中任意三点都至少有两点距离小于l，证明：可以找出其中个点位于半径为1的圆内解析 考虑距离最远的两个点、以、为圆心、半径为l作两个圆，若有点在这两个圆外或边上，则、1，于是由条件知只能有2）个点，它们两两连线都有一个中点，如果重合的中点算一个点，求证：至少有个不同的中点解析 不妨设个点为，且、为最远两点，记中点为（1，2，），中点为（1，2，）不存在一个与，使，否则当不在线段上时，作平行四边形，不妨设，于是，这与定义矛盾当在亦然于是全部与一共有个中点，加上中点，至少有个不同中点，读者不难构造出达到此界的例子27.1.23* 设正整数、满足，求证：解析 对每一个，如果有这样的、存在，可设最小，且时，无解，故关于的方程有另一根，由两根和知为整数，由两根积知为正数，故为正整数，于是，或，即当时，或3，当时，故或，不可能综上所述，27.1.24* 已知正整数与使得整除，求证：是某个正整数的平方解析 用反证法假设并不是某个正整数的平方令，所以，（，）是方程的一组正整数解设（，）是方程的所有正整数解中，使为最小的一组解，由对称性不妨设把改写成关于的二次方程，得于是就是的一个正整数解由韦达定理知的另一个解也是整数，由知（因为不是平方数），若，则，矛盾故0于是（，）也是方程的一组正整