高中数学 第1章 导数及其应用 1_2_3 简单复合函数的导数知识导航 苏教版选修2-21

1.2.3 简单复合函数的导数知识梳理1.一个函数可以写成y=f(x),即y=f(u)，u=(x)的形式，则称其为_.2.函数u=(x)在点x处有导数ux=(x)，函数y=f(u)在点x的_u处有导数yu=f(u)，则复合函数y=f(x)在点x处有导数，即_或写成_.知识导学 要学好本节内容,需弄清几个基本概念,如:复合函数、中间变量,同时对基本公式的记忆要熟,即“熟能生巧”.对复合函数的求导要注意中间变量的选取要适当.另外要搞清每一步是哪个变量对哪个变量求导,不能混淆.新课标要求能求简单的复合函数仅限于形如f(ax+b)的导数.疑难突破 对于复合函数求导,一定要理清中间的复合关系.本节难点是对复合函数求导.剖析：中间变量应选择简单初等函数,判断一个函数是否是简单初等函数的标准是:存在求导公式则直接求导,弄清各分解函数中应对哪个变量求导,对一个函数的复合关系的分解予以足够的重视,要用换元的思想及基本初等函数的观点来理解复合关系,理解复合函数的概念.典题精讲【例1】 求下列函数的导数.(1)y=(2x3-x+)4;(2)y=;(3)y=sin2(2x+);(4)y=x(x-)100.思路分析：选择中间变量是复合函数求导的关键,必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量的式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏.而其中特别要注意中间变量的系数,求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.解:(1)解法一:设u=2x3-x+,y=u4,则yx=yuux=4u3(6x2-1-)=4(2x3-x+)3(6x2-1).解法二：y=(2x3-x+)4=4(2x3-x+)3(2x3-x+)=4(2x3-x+)3(6x2-1-).(2)解法一：设y=,u=1-2x2，则yx=yuux=()(-4x)=(-4x)=.解法二：y=()=(1-2x2)=(-4x)=.(3)解法一：设y=u2,u=sinv,v=2x+,则yx=yuuvvx=2ucosv2=2sin(2x+)cos(2x+)2=2sin(4x+).解法二：y=sin2(2x+)=2sin(2x+)sin(2x+)=2sin(2x+)cos(2x+)(2x+)=2sin(2x+)cos(2x+)2=2sin(4x+).(4)解：y=x(x-)100=x(x-)100+x(x-)100=(x-)100+x100(x-)99(x-)=(x-)100+x100(x-)99(1+).绿色通道：对于复合函数的求导，要注意分析问题的具体特征，灵活恰当地选择中间变量，不可机械照搬某种固定的模式，否则会使确定的复合关系不准确，不能有效地进行求导运算.复合函数的求导法则，通常称为链条法则.变式训练：求下列函数的导数.(1)y=(2x-1)5;(2)y=;(3)y=.解:(1)设u=2x-1,则y=u5.yx=yuux=5u4(2x-1)=5(2x-1)42=10(2x-1)4(2)设u=ax2+bx+c,则y=.yx=yuux=(3)方法一：u=1-2x,y=u-5,yx=yuux=-5u-6(-2)=10(1-2x)-6.方法二：y=,令y=u5,u=,v=1-2x.yx=yuuvvx=5u4(-v-2)(-2)=10()4v-2=100-6=10(1-2x)-6.【例2】 已知f(x)=xloga(x2+x-2),求f(x).思路分析：函数y=loga(x2+x-2)是由y=logau与u=x2+x-2复合而成的,根据复合函数的求导步骤进行求导.解:f(x)=loga(x2+x-2)+xlogae(2x+1)=loga(x2+x-2)+.绿色通道：求复合函数的导数，关键要分清此函数是由哪几个初等函数复合而成的，然后根据求复合函数导数的法则进行求导即可.变式训练：已知f(x)=,求f(x).解：y=logau,u=logax,f(x)=yuux=logaelogae=.【例3】 求下列函数的导数.(1)y=;(2)y=.思路分析：在公式(logax)=与(ax)=axlna中，求导后的系数很容易混淆，要注意掌握公式.并通过比较加以记忆.解：(1)y=+bx(-2ax+b)=(-2ax+b).(2)y=绿色通道：复合函数求导是一个连锁求导过程，每次选择中间变量都根据问题的具体特点及基本导数公式为准，达到可以直接求导为止.变式训练：(1)f(x)=;(2)f(x)=cos2().解：(1)f(x)=(1+sin2x)=2sinxcosx=.(2)f(x)=cos2()=2cos()(cos)=2cos()-sin()()=2cos()-sin()=-sin2()=.问题探究问题：请思考如何利用导数进行求和.1.Sn=1+2x+3x2+nxn-1(x0,nN*);2.Sn=+n(nN*).导思：1.一般很容易想到通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决，转换思维角度.由求导公式(xn)=nxn-1可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和.利用导数运算,可使问题解法更加简捷.2.通过对数列的通项进行联想,合理运用了逆向思维的方法,从而激发了思维的灵活性,使数列的求和问题得到解决,其关键是抓住了数列通项的形式结构,这也有助于培养善于联想的好习惯.探究：1.当x=1时,Sn=1+2+3+n